作為老師，我們基本都經(jīng)歷過磨課的過程，其實(shí)，想要快速在課堂中站穩(wěn)腳步，還有一條“捷徑”，那就是選中幾節(jié)不錯(cuò)的課例，對照著視頻，把課堂實(shí)錄“打”出來，沒錯(cuò)，打字的打，在電腦上邊聽，邊打字的過程，實(shí)際上就是對名師或者優(yōu)質(zhì)課的學(xué)習(xí)，理解，深化，改進(jìn)，創(chuàng)新、反思的過程。經(jīng)歷幾次這樣的過程，或許你的課堂會(huì)有一個(gè)質(zhì)的變化，工作室的小伙伴們也深有體會(huì)。于是我們決定通過“打”的方式深入理解全國著名特級教師張齊華老師的齊華備課室專題以及經(jīng)典課例，為了能讓大家有更深的閱讀體驗(yàn)，我們采用第一人稱的方式進(jìn)行呈現(xiàn)。本期是由工作室成員丁巧玲老師梳理的《難點(diǎn)：易“破”不易“避”-以認(rèn)識分?jǐn)?shù)（二）教學(xué)為例》。

難點(diǎn)：易“破”不易“避”

——以《認(rèn)識分?jǐn)?shù)（二）》教學(xué)為例

        我們每一期都只聚焦一個(gè)課例，我們希望通過研討讓大家解決如下三個(gè)問題：

第一，微觀層面：深挖數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)。

第二，中觀層面：構(gòu)建學(xué)力生長課堂。

第三，宏觀層面：把握全景數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

        今天我們探討的課例是認(rèn)識分?jǐn)?shù)第二次，我們聚焦的主題是難點(diǎn)易“破”不易“避”。

         今天的分享我們還是按照慣例有以下三個(gè)部分展開：首先是教材速覽（學(xué)情評估)；其次是教學(xué)建議（學(xué)習(xí)規(guī)劃）；最后是要點(diǎn)回顧（反思批評）。

第一板塊：教材速覽

        分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，我們主要選擇了三個(gè)版本的教材，它們是蘇教版、人教版和北師版?？v觀這三套不同版本的教材，它們的編排有一些相似也有一些不同。最突出的是蘇教版和人教版，他們把三年級分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識分成兩段來展開教學(xué)。三上分別教學(xué)的是一個(gè)物體或是一個(gè)圖形的幾分之一或是幾分之幾。三下重點(diǎn)研究一些物體組長的整體，它們的幾分之一或者幾分之幾。

        我們今天討論的認(rèn)識分?jǐn)?shù)（二)主要是三年級下學(xué)期一些物體組成的整體的幾分之一或幾分之幾。我們看一下幾個(gè)版本教材編排上細(xì)微的差別：

蘇教版教材：

        蘇教版教材安排在了三年級下冊。三上時(shí)，我們已經(jīng)認(rèn)識過把一個(gè)物體或是一個(gè)圖形平均分成幾份，求這樣的一份或幾份時(shí)可以用分?jǐn)?shù)表示。在此基礎(chǔ)之上，到三下學(xué)習(xí)一些物體組成整體的幾分之一或者幾分之幾，這是三下的第一節(jié)課。這里面我們把6個(gè)桃看成是一個(gè)整體，平均分給兩個(gè)小猴，我們看看每只小猴分得這些桃的幾分之幾。

人教版教材：

        人教版教材，同樣是例一，仔細(xì)的比較一下，你會(huì)發(fā)現(xiàn)人教版例一分成了兩小部分展開。第一部分先從三年級上冊學(xué)生非常熟悉的一個(gè)圖形的幾分之一引入。先展示了一個(gè)正方形的四分之一，這是舊知。然后通過把這個(gè)圖形剪開，剪成四個(gè)完全一樣的小正方形。然后去思考一下涂色的小正方形占整個(gè)四個(gè)正方形的幾分之幾，實(shí)現(xiàn)知識的遷移。在第二個(gè)小部分出示了6個(gè)蘋果，然后把它平均分成3份，而且在集合圈里有清晰的分割線，表示出3個(gè)兩份，然后揭示出這樣的1份是蘋果總數(shù)的1/3，2份就是蘋果總數(shù)2/3?？傮w來說，蘇教版和人教版的編排思路比較相似，只不過人教版在揭示6個(gè)蘋果組成的一個(gè)整體，它的1/3和2/3這個(gè)新知時(shí)，前面加了一道鋪墊的題。從一個(gè)完整的、獨(dú)立的正方形，把它剪成四個(gè)小正方形組成的一個(gè)整體，幫助學(xué)生從原有的一個(gè)圖形的幾分之一進(jìn)入到一些圖形組成的整體幾分之一，突破難點(diǎn)，也實(shí)現(xiàn)了知識的遷移。

北師大版教材：

        北師版教材是在三年級上冊，他們把一個(gè)物體或一個(gè)圖形的幾分之一幾分之幾以及一些物體的幾分之一，幾分之幾放在一起編排的。在這個(gè)單元的前面的例一、例二當(dāng)中，已經(jīng)完成了對一個(gè)物體或者一個(gè)圖形的幾分之一與幾分之幾的認(rèn)識，那么到了這兒以后，已經(jīng)差不多隔了一段時(shí)間了，那么開始進(jìn)入到從原來的一個(gè)物體，一個(gè)圖形，進(jìn)入到了一些物體或一些圖形組成的整體，它的幾分之一或者幾分之幾。

        我們看一下，在這樣的編排當(dāng)中，他的思路跟人教版例一的前半部分比較相似，我們看，原來是一個(gè)完整的正方形，要求學(xué)生根據(jù)自己的理解給它涂上3種顏色，那孩子的涂色可能是不相同的，無論怎么去涂色，紅色、黃色和藍(lán)色部分， 我們都可以用九分之幾來表示，這是我們剛剛前面的例一教學(xué)當(dāng)中的一個(gè)重點(diǎn)。在此基礎(chǔ)之上我們看到了跟人教版比較相似，要求孩子們把剛才涂色的大正方形把它剪成9個(gè)小的正方形，然后去思考每種顏色的小正方形，分別占9個(gè)小正方形的幾分之幾。因?yàn)樵谇懊孢@個(gè)題當(dāng)中，女生說我把每種顏色都涂了3個(gè)，那么分別占圖形的幾分之幾，也就是3個(gè)紅色，3個(gè)黃色，3個(gè)藍(lán)色，剪開以后，每一種顏色的小正方形還是占這些正方形的的3/9。

