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我們首先從材料力學(xué)中最難的問(wèn)題開(kāi)始，這就是超靜定問(wèn)題。我系每年期末考試試的最后一道題，都是超靜定問(wèn)題。 【問(wèn)題】如圖所示的剛架AB的A端固定，B端是滾動(dòng)支座，而在BC的中點(diǎn)施加豎直向下的集中力F，已知抗彎剛度為EI，要求B點(diǎn)的支反力。  X【問(wèn)題分析】 該剛架在A(yíng)端是固定端，有3個(gè)未知反力；在B端是滾動(dòng)支座，有1個(gè)未知反力；一共是4個(gè)未知反力。 而只有一根桿件，按照理論力學(xué)，只能列出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程。 因此，理論力學(xué)不能求出所有的未知數(shù)，它是一個(gè)超靜定問(wèn)題。 對(duì)于超靜定問(wèn)題，需要追加一個(gè)方程，以解出這個(gè)多余的未知數(shù)。 此時(shí)要使用力法。即首先解除B點(diǎn)的滾動(dòng)支座，并用力來(lái)代替。然后在B點(diǎn)列出位移協(xié)調(diào)方程，從而解出B點(diǎn)的未知力。 詳細(xì)求解過(guò)程如下。 【求解過(guò)程】 首先是用力法，解除B點(diǎn)的滾動(dòng)支座，并用一個(gè)豎直向上的集中力F(B)來(lái)取代，得到下圖。  上圖在受力形式上與原問(wèn)題一致，另外對(duì)于原問(wèn)題而言，B點(diǎn)是沒(méi)有豎直位移的，因此需要追加一個(gè)方程，以保證與原問(wèn)題的一致性。該方程就是B點(diǎn)無(wú)豎直位移。  這就是我們所需要追加的那個(gè)方程。下面我們就可以基于該方程，解出B點(diǎn)的約束力F(B)。 這個(gè)方程看上去非常簡(jiǎn)單，但具體操作并不容易。方程的右邊是0，左邊是B點(diǎn)在豎直方向的位移，下面的任務(wù)實(shí)際上就是求出B點(diǎn)的豎直位移，它一定會(huì)是F(B)的函數(shù)，即  從而原方程最終是  這樣，一個(gè)方程，一個(gè)未知數(shù)，從而可以解出F(B)。 因此下面的任務(wù)其實(shí)就是得到 即計(jì)算B點(diǎn)的位移。 計(jì)算一個(gè)剛架上某點(diǎn)的位移，這屬于求變形的問(wèn)題。 在材料力學(xué)中，計(jì)算變形有三種方法：疊加法，積分法和能量法。 這里要計(jì)算B點(diǎn)的豎直位移，可以使用積分法。只需要把剛架分為三段，然后列出內(nèi)力方程，從而得到三個(gè)撓曲線(xiàn)微分方程，積分得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，再使用邊界條件和連續(xù)性條件，解出其中的待定系數(shù)，最后可以得到B點(diǎn)的撓度。 也可以使用疊加法。那就需要分別計(jì)算F和F(B)作用下剛架上A點(diǎn)的位移，然后疊加。 上述兩種方法都很復(fù)雜。疊加法貌似簡(jiǎn)單，但它以積分法為基礎(chǔ)?？荚嚂r(shí)也不能查表，所以仍舊需要先積分得到單獨(dú)載荷下的撓曲線(xiàn)方程，然后疊加，實(shí)際上也很復(fù)雜。 使用能量法是解決上述問(wèn)題最快的方式。 能量法有幾種使用方式，我們這里只介紹如何用單位載荷法來(lái)求解B點(diǎn)的數(shù)值位移。 要使用單位載荷法，需要得到原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，然后得到新結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，最后利用公式就可以解出B點(diǎn)的豎直位移。 再次抄錄原結(jié)構(gòu)如下（左圖）。并拷貝原結(jié)構(gòu)（不要外力）,并在B點(diǎn)施加一個(gè)豎直向上的單位力1如下圖（右圖），這個(gè)結(jié)構(gòu)我們稱(chēng)為新結(jié)構(gòu)。  按照單位載荷法，下面的任務(wù)主要是計(jì)算原結(jié)構(gòu)下的內(nèi)力，和新結(jié)構(gòu)下的內(nèi)力， 要計(jì)算原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，顯然需要分為三段,BD,DC,CA.而要計(jì)算新結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，只需要分為兩段,BC,CA. 對(duì)于剛架而言，內(nèi)力一般有三種：軸力，剪力和彎矩。在通常情況下，軸力和剪力都可以忽略，我們主要考慮彎矩。 首先計(jì)算原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。重抄原結(jié)構(gòu)如下。  BD段的內(nèi)力。使用截面法，用一平面在BD之間截?cái)鄤偧?，并選取左半部分為對(duì)象，繪制受力圖如下。  由于我們只需要計(jì)算彎矩，因此對(duì)該截面的形心取矩列出力矩方程  再對(duì)DC段做同樣的分析。  同樣對(duì)該截面的形心取矩列出力矩方程 再對(duì)CA段分析，取上半部分為對(duì)象 對(duì)該截面的形心取矩列出力矩方程 下面轉(zhuǎn)到新結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)只需要分為BC,CA兩段計(jì)算內(nèi)力。 BC段。要高度注意，此時(shí)的內(nèi)力的假設(shè)方向應(yīng)該嚴(yán)格與原結(jié)構(gòu)保持一致。而且X也是從B點(diǎn)開(kāi)始。 該截面的內(nèi)力是 然后是CA段。同樣高度注意其內(nèi)力的假設(shè)方向與原結(jié)構(gòu)保持完全一致。而且X也是從C點(diǎn)開(kāi)始。 好，現(xiàn)在內(nèi)力終于計(jì)算完了，開(kāi)始用公式計(jì)算B點(diǎn)的豎直位移。 請(qǐng)注意，上式中右邊由三項(xiàng)組成，第一項(xiàng)實(shí)際上是新結(jié)構(gòu)在BD段儲(chǔ)存的虛應(yīng)變能；第二項(xiàng)是新結(jié)構(gòu)在DC段儲(chǔ)存的虛應(yīng)變能；第三項(xiàng)是新結(jié)構(gòu)在CA段儲(chǔ)存的虛應(yīng)變能.請(qǐng)注意每一項(xiàng)中彎矩的對(duì)應(yīng)性。尤其要注意的是第二項(xiàng)，對(duì)于原結(jié)構(gòu)而言，內(nèi)力是M(2)；而對(duì)于新結(jié)構(gòu)而言，其內(nèi)力仍然是M(1). 下面的任務(wù)只是把前面計(jì)算的內(nèi)力往這里面代入，并積分就可以。 由于 故而有 由此解出了B點(diǎn)的約束力。 【小結(jié)】
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