公眾號“鄒生書數(shù)學(xué)”創(chuàng)建于2018年8月28日。    

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鄒生書，男，1962年12月出生，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師。主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)、高中數(shù)學(xué)解題研究和探究性學(xué)習(xí)等。從2007年8月到2018年8月，在《數(shù)學(xué)通訊》《數(shù)學(xué)教學(xué)》《中學(xué)數(shù)學(xué)》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》等，二十多種學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表解題和探究性學(xué)習(xí)文章300余篇。

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一道背景深厚的橢圓離心率難題及其解法研究

湖北省陽新縣高級中學(xué)     鄒生書

      在數(shù)學(xué)群里探討數(shù)學(xué)問題及其解法的好處是顯然易見的，大家可以相互鼓勵，相互激發(fā)，相互啟迪，充分發(fā)揮集體的智慧和力量，有時可以在短時間內(nèi)通過討論全面徹底地解決問題。

   最近一道橢圓離心率難題在“高中數(shù)學(xué)解題交流二群”引起了群友們的熱烈討論，紛紛拋出對該題的解法進(jìn)行交流，前面群友先發(fā)出的解法對后面群友的求解有啟發(fā)和借鑒作用。

      這道橢圓離心率難題，通過集體研討，解法越來越簡單，而問題的本質(zhì)也伴隨著討論漸漸地浮出水面。

      筆者根據(jù)群友們的解法及個人的理解作了一些梳理和背景挖掘，問題及解法和背景探究如下：

      問題解決到此已經(jīng)幾近完美了。但是，這是一道選擇題，顯然這些解法都顯得小題大做費時耗力，不符合小題巧做的解題原則，那么能否小題巧做？要小題巧做，我們就必須弄清命題意圖，命題者到底在考查什么，問題的本質(zhì)是什么？

   由解法2可知，這個問題的本質(zhì)就是橢圓共軛直徑的性質(zhì)。

      連結(jié)橢圓上任意兩點的線段叫弦，過橢圓中心的弦叫直徑。平行于直徑DE的弦的中點的軌跡 AB 和直徑 DE 互為共軛直徑。

      橢圓的任一條直徑必平分其共軛弦。橢圓的共軛直徑有無數(shù)對。

      當(dāng)一對共軛直徑互相垂直時，即為橢圓的長軸和短軸。

      橢圓共軛直徑（弦）有如下性質(zhì)：

     下面我們回到原問題，挖掘條件背后隱藏的東西，給出一個極限解法。注意到題設(shè)條件中向量等式中的系數(shù)不等于1，為什么不能等于1？這一條件隱藏什么秘密？等于1會怎樣？會發(fā)生什么？當(dāng)系數(shù)等于1時，點M為弦AC和BD的中點，而在橢圓中以M為中點的弦有且只有一條。也就是說當(dāng)系數(shù)趨向于1時，弦AC和BD趨向于重合。兩弦重合時，點M也是AB的中點，根據(jù)上述共軛直徑（弦）的性質(zhì)有：

群研——讓解法由繁到簡，

讓問題本質(zhì)逐漸顯露出來

——對一道橢圓離心率試題的解法探究

高中數(shù)學(xué)解題交流二群