        三個(gè)版本教材的一個(gè)基本邏輯的梳理，它們之間的相似的地方以及細(xì)微的不同，剛才也做了一個(gè)簡單的說明，就我這么多年的教學(xué)的經(jīng)歷而言，我個(gè)人認(rèn)為其實(shí)讓孩子去認(rèn)識一個(gè)物體或者一個(gè)圖形的幾分之一或者幾分之幾，學(xué)生的困難并不是很大。為什么？這是北師大教材的這個(gè)例題的上半部分，我們來看一下，這是一個(gè)完整的正方形，我們試想一下，如果給其中的一份涂上紅色，問紅色的部分占整個(gè)正方形的幾分之幾？因?yàn)樵瓉硎且粋€(gè)完整獨(dú)立的正方形，平均分成9個(gè)小正方體也行，以后也就是平均分成了9份，那這樣的一份當(dāng)然就應(yīng)該是1/9，如果是兩份那當(dāng)然也應(yīng)該是2/9 。3份、4份以此類推，學(xué)生并不會(huì)存在認(rèn)知上的困難。但是注意，當(dāng)我們的問題從原來的一個(gè)物體變成一些物體，從一個(gè)圖形變成一些圖形組成的整體的時(shí)候，看起來好像只是從一個(gè)個(gè)體變成了一個(gè)群體，變化不是特別大，但是，實(shí)際上可能會(huì)給孩子的思維帶來巨大的挑戰(zhàn)。那么學(xué)生究竟存在怎樣的困難？教材給出的是怎樣的回應(yīng)？我們老師們是如何去突破這樣的難點(diǎn)？在通過難點(diǎn)的過程當(dāng)中，老師有沒有哪些不同的路徑？這些不同的路徑背后折射出的是老師們怎樣的教學(xué)主張？那接下來我們就進(jìn)入今天第二個(gè)板塊的討論。

第二板塊：教學(xué)建議

1、探析：教材之難，難在何處？

        我們的教材在編寫的過程當(dāng)中，他們并沒有表現(xiàn)出對這個(gè)難點(diǎn)很多的焦慮，或者他們對這個(gè)難點(diǎn)給予了很多的一些突破。我們來看看幾個(gè)不同版本的教材，剛才提到的就是把一些物體組成的一個(gè)整體平均分成若干份以后，這樣的一份或者幾份，該用什么的分?jǐn)?shù)表示。我們長期的實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)，這里學(xué)生特別出現(xiàn)一些思維的混亂或者困難。

理想：教材的詩和遠(yuǎn)方

        我們來看蘇教版的教材，例題開宗明義，把一盤桃，也就是6個(gè)桃平均分給兩只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾。教材再把這一盤桃，通過集合圈在下面圖當(dāng)中呈現(xiàn)了出來，然后通過分一分。直接由老師給出了每只小猴分得這盤桃的1/2。仔細(xì)的看一看這一教材，表面看起來歲月靜好，好像孩子們并沒有遇到太多的困難，有些知識看起來也是想當(dāng)然的。你看就這一盤桃，每只小猴啊平均分給了兩只小朋友，就是平均分成了兩份，那每一份就是這盤桃的1/2，但真實(shí)的情況真的是這樣嗎？大家發(fā)揮重點(diǎn)的有學(xué)生的爭取作品來展開討論。

        我們再來看人教版的教材，無論是例一的前半部分，通過原有舊知向新知的遷移，還是6個(gè)蘋果這個(gè)嶄新的素材和問題情景，然后你看教材給出的是一份就是蘋果的1/3，兩份就是蘋果總數(shù)的2/3，看起來也是波瀾不驚，不過在這個(gè)過程當(dāng)中學(xué)生會(huì)不會(huì)遇到巨大的思維挑戰(zhàn)？

        我們再來看北師版的教材，其實(shí)北師范在這里面它的處理和人教版的立意的前半部分是比較相似的啊，前面做過解讀，這里不充分的展開，只不過到了這里我們來看一下，你看他特別提出來。因?yàn)榕f我每一種顏色都涂了3個(gè)，也就是它有3個(gè)紅色，3塊涂了紅色，3塊涂了黃色，3塊涂了藍(lán)色。剪開了以后就是9個(gè)小的小正方形，那么同樣也是3個(gè)小正方形是紅色的，3個(gè)小正方形是黃色的，3個(gè)小方形是藍(lán)色的。再來問說每種顏色的小正方形分別占9個(gè)小正方形的幾分之幾？女孩說每一種顏色的小正方形還是占這些小正方形的3/9，對嗎？對，沒有任何問題，而且這里的3/9也是孩子們普遍非常愿意選擇的答案。但是這里邊我稍微給大家提一個(gè)問題。因?yàn)楫?dāng)我們把9個(gè)獨(dú)立的小正方形擺在那兒的時(shí)候，涂色的這3個(gè)小正方形究竟可以看作整個(gè)這些3個(gè)紅色的小正方形，它的個(gè)數(shù)究竟可以看出整個(gè)這9個(gè)小正方形組成的這這個(gè)集體的幾分之幾？實(shí)際上除了3/9以外還可以用1/3來表示。我想這一點(diǎn)大家并不難理解，那么到底選擇3/9還是選擇1/9？其實(shí)取決于我們究竟該怎么去看待這里的平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)？如果我們把剛才的9個(gè)小正方形看作是這一個(gè)集體平均分成了9份，那么毫無疑問這里的三個(gè)紅色的長方形當(dāng)然就應(yīng)該是3/9。為什么?因?yàn)榧t色的正方形正好是平均分成9份以后的3份。但是如果我們把這里的9個(gè)小正方形組成了一個(gè)整體，把它看作平均分成3份，這個(gè)時(shí)候我們會(huì)發(fā)現(xiàn)3個(gè)紅色的正好相當(dāng)于其中的一份，3個(gè)黃色的一相關(guān)系統(tǒng)的一份，3個(gè)藍(lán)色的你想要記錄的一份，這個(gè)時(shí)候雖然紅色的小正方形是3個(gè)，但是用分?jǐn)?shù)來表示的時(shí)候，似乎1/3更符合分?jǐn)?shù)的本意。

