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捆綁旋轉(zhuǎn) 瓜豆原理 旋轉(zhuǎn)放縮 手拉手相似 看似名稱不同實(shí)則是一個(gè)原理。當(dāng)然很多大佬都發(fā)現(xiàn)過(guò)，也被很多老師叫“某某大佬原理”其實(shí)說(shuō)出來(lái)不管你信不信，我也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)過(guò)這個(gè)原理，并用GGB做圖驗(yàn)證過(guò)。 當(dāng)然也不是我多么聰明，主要是做了一道題，這道題里一下兒漏了天機(jī)，就下邊這題，題里的已知條件似乎就在告訴你，翻譯過(guò)來(lái)就是：若滿足定角定比，則軌跡必相似。所以C的軌跡和A、B一樣都是雙曲線?。ǚ幢壤瘮?shù)圖像雙曲線應(yīng)該都相似）
相信熱愛(ài)思考的人們，看到這題的條件，肯定會(huì)不禁思考，主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)之間，存在著某種關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致了他們的軌跡“相似”。當(dāng)時(shí)我利用GGB軟件獨(dú)立驗(yàn)證了這一結(jié)論，即“定角定比，軌跡相似”，遂取名為“定角定比”原理。 后來(lái)在網(wǎng)群討論的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)早已有老師發(fā)現(xiàn)了這一原理，有的按名字命名為“某某人原理”，又有的老師喜歡風(fēng)雅，援引古語(yǔ)中“種瓜得瓜，種豆得豆”，簡(jiǎn)稱為“瓜豆原理”，從此這個(gè)名號(hào)慢慢的傳開(kāi)。 當(dāng)然，即便不熱愛(ài)思考，也是能夠做出此題的！這道題的具體做法是利用相似：
我獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的時(shí)候給他起名叫定角 定比原理。 很久之前做過(guò)一次關(guān)于瓜豆現(xiàn)象的例題分析視頻，喜歡考古的朋友可以點(diǎn)擊查看： （強(qiáng)烈建議弦看這個(gè)視頻在學(xué)習(xí)本文） 那么今天主要來(lái)說(shuō)以說(shuō)這個(gè)現(xiàn)象怎么轉(zhuǎn)化為課本上支持的內(nèi)容（畢竟課本上沒(méi)有），也就是轉(zhuǎn)化成旋轉(zhuǎn)相似也就是手拉手相似。我們要了解，手拉手的相似三角形會(huì)“生出”一對(duì)新的相似。 之前也發(fā)過(guò)手拉手的詳細(xì)解說(shuō)視頻 可點(diǎn)擊查看 有了這些作為基礎(chǔ)，接下來(lái)我們看兩道題，一道是直線型瓜豆，一道是圓弧型瓜豆（基本初中的動(dòng)點(diǎn)軌跡考察的就是這兩種，當(dāng)然也有額外的比如函數(shù)圖像型軌跡瓜豆） 其實(shí)有一個(gè)秘密我一直沒(méi)有明說(shuō)，不管是直線還是圓弧軌跡，其實(shí)都是有兩套解法，在之前老的文章當(dāng)中沒(méi)有提起第二套解答方法，本次（2022.10）將進(jìn)行更新！其實(shí)很多聰明的朋友已經(jīng)想到了！ 模型識(shí)別：一個(gè)模型最重要的不是模型結(jié)論，而是模型識(shí)別（或者叫模型條件），很多人不會(huì)識(shí)別模型只是一味的記結(jié)論，這就會(huì)導(dǎo)致做題的時(shí)候“看不出”模型或者把一些“長(zhǎng)得像”的模型搞混淆。 瓜豆的識(shí)別，根據(jù)我起的名字，即有主動(dòng)點(diǎn)，從動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，且兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)滿足“定角定比”（定比指的是兩動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離之比），或者可以更加生動(dòng)的理解為，三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)“形狀不變”的三角形。 例1：圓弧形軌跡 我們?cè)倏匆粋€(gè)圓弧軌跡經(jīng)典題目，以這個(gè)題目為例介紹兩套瓜豆的基本方法！
