本題選自2022年貴州遵義中考數(shù)學(xué)壓軸題，題目以四點(diǎn)共圓問題為基礎(chǔ)，考查幾何定值等問題，值得了解。

【題目】

綜合與實(shí)踐

“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．

提出問題：

如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．

探究展示：

如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）

∵∠B＝∠D

∴∠AEC+∠B＝180°

∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）

∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

反思?xì)w納：

（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：　   　；依據(jù)2：　   　．

（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為     ．

拓展探究：

（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．

①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；

②若AB＝2√2 ，AD·AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．

【分析】

（1）依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓。

（2）先得到四點(diǎn)共圓，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到結(jié)論為45°。

（3）①四點(diǎn)共圓，可以根據(jù)前面的探究結(jié)論得出。

根據(jù)等腰和對稱，可以得到∠AED=∠ABD=∠ACD。那么就可以得到點(diǎn)A、D、B、E四點(diǎn)共圓。也可以證明∠DAE+∠DBE=180°。

②遇到線段乘積，首先想到的是比例與相似。求的是AD·AF的值，給的條件是AB的值。那么可以聯(lián)想到△ABD是否與△AFB相似。如果相似，則可以立馬得到結(jié)論。

它們是有公共角的三角形，那么只需證明另一對角相等即可。

根據(jù)軸對稱和四點(diǎn)共圓，可以得到∠DAC=∠DAE=∠DBF，那么可以得到點(diǎn)A、B、F、C四點(diǎn)共圓。

那么就可以得到∠ABC=∠C=∠F，那么就可以得到△ABD∽△AFB，

進(jìn)而得到AB/AF=AD/AB，則AD·AF=AB2=8。

【總結(jié)】

本題主要考查四點(diǎn)共圓與相似等性質(zhì)，難度不大，但是考查的知識(shí)點(diǎn)比較重要。