        像這里的蘋果圖，雖然這也是兩個(gè)蘋果，但是正因?yàn)槲覀兘滩囊呀?jīng)通過分割線，把它明確的平均分成了三份，因此這里的2個(gè)，只能看出這樣的一份，答案就應(yīng)該是1/3。這個(gè)時(shí)候看作2/6是不合適的，至少是不符合題目本身?；蛘咔榫硤D本身所表達(dá)的含義，也與分?jǐn)?shù)的基本含義之間是存在沖突的。

        從這個(gè)角度來說，我個(gè)人以為在北師大教材里面，這個(gè)女生所給出的答案，實(shí)際上還是存在另外一種解釋的可能，因此在我看來，教材這樣的編排，無論是蘇教版教材、人教版教材還是北師版的教材，他們或選擇了直接的告知或選擇通過這樣的方式將知識進(jìn)行遷移，看起來好像非常順利的解決問題，但實(shí)際上學(xué)生頭腦里的難以打破的這個(gè)難點(diǎn)，他仍然存在的。

        我們來看一下北師版教材后面的練習(xí)，當(dāng)我看到這個(gè)練習(xí)的時(shí)候，我個(gè)人認(rèn)為看到這個(gè)題，其實(shí)還是為這個(gè)班的孩子捏了一把汗。如果之前學(xué)生完成的只是這樣的一個(gè)認(rèn)知的過程，他們對于平均分的分?jǐn)?shù)、表示的份數(shù)。尤其是表示的份數(shù)和每一份里面的個(gè)數(shù)之間的這種錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，沒有幫助孩子做非常清晰的梳理的話，我們可以想象。      到這里，圈一圈說一說，請問3/4，孩子們到底該怎么圈？我們作為數(shù)學(xué)老師都很清楚，這里的3/4應(yīng)該是把整個(gè)16個(gè)正方形平均分成4份，再選擇其中的3份，因此3/4應(yīng)該圈出12個(gè)。這里的2/5也應(yīng)該是把這25個(gè)三角形平均分成5份圈出其中的2份，這是2個(gè)豎條或是3個(gè)橫條，那么最后的結(jié)果應(yīng)該是圈出其中的10個(gè)。但是，記住孩子們做出正確的選擇和給出正確的答案，它的前提是什么？他應(yīng)該對這里的一些物體或者一些圖形組成的一個(gè)整體，它的幾分之一或者幾分之幾的內(nèi)涵要有非常清晰的認(rèn)知。比如說這里的3/4，4表示什么，這里的4，不是4個(gè)，是把這個(gè)這些看成一個(gè)整體。我得把它平均分成4份。3是什么？3恰恰是這里的難點(diǎn)，很多同學(xué)受前面的整數(shù)的影響，他們往往有的時(shí)候會(huì)把這個(gè)3/4會(huì)從這一些，16個(gè)五角星當(dāng)中圈出其中的3份，他們認(rèn)為這就是3/4，不要認(rèn)為我們是危言聳聽，實(shí)際上在我們教學(xué)的過程當(dāng)中，這幾乎是很多孩子都有可能面臨的這個(gè)遭遇。

        因此在我看來，教材選擇的是詩與遠(yuǎn)方，看起來波瀾不驚，歲月靜好。我們的孩子在教材的編排的線索過程當(dāng)中，他們都可以非常輕松的掌握這樣的一些物體，它組成的整體，他們的幾分之一或者幾分之幾，好像我們曾經(jīng)或者之前所學(xué)過的一個(gè)物體，一些物體，他們的幾分之一和幾分之幾的相關(guān)的知識經(jīng)驗(yàn)可以非常輕松的遷移和類比到我們一些物體或圖形組成的整體，它的幾分之一或幾分之幾當(dāng)中來，但是真相真的是這樣嗎？我們一起往下看。

現(xiàn)實(shí)：眼前的“茍且和迷?！?/span>

       這是江蘇劉正妹老師做的學(xué)習(xí)單，學(xué)習(xí)單中包含了三個(gè)孩子，所以大家可以把它分成三份來看。這份學(xué)習(xí)單還不是學(xué)生獨(dú)立探索以后的結(jié)果，是什么呢？大家注意看，我用紅色的方框框了出來，上面寫的非常明確，請自學(xué)第76頁的例一以后再來完成這份任務(wù)二。

        那我們有必要來看看，76頁的例一到底是一個(gè)怎樣的圖？其實(shí)就是剛才我們在分析蘇教版教材的時(shí)候，這個(gè)例一的主題圖。

        我們再把它認(rèn)真的看一下，把一盤桃平均分給兩只小猴，一盤桃的集合圖在這兒。每只小猴分得這么高的幾分之幾呢？通過集合圖分一分得出結(jié)論，每只小猴分得這盤桃的1/2，這是教材呈現(xiàn)出來的。我們來看一下學(xué)生在完成這個(gè)任務(wù)的之前，其實(shí)他們都已經(jīng)自學(xué)了教材里的例一，那我就非常好奇了，教材里面已經(jīng)說得非常明確，每只小猴分得這盤桃的1/2，甚至左邊已經(jīng)把這盤桃通過集合圈的方式把這個(gè)桃放在集合圈里，然后中間也用這樣的曲線把它平均分成了兩份，怎么分？告訴你，答案1/2也告訴你，難道還有問題嗎？