（為了懷舊，保持題目最初遇見(jiàn)的樣子） 方法1：找“從動(dòng)”軌跡 首先先做處理，可以把AB，或AC按住不動(dòng)， 如果按住AC 不動(dòng)，那么，點(diǎn)B繞A轉(zhuǎn)圓周（AB為半徑定值）
按住AB類似，不動(dòng)如下圖
我這里就按住AB不動(dòng)，那么可以看出C為主動(dòng)點(diǎn)，O為從動(dòng)點(diǎn)，正方形只是一個(gè)背景打醬油，主要是定型的三角形△BCO
顯然滿足定角定長(zhǎng)比。稱定點(diǎn)B為瓜蒂，找圓弧軌跡核心的就是找圓心與半徑，這里主動(dòng)點(diǎn)C的圓心是A（簡(jiǎn)稱主動(dòng)心），半徑是2。根據(jù)角度和長(zhǎng)度比可以找到從動(dòng)點(diǎn)的圓心（簡(jiǎn)稱從動(dòng)心）。 關(guān)鍵怎么找？即牢記主到從的定角（注意方向順逆時(shí)針），主與從線段的定比
兩個(gè)圓心必須也符合定角定長(zhǎng)比。
這里的主從角是順時(shí)針45度，長(zhǎng)度比是跟號(hào)2比1，所以主從軌跡圓心，也是符合這個(gè)“定角定比”，也就是把主動(dòng)心A繞瓜蒂B順時(shí)針轉(zhuǎn)45度再縮小跟號(hào)2倍即可得到從動(dòng)心圖中點(diǎn)H。
主動(dòng)點(diǎn)，從動(dòng)點(diǎn)，瓜蒂和主心，從心，瓜蒂分別構(gòu)成兩個(gè)形狀相同的三角形，并且是手拉手，生相似，通過(guò)生出的相似可以得到，兩個(gè)圓的半徑比，也等于定長(zhǎng)比。然后根據(jù)點(diǎn)圓距離就可以做題了。當(dāng)然如果萬(wàn)一考了選擇填空?？芍苯赢?huà)出圓軌跡（自己心里知道咋畫(huà)就行了），只構(gòu)造相似，如果是解答或說(shuō)理接下來(lái)利用圖中的AH定長(zhǎng)，HO定長(zhǎng)，三角形三邊關(guān)系即可說(shuō)明最大和最小值。
特別注意這道題研究的是從動(dòng)點(diǎn)O是到A的距離（A簡(jiǎn)稱為從距點(diǎn)），也就是這里的主動(dòng)心和從距點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)：A。其實(shí)完全可以不是同一個(gè)，只不過(guò)為了顯得題目精簡(jiǎn)，如果不是同一個(gè)的，依然也可以利用定角定長(zhǎng)比，找到另一個(gè)距點(diǎn)，同理構(gòu)造手拉手。 小總結(jié)：就是有“主動(dòng)心”找“從動(dòng)心”，所以記得是“由主到從”的“定角定比”，這和接下來(lái)的方法二是完全相反的！ 新圖：
方法2：“從距”轉(zhuǎn)“主距”（2022.10） 除了找軌跡的方法，還有一個(gè)方法也可以，就是將“從距”轉(zhuǎn)化為“主距”，顯然是“有從找主”的變化，所以注意定角定比的變化！ 轉(zhuǎn)化距離的關(guān)鍵是找“距點(diǎn)”，本題中求的是OA，也就是從動(dòng)點(diǎn)O到A（A簡(jiǎn)稱從距點(diǎn)）的距離。那么我們只要把OA轉(zhuǎn)化為主動(dòng)點(diǎn)C到某個(gè)距點(diǎn)（簡(jiǎn)稱主距點(diǎn)）的距離即可！
怎么轉(zhuǎn)化，還是根據(jù)定角定比！注意這次是由從到主，所以應(yīng)當(dāng)是：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再擴(kuò)大根號(hào)2倍！即可得主距點(diǎn)J.