        讓我們不妨回到剛才的這三個(gè)學(xué)習(xí)單里面來看看。這三份非常典型的信息概念，究竟折射出的是孩子怎樣的思維環(huán)境。我們先來看其中第1個(gè)作品，你看，問每只小猴分的這盤桃?guī)追种畮?，這個(gè)孩子選擇了3/6。接著問你是把這盤桃平均分成幾份呢？孩子如實(shí)回答，我是把這盤套平均分成了2份，分一分，說一說，大家發(fā)現(xiàn)了什么？你看明明應(yīng)該是每只小猴分得了這盤桃的1/2，可是這位同學(xué)選擇的偏偏是3/6。1/2和3/6，到底哪一個(gè)才是正確的？難道都對嗎？如果只有一個(gè)是正確的，那這個(gè)孩子為什么會(huì)選擇3/6？他頭腦里究竟是怎么去識別這個(gè)情節(jié)？根據(jù)我們跟孩子們私下的溝通，因?yàn)槲覀儗@個(gè)課要做好多次的研究，孩子給出的答案是非常簡單的，他們說你看把這些桃給平均分給兩只小猴，毫無疑問一共是6個(gè)桃平均的兩個(gè)小猴，當(dāng)然分得這樣的3個(gè)桃。他答案非常簡單，就是3/6，為什么？理由很清晰，一共6個(gè)桃，我拿走3個(gè)桃，我當(dāng)然拿到了這些桃的3/6。大家有沒有發(fā)現(xiàn)他這邊寫的是3/6，可他這邊去選選擇的是平均分成2份。我們在三年級上冊的時(shí)候已經(jīng)說過分母表示的是平均分的份數(shù)，可是你看這里面分母寫是6，平均分的份數(shù)是2，這里是有矛盾和沖突的，但是孩子卻沒辦法在這里面把它識別出來。

        我們再來看看，第2個(gè)孩子。應(yīng)該說第2個(gè)孩子表現(xiàn)出來的思維更大的困境，因?yàn)閺倪@個(gè)學(xué)生作品當(dāng)中反反復(fù)復(fù)的這個(gè)擦的痕跡看的出來。他應(yīng)該說經(jīng)歷了很大的這個(gè)掙扎的過程，我們來看他給出的答案是每只小猴分得這盤桃的2/3，問他；“你把它平均分得幾份？”看這個(gè)同學(xué)擦的痕跡，好像曾經(jīng)寫過3，后來又改成了2，然后下面又把它平均分成了……。原來是平均分成3份，后來又平均改成了2份，然后最后又改成了答案是2/3。應(yīng)該說這個(gè)作品，從學(xué)生不斷的擦、改、換的這個(gè)痕跡當(dāng)中，我們看得出來這個(gè)孩子很糾結(jié)。這就是很正常，因?yàn)檫@是學(xué)生第1次從原來的一個(gè)圖形或者一個(gè)物體平均分得到分?jǐn)?shù)進(jìn)入到了一些物體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份。孩子面臨的挑戰(zhàn)無疑是巨大的，后面我們會(huì)具體分析不充分展開。

        接下來看第3份作品，應(yīng)該說第3份作品，他選擇的正好是我們教材的這個(gè)思路，也是一個(gè)正確的答案。當(dāng)然我這里要說了，這個(gè)孩子他能夠選擇1/2，同時(shí)也給出準(zhǔn)確的答案。這是他獨(dú)立思考的結(jié)果嗎？還是他自學(xué)教材以后，只是把教材里的相應(yīng)的結(jié)論，把它搬到了這個(gè)學(xué)習(xí)單上來？當(dāng)然這里面不得而知，但是待會(huì)兒我們再讓學(xué)生提問這個(gè)環(huán)節(jié)當(dāng)中，我們就看到學(xué)生真實(shí)的困惑就會(huì)出來。

        在整個(gè)的預(yù)習(xí)以后，老師請孩子們提出了自己的困惑。大家看看這個(gè)孩子他提出是怎樣的困惑？他說如果把6個(gè)桃平均分成3份，每份2個(gè)，那既然每份是2個(gè)，為什么不寫2/3呢？還要寫成1/3呢？我以為這個(gè)孩子就跟皇帝新裝里的那個(gè)小男孩一樣，他一下子代表著所有困惑或者至少代表了一大批的孩子，把他們內(nèi)心真實(shí)的困惑給表達(dá)出來。

我們把這道題給找到了，其實(shí)是在蘇教版教材的例二當(dāng)中，題目是這樣的。

        如果把一盤桃平均分，如果把一盤桃平均分成三份，每份又是這一盤的幾分之幾呢?老師選擇了讓孩子在圖中先分一分，再填一填。我覺得老師的引導(dǎo)是非常到位的，如果你不讓孩子去分，那這個(gè)時(shí)候孩子毫無疑問會(huì)填2/6，但是如果分一分以后，那么平均分的過程以及平均分的份數(shù)，以及對應(yīng)的每一份的份數(shù)，就和原來的分?jǐn)?shù)之間建立了聯(lián)系，但是如果你不讓孩子去分的話，那當(dāng)然他應(yīng)該是具有多議性的。你說2/6還是1/3都是無可厚非。

好了，現(xiàn)在我們來結(jié)合的這幅圖，你看學(xué)生的問題是啥意思？6個(gè)桃如果平均分成了三份以后，每份不是2個(gè)嗎？那兩個(gè)為什么不能寫作3份中的這2個(gè)呢？聽著很別扭。

        分?jǐn)?shù)的含義是什么？其實(shí)是把它平均分成幾份來表示的這樣的幾份？但是你會(huì)發(fā)現(xiàn)他一開始就進(jìn)行了混淆，這恰恰是學(xué)生最大的困難。

我想我們可以從這樣的4個(gè)維度進(jìn)行分析：

        第1個(gè)就是剛才所提到的你明明是6個(gè)當(dāng)中的2個(gè)，為什么不是2/6而是1/3呢？因?yàn)閷W(xué)生他頭腦里整數(shù)的思維是非常強(qiáng)大的，你是6個(gè)桃，對不對？那當(dāng)然總數(shù)就是6個(gè)，平均分成三份以后每份是兩個(gè)，這是他看得見摸得著的，這個(gè)時(shí)候，你問他每次是這盤桃的幾分之幾，那當(dāng)然就是6個(gè)當(dāng)中的兩個(gè)，就是2/6?？墒钦_的答案偏偏應(yīng)該是1/3，因?yàn)檫@里平均分成的是三份，每份表示的就是一份，3等份當(dāng)中的一份，難道不應(yīng)該是1/3？但是學(xué)生的困難恰恰就在個(gè)和份之間。

         我們再來看看，這里思維疑點(diǎn)是什么？還有一些孩子我們在溝通的時(shí)候跟我們跟說，他是這里面明明你把這個(gè)平均分成3份，每份不就是2個(gè)嗎？干嘛非得要用分?jǐn)?shù)去表示？以前的整數(shù)，自然數(shù)是可以表示結(jié)果的，而用了分?jǐn)?shù)以后，一會(huì)兒是2/6，一會(huì)兒是1/3，還有的比如說是2/3，這個(gè)就亂做一團(tuán)。這是孩子在思維上面的疑點(diǎn)，我們明明可以用整數(shù)來表示，干嘛還得用分?jǐn)?shù)？三年級學(xué)生的思維疑點(diǎn)是客觀存在的。

      我們再來看看第三個(gè)，認(rèn)知的痛點(diǎn)，就像我們剛才所提到的一會(huì)兒是個(gè)數(shù)，一會(huì)兒是份數(shù)，剪不斷理還亂，很多孩子就陷入了這樣的思維的困頓當(dāng)中，當(dāng)然我們還可以從心理學(xué)的角度對這個(gè)進(jìn)行一個(gè)梳理。比如說這里面涉及到的是知識的一些負(fù)遷移，你比如說包括整數(shù)思維，對他的負(fù)遷移，包括前面的一個(gè)圖形或者一個(gè)物體，它的幾分之一或幾分之幾對今天所學(xué)的內(nèi)容的相關(guān)負(fù)遷移。當(dāng)然，蘇教版在三年級上冊的時(shí)候，接觸分?jǐn)?shù)的時(shí)候，我個(gè)人認(rèn)為分?jǐn)?shù)這個(gè)用來揭示分?jǐn)?shù)的這個(gè)概念，它的外延是不夠充分、什么叫外延不夠充分？就是用來表示1/3的材料本來應(yīng)該是豐富多彩的。

         比如說一個(gè)圖形，一個(gè)物體它的1/3，，然后一些物體組成的整體它的1/3，包括一個(gè)長度單位，一條線段，它的1/3等等。如果在剛剛開始接觸1/3的時(shí)候，我們就能夠把1/3這個(gè)數(shù)學(xué)概念，它的外延，也就是各種各樣的表現(xiàn)形態(tài)都給孩子做出一個(gè)全面的清晰的呈現(xiàn)，然后通過比較、觀察、歸納、概括，形成對1/3的一個(gè)準(zhǔn)確的判斷，那我想也不至于到現(xiàn)在孩子們陷入到整個(gè)混沌當(dāng)中。

        整整一個(gè)學(xué)期過去了，原有的關(guān)于份數(shù)的一些思維，對份數(shù)的一些理解，可能已經(jīng)因?yàn)橛洃涍z忘，差不多已經(jīng)忘得差不多了，這個(gè)時(shí)候你在重新去復(fù)盤的時(shí)候，孩子還是相當(dāng)?shù)睦щy。

        以上就是我們的第一大板塊，我們看到了教材在編排過程當(dāng)中的云淡風(fēng)輕，我們看到了孩子在面對這樣問題的過程時(shí)，他們所思維的這種困頓和糾結(jié)，我們也試圖幫助學(xué)生去還原他們理解的難點(diǎn)，思維的疑點(diǎn)，認(rèn)知的痛點(diǎn)和心理的盲點(diǎn)。找到了問題以后，那么我們到底該怎么辦呢？

路徑1：教材之路，告知或是類比。

        我們來看一下人教版的教材例一的上半部分的類比，一個(gè)大正方形平均分成4份，涂色的一份是1/4。剪開了以后什么都沒有發(fā)生變化，只不過原來從一個(gè)完整的大正方形簡拆分成了4個(gè)獨(dú)立的小正方形，那么涂色部分和整體的這個(gè)關(guān)系應(yīng)該沒有發(fā)生變化，而當(dāng)然還是1/4。如果這里面再給涂上一個(gè)顏色，變成4個(gè)正方形，2個(gè)涂上的黃色。黃色部分又該用幾分之幾來表示？毫無疑問這個(gè)時(shí)候，2/4是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，可是1/2也不是一個(gè)錯(cuò)誤的答案。因?yàn)橹辽僭谶@個(gè)情景當(dāng)中，我們并沒有看出教材希望我們把這4個(gè)長方形看作的整體，到底算平均分成兩份呢？還是平均分成4份呢？答案毫無疑問毫無疑問，如果平均分成4份答案就是2/4，因?yàn)橥可氖莾蓚€(gè)小正方形。

        如果平均分成的是兩份，情況就不一樣了，左邊的這一份兩個(gè)是白色的，右邊的一份，兩個(gè)是黃色的，應(yīng)該是1/2。所以遷移看起來沒有問題。但是一旦情形發(fā)生一些變化的時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生依然可能面臨著巨大的思維挑戰(zhàn)爭。

        例二就不用多說了，我們說這里到這個(gè)教材通過直接告知，一份是蘋果總數(shù)的1/3?？墒?，當(dāng)你在那振振有詞的告訴學(xué)生，注意觀察，這里平均分成了三份，2份正好就是1/3。

        此刻，你是否聽到，臺下的若干同學(xué)的頭腦里冒出的一個(gè)個(gè)的問號?怎么會(huì)是1/3呢?這不明擺的是2/6嗎?也有同學(xué)生會(huì)在思考，這怎么會(huì)是1/3呢？這應(yīng)該是2/3?。科骄殖?份，一份是兩個(gè)，合在一起就是2/3嗎？所以我們可以選擇以類比的方式，我們可以選擇以告知的方式，但是學(xué)生頭腦里存在著這種思維的困頓，是不會(huì)因?yàn)楦嬷蛘呶覀兯^的那個(gè)類比的遷移就輕輕松松得清楚。這就是我們教學(xué)的困境，學(xué)習(xí)意義和價(jià)值存在。