有了主距點(diǎn)，就可以把從距OA轉(zhuǎn)化為主距CJ
因?yàn)槭掷窒嗨疲珻J=根號(hào)2倍的OA，這樣只需研究CJ的最值即可啦，當(dāng)然這個(gè)方法最要注意的就是CJ和OA還有一個(gè)系數(shù)（有時(shí)候可以是1），注意求出CJ最值后別忘了乘以系數(shù)（別問(wèn)我怎么知道的……） 例2：直線型軌跡
有了圓弧的鋪路，會(huì)不會(huì)直線軌跡就簡(jiǎn)單多了呢？其實(shí)還真有一個(gè)難點(diǎn)埋藏！先根據(jù)瓜豆原理看動(dòng)圖
方法1：化“從距”為“主距” 做輔助線，就可以變?yōu)槭掷窒嗨迫鐖D。
定住看看
因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)過(guò)程中，主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，到定點(diǎn)的距離之比為定值（簡(jiǎn)稱主從比），連線夾角為定值（簡(jiǎn)稱主從角含 順逆），是發(fā)生瓜豆的條件，一般題目里會(huì)給一個(gè)形狀不變的三角形（角可為0°，比值可為1）。如下圖標(biāo)出了主從動(dòng)點(diǎn)?？磮D，主動(dòng)點(diǎn)D，從動(dòng)點(diǎn)E，固定三角形DEA，這里A是那個(gè)定點(diǎn)（A瓜蒂），DA比EA為定長(zhǎng)比，DA到EA為逆時(shí)針45度（注意區(qū)分順逆，我是從主動(dòng)點(diǎn)連線轉(zhuǎn)到從動(dòng)點(diǎn)連線，也可以稱為主從角（反之可稱為從主角））
這題問(wèn)的是到C的距離，C是關(guān)鍵點(diǎn)為從距離點(diǎn)（因研究的是EC）。我們構(gòu)造相似把從距CE轉(zhuǎn)化為主距FD，就要找到主距點(diǎn)F。非常簡(jiǎn)單，主從距點(diǎn)到瓜蒂A的長(zhǎng)度比和角度是和主從動(dòng)點(diǎn)一樣的。所以找到主距點(diǎn)F，也可以看做是把C繞A順時(shí)針轉(zhuǎn)45度，再放大根號(hào)2倍，（或者說(shuō)是做一個(gè)三角形等直ACF，因?yàn)樵}目李的固定三角形就是等直，所以說(shuō)記住三角形定型也是很快做題的方法）
然后ADE和AFC兩三角形就構(gòu)成了手拉手相似，還會(huì)生出一對(duì)相似，根據(jù)生出的相似比也為主從比。EC可以轉(zhuǎn)化為DF如下圖。
接下來(lái)就只需要求出DF的最值即可，千萬(wàn)別忘了最后答案要乘以系數(shù)在換回來(lái)！
方法2：定“從動(dòng)”軌跡（2022.10更新） 那么大家一定會(huì)問(wèn)了，直線型軌跡怎么才能象圓弧形軌跡那樣，直接找到從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，直接做呢？ 先說(shuō)一個(gè)結(jié)論：其實(shí)直線型軌跡，主從直線軌跡的夾角也等于主從角。如下圖：
那這個(gè)結(jié)論怎么才能用綱內(nèi)知識(shí)得到呢？這就涉及到了直線型軌跡的奧秘了！剛才說(shuō)圓弧軌跡的關(guān)鍵是確定圓心和半徑兩要素。其實(shí)直線軌跡也有兩要素：即定線段和定夾角?。?！什么意思呢，就是給定固定位置線段的一端點(diǎn)過(guò)這個(gè)端點(diǎn)以固定的夾角做直線，這樣直線的位置和方向就是唯一鎖定的，也就鎖定了直線軌跡！ 當(dāng)然直線上有無(wú)數(shù)點(diǎn)，也能聯(lián)結(jié)無(wú)數(shù)線段，就姑且選最特殊的一種線段“垂線段”，看下圖：瓜蒂A到兩動(dòng)點(diǎn)的直線軌跡的距離之比和夾角也是“定角定比”
垂線段的關(guān)鍵 又是什么呢？是垂足！如下圖過(guò)定點(diǎn)A做主軌跡的垂線，垂足為H（簡(jiǎn)稱主垂足），由H找到從軌跡的垂足即可
由于是“由主到從”所以將H點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，縮小根號(hào)2倍，得到從垂足J點(diǎn)。過(guò)J做垂直與AJ的直線即為從動(dòng)點(diǎn)的軌跡直線（其實(shí)是線段啦因?yàn)橹鲃?dòng)點(diǎn)D有限制范圍）
這里的從軌跡直線JE恰好經(jīng)過(guò)主垂足H，只是特例巧合不具有一般性！
有了E的軌跡，那就易得，AE的最小值了（E，J重合時(shí)） 當(dāng)然你會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這樣找軌跡有點(diǎn)大費(fèi)周章，所以在實(shí)際做題是一般直線型瓜豆采用轉(zhuǎn)化法比較簡(jiǎn)單，而圓弧形瓜豆兩種方法都可以采用！ 總結(jié)： 我們總結(jié)一下就是主動(dòng)點(diǎn)，從動(dòng)點(diǎn)，瓜蒂組成一個(gè)固定形狀的三角形，主距點(diǎn)，從距點(diǎn)，瓜蒂，也是相同固定形狀三角型，主動(dòng)心，從動(dòng)心，瓜蒂，也是相同固定形狀三角型，瓜蒂+主XX+從XX 組成的三角形手拉手產(chǎn)生相似。 以上就是如何通過(guò)構(gòu)造相似，把瓜豆原理，轉(zhuǎn)為綱內(nèi)的知識(shí)，大題寫(xiě)過(guò)程就可以放心的寫(xiě)了。 練習(xí)： 如下題是2018南通中考，就考察的這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，大家可以練一練，如何構(gòu)造，避免提瓜豆。 （定角？？度，定長(zhǎng)比？：？）
解析點(diǎn)擊放大：
（本集完） |
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