路徑2：曲線救國，先一般再具體。

         在百度里面搜索了一下分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識2，在搜索的這些百度的這些圖片當(dāng)中，這樣的圖片一而再再而三的出現(xiàn)在了搜索引擎當(dāng)中。

        我們來看一下第1幅圖，它和我們剛才的教材相比，有哪些不同？或是這個(gè)例一和我們教材的例一相比有何不同？教材的例一6個(gè)桃子，非常清楚。這里的桃被我們的老師他很巧妙的把它藏在了帽子底下或是器皿下?，F(xiàn)在我們來回到孩子們回到課堂的現(xiàn)場，這樣的課堂給孩子帶來的是什么？設(shè)想一下，因?yàn)檫@盤桃到底是多少？學(xué)生是沒有概念的，,學(xué)生接收的信息是一盤桃。把一盤桃分給小猴時(shí)，每只小猴分得這盤套的幾分之幾，由于沒有個(gè)數(shù)這個(gè)整數(shù)的干擾，正常情況下絕大部分同學(xué)給出的都是1/2這樣的一個(gè)判斷。你問孩子為什么？孩子們會(huì)說，因?yàn)槭且槐P桃，又分成了兩份，那么那個(gè)小猴分得的就是1/2，這有點(diǎn)像我們在三年級上冊認(rèn)識的，把一個(gè)蛋糕平均分成兩份，每份當(dāng)然是整個(gè)蛋糕的1/2，這是知識的正向的遷移。

        等到我們的學(xué)生已經(jīng)對于這個(gè)問題的答案每個(gè)小猴分得這盤桃的1/2，等到學(xué)生已經(jīng)形成了非常清晰的認(rèn)識以后，這里指所謂的既成事實(shí)，我們的老師就把盤子揭開。然后問孩子現(xiàn)在是幾個(gè)桃？孩子會(huì)說6個(gè)桃。老師就要求學(xué)生把這6個(gè)桃平均分成2份，每只小猴分得的是不是1/2？坦率的說，這個(gè)時(shí)候其實(shí)多數(shù)孩子有可能會(huì)受剛才的1/2的影響，因?yàn)樗南?，我剛才你們已?jīng)給出了這個(gè)答案是1/2，也得到了老師的肯定，現(xiàn)在我只不過把這個(gè)蓋子揭開來，那么照理說蓋子揭開來以后他是不會(huì)影響最后的結(jié)果，因此他們就自然而然承認(rèn)這個(gè)答案。揭開蓋子之前答案是1/2，揭開蓋子以后答案它不會(huì)變魔術(shù)，還應(yīng)該是1/2，因此這個(gè)時(shí)候每只小猴分得的這3個(gè)桃仍然是這盤桃的1/2。但是，也不排除有一些孩子有可能會(huì)臨陣倒戈。不對呀，我原來不知道的時(shí)候?qū)懙?/2，這時(shí)我就明明看到了6個(gè)桃子，那這時(shí)候平均分成兩份，每份應(yīng)該是3/6??？每份應(yīng)該啥啥啥啊。所以看得出來，這樣的思路其實(shí)是老師不得已而為之，就像我上面所說的，先一般再具體。就是我先不管你們有幾個(gè)桃，我先默認(rèn)它是一整盤桃，然后通過這樣的一個(gè)一般化的討論，讓孩子們體會(huì)到，每一只小猴得到的一定是這盤桃的1/2。有了這樣的一個(gè)一般化的認(rèn)識以后我再把它具體化，發(fā)現(xiàn)里面是6個(gè)桃，那么其中3個(gè)是1/2 ，4個(gè)桃，其中的兩個(gè)也是1/2，10個(gè)桃其中的5個(gè)也是1/2，然后因?yàn)榇鸢冈缇拖刃辛?，因此孩子們也就只能默認(rèn)這里平均分成的每一份里面的，無論是2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)都是整個(gè)整個(gè)桃的1/2。

        我覺得我們的老師也是真的動(dòng)足了腦筋。沒有辦法，必須要這么曲線救國，因?yàn)槟悴贿@么去做的話，剛才的那三位同學(xué)作品當(dāng)中所暴露出的這樣的一種思維的困境，是我們幾乎在教學(xué)這個(gè)內(nèi)容的時(shí)候沒有辦法回避。

        這樣的情況，真的不只是這一份，你看我們隨便找個(gè)第2個(gè)圖這里面沒有用那個(gè)盤子，他直接用一個(gè)盒子，但是教學(xué)的思路是一模一樣的，把一盤桃平均分給兩個(gè)小猴，每只小猴分了多少？1/2，揭開來，4個(gè)、8個(gè)、12個(gè)、16個(gè)，因?yàn)榇鸢冈缇徒o出了。

        我們再來看看，這個(gè)是屬于把蓋子揭開的。通過這個(gè)蓋子，我們就能感受到，這道題最初是這樣，這個(gè)蓋子有可能一開始是蓋在這一盤桃子的上面，然后讓孩子得到了1/2以后，老師把蓋子揭開，問孩子們，這里涂色的兩個(gè)紅色的桃子是不是也是1/2啊？孩子說：“是的”。白色的呢？“是的”?？墒沁@樣的方式真的幫助學(xué)生解決了他內(nèi)心的困惑嗎？會(huì)不會(huì)有學(xué)生，在蓋子揭開的那一瞬間，它們原有的認(rèn)知就坍塌掉了呢？這些都是值得我們?nèi)ニ伎嫉膯栴}。

        這是給出的第2條路徑，曲線救國，先一般再具體。我先把桃子的數(shù)量隱藏掉，給出一個(gè)抽象的一盤桃，然后再把它慢慢的具體化。

路徑3：荊棘之路，直面學(xué)生真實(shí)困境

        如果說剛才的路徑1選擇的是，輕輕松松往前。通過告知或者先幫助學(xué)生輕松的掌握。那么路徑是2選的是曲線救國，讓你先確定一下1/2的答案。然后接下來再通過給出具體的桃子的個(gè)數(shù)，讓你無處討論。但是路徑3選的是另外一條路，面對難點(diǎn)，不去回避它，也不去繞開它。所謂叫荊棘之路、光榮之路。直面學(xué)生的真實(shí)困境。

策略1：直面現(xiàn)狀，基于真實(shí)的思維而展開。

        還是回到這樣的素材當(dāng)中，什么意思？既然每個(gè)同學(xué)都對這個(gè)情境給出了不同的答案，你說是2/6，我說是2/3，你說是1/2。我既不忽略你的，我也不忽略他的，每個(gè)同學(xué)都平等的、真實(shí)的帶著自己原有的思維來到課堂上，這就叫不回避，直面學(xué)生的真實(shí)思維。

第一，暴露真實(shí)思維。

        你看這個(gè)老師就非常好，它通過提供這樣的學(xué)習(xí)單，讓孩子們把自己最真實(shí)的思維暴露出來。我不掩蓋，我也不強(qiáng)求你，我就想看看你到底是怎么想的。當(dāng)然這里說實(shí)話我仍然還是比較震驚的，因?yàn)楫吘刮覀兒⒆右呀?jīng)自學(xué)過教材的76頁的例一了，如果自學(xué)完了以后，孩子依然會(huì)存在這樣一些錯(cuò)誤的想法，那么我們對于如果不去咨詢,孩子們頭腦里的那種思維的困頓，得抱有多么大的這樣的一種感受啊。

第二，引導(dǎo)學(xué)生充分對話

        每個(gè)4人的小組里面，有可能你選擇的答案是3/6，我選擇的是2/3，你可能選的是1/2。那么每一個(gè)同學(xué)都帶著自己的理解和認(rèn)識過來，當(dāng)然有的孩子可能做的是非常清晰的，有的孩子頭腦可能是非常模糊的.每個(gè)人都努力的把自己的想法，充分的去表達(dá)出來，然后我同意你的想法，我不同意你的想法，我的理由是什么？那你的理由是什么？讓不同的觀點(diǎn)之間展開充分的對話碰撞。

        我們中國有句話叫：“真理，越辨越明?！本退阏胬頉]辦法通過討論達(dá)到某一種統(tǒng)一，但至少大家對于每個(gè)同學(xué)為什么選擇這樣的一個(gè)答案，他背后選的這個(gè)理由，大家會(huì)漸漸的越來越清晰，這樣的充分對話和交流將為接下來老師的出手，老師的介入，提供一個(gè)非常寶貴的前期經(jīng)驗(yàn)。

第三，回歸原點(diǎn)思辨

        在學(xué)生經(jīng)歷過思維真實(shí)的道路以及充分的對話、辯論、討論以后，我想我們的老師將該出手的時(shí)候應(yīng)該出手了。我們的老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生回歸原點(diǎn)，展開思路。這里的原點(diǎn)是什么？原點(diǎn)指的是分?jǐn)?shù)的含義。因?yàn)樵谔囟ǖ那榫钞?dāng)中，究竟該用幾分之幾表示？實(shí)際上它是跟桃子的個(gè)數(shù)沒有關(guān)系的。分?jǐn)?shù)它是跟平均分的份數(shù)以及表示的份數(shù)是有關(guān)的。還記得我們在三年級上冊，也就是最初學(xué)習(xí)一個(gè)物體或者一個(gè)圖形的幾分之一或者幾分之幾的時(shí)候，我們已經(jīng)非常清晰的和孩子們建立這樣的共識。1/2，這里的2不是表示兩個(gè)也不是表示兩塊，它表示的是什么？是2份 。這里的1，它表示的也不是1個(gè)，那也不是1塊也不是1批，它表示的是1份。因此1/2很清楚表示的是把一個(gè)東西平均分成了兩份，表示這樣1份，就叫1/2。

        既然分?jǐn)?shù)的含義指的是平均分成若干份以后的一份或幾份。那我們回到今天的情境當(dāng)中來，看把這些桃平均分給兩只小猴，應(yīng)該說3號同學(xué)和2號同學(xué)，他們的分法都是正確的。那接下來每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？你既然問我的是幾分之幾，那我就得根據(jù)分?jǐn)?shù)的含義去思考。平均分成了幾份？兩份，每只小猴拿到了這樣的幾份？注意，每只小猴拿到的是這樣的幾份？而不是幾個(gè)？這里的3個(gè)是1份，因此我們說6個(gè)桃看作一個(gè)整體平均分成了2份，每只小猴拿到的這3個(gè)，正好相當(dāng)于其中1份，2等份中的1份，答案當(dāng)然就應(yīng)該是1/2。那左邊的這3個(gè)桃能不能用3/6表示？可以，關(guān)鍵看你怎們分。如果我們把它平均分成6份，而其中的3份.當(dāng)然是占這些桃的3/6，但是這已經(jīng)不再是這個(gè)問題，而已經(jīng)轉(zhuǎn)化了另外一個(gè)問題了，所以我想這里所說的策略1是什么？就是直面現(xiàn)狀，基于真實(shí)的思維而展開。

策略2：結(jié)構(gòu)重組，基于整體框架進(jìn)行

結(jié)構(gòu)重組（1個(gè)物體，1些物體，幾分之一、幾分之幾）

        這里面有可能會(huì)涉及到整個(gè)教材的體例的一些調(diào)整，我們的想法是什么？對整個(gè)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識進(jìn)行重組。這里面不光是要把三下和三上整合在一起，也不完全是按照北師版的一個(gè)教材來進(jìn)行，我們是從心理學(xué)的角度來說，初步認(rèn)識1/2的時(shí)候，我們既要引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識一個(gè)物體，它的1/2。也要認(rèn)識一些物體組成的整體，它的1/2。既要去認(rèn)識幾分之一，也要認(rèn)識幾分之幾。一句話就是我們一開始就應(yīng)該從份數(shù)這個(gè)角度切入，無論你是一個(gè)物體還是一些物體組成的整體，我們可以嘗試把它整合在一起展開教學(xué)。我們形成的大的觀念是什么？我不管你是一個(gè)物體，還是一些物體組成的成體，還是一個(gè)劑量單位，當(dāng)然還是一條線段，我只在乎的是你把這個(gè)對象平均分成了幾份？涂色的那一部分到底相當(dāng)于平均分成的若干份以后的幾份？如果你平均分成了3份，涂色的是其中的一份，不管原來一共多少個(gè)，不管這一份里面是多少？答案就是1/3，因?yàn)檫@本身就是1/3的原初的含義。

        通過這樣的結(jié)構(gòu)的重組，我們帶來的是什么？實(shí)際上帶來的就是分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，讓它的外延變得足夠的豐富。所謂的外延，我前面提到了，就是1/2，它的外延應(yīng)該是一個(gè)餅它的1/2。然后兩個(gè)餅組成的整體它的1/2。還有8個(gè)餅組成個(gè)整體的1/2。這些其實(shí)都是1/2，這個(gè)數(shù)學(xué)概念的外延。我們在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，我們不能只把這個(gè)概念的外延的一部分作為教材的重點(diǎn)，把另一些分成重要的部分，就這里所說的就是一些物體組成的整體，這樣一個(gè)幾分之一，這樣的外延擱置在一邊，或者說到三年下冊再去面對。那這樣的話，其實(shí)是就是在一開始的時(shí)候，學(xué)生建立的這個(gè)分?jǐn)?shù)的概念，它就是有殘缺的、有缺陷的。然后等到這樣的殘缺的缺陷已經(jīng)固化為一種認(rèn)知以后，你到了三年級下冊的時(shí)候，再來挑戰(zhàn)一些物體的幾分之一，幾分之幾，孩子們一定是會(huì)面臨的新的困難，這是第1點(diǎn)。

強(qiáng)化內(nèi)涵（分母、平均分的份數(shù)、分子。表示這樣的幾份）

       分?jǐn)?shù)的概念就是先分后數(shù)，我記得華國強(qiáng)老師曾經(jīng)說過的一句話是分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)，先分后數(shù)。什么意思？比如說就是他其實(shí)要告訴我們的是什么，就是分?jǐn)?shù)他跟個(gè)數(shù)之間并沒有具有必然的聯(lián)系，和分?jǐn)?shù)深度關(guān)聯(lián)的，其實(shí)就是平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)。份數(shù)才是影響分?jǐn)?shù)結(jié)果的重要因素，因此我們在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候應(yīng)該更加強(qiáng)化，引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注平均分了多少份？涂了幾份？平均分了多少份，涂了這樣的幾份。在份和分。份和份之間的不斷的強(qiáng)化當(dāng)中，學(xué)生健立起來的的分?jǐn)?shù)概念才是真正準(zhǔn)確的、科學(xué)的。比較溝通（1/4不是2/8、1/4=2/8）        加強(qiáng)多項(xiàng)的比較和溝通，把學(xué)生可能頭腦里存在的一些困惑，能夠幫助他們得到更好的一些暴露和釋放。如說我們可以讓孩子在8個(gè)桃，這邊是平均分成4份，涂一份。那邊是平均分成8份，涂兩份。我們可以組織這樣的比較，讓學(xué)生去思考練習(xí)。左邊它就是1/4，為什么？因?yàn)樗?份、1份。右邊就是2/8，為什么？因?yàn)樗?份、兩份。因此1/4和2/8，它所表示的含義是不一樣的。但是我們已經(jīng)告訴孩子，他們的這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小是相同的，畢竟都是這些8個(gè)桃當(dāng)中的這兩個(gè)，因此兩個(gè)表示含義不同的分?jǐn)?shù)，在最后的分?jǐn)?shù)大小上它是可以相等的，通過這樣的比較溝通，可以打破學(xué)生頭腦的一些原有的錯(cuò)誤的觀點(diǎn)。那這塊就明白了，噢，終于知道了，這里把它看成2/8是可以的，關(guān)鍵你要知道2/8，我得平均分成8份，然后表示這樣的2份，這是我們這里所需要重點(diǎn)梳理的部分。

第三板塊：要點(diǎn)回顧

        剛才從兩大部分把分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、一些物體組成的整體。它的幾分之一，它的幾分之一或者幾分之幾的教學(xué)和大家做了梳理。我們主要分成了兩大板塊，第一板塊我們主要探析了教材的這個(gè)任或者這個(gè)學(xué)習(xí)知識點(diǎn)的這個(gè)難處以及它到底難在何方？接下來面對這樣的一個(gè)困境，我們到底該如何去解決問題。

        我們從三個(gè)方面展開：一、教材之路，它通過了告知或者類別的方式，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)這個(gè)原來的一個(gè)物體的幾分之一，幾分之幾，像一些物理組成的整體來進(jìn)行進(jìn)一步進(jìn)行分析進(jìn)行了遷移。這樣的一條路徑，有可能會(huì)一概學(xué)生真實(shí)的一些思維困境。

        同樣的路徑二，所謂的曲線救國，先一般再具體通過不告訴你這盤桃有多少個(gè)。我先把它蓋著，讓你得出結(jié)果以后再告訴你這盤桃的個(gè)數(shù)，然后在這個(gè)過程當(dāng)中，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識的障礙，但是這背后也是有可能存在學(xué)生的相應(yīng)的一些認(rèn)知的方面和困境。

        最后我們給出的第三條路也就是荊棘之路，我們希望我們的教學(xué)可以不用害怕學(xué)生存在的困難，我們可以直面學(xué)生真實(shí)的困境，可以讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)單把自己真實(shí)的思維給暴露出來，讓大家進(jìn)行碰撞對話，就能實(shí)現(xiàn)知識的架構(gòu)。

        當(dāng)然這是其中的一種思路，還有一種思路是什么呢？我們可以通過對教材內(nèi)容的重新組合和整合，然后讓我們的教學(xué)能夠更加順利學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)的一般規(guī)律，包括強(qiáng)化分?jǐn)?shù)的份數(shù)，要為孩子做個(gè)更好的理解和掌握分?jǐn)?shù)的含義。