本題設(shè)計比較巧妙，與以往函數(shù)的直角三角形存在性問題不太一樣。其實本題更傾向于相似三角形的存在性問題。因為目標(biāo)三角形有一個角是固定的。具體情況下面的內(nèi)容，本題值得好好做一下。
（2022·安順）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD邊上的一點，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點D恰好落在AB邊上的點F處，延長CE交BA的延長線于點G．
（3）如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動點（與端點不重合），且∠DMN＝∠DCM，設(shè)DN＝x，是否存在這樣的點N，使△DMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
（1）題（1）是學(xué)了勾股定理之后非常常見的題目之一：矩形+折疊。
先標(biāo)出已知條件，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得到BF=6，進而得到AF=4，設(shè)AE=x，那么表示出DE=EF=8-x，在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論。（2）證明菱形則根據(jù)菱形的判定即可。有了（1）中的結(jié)論，其實不難得到（2）的結(jié)論。根據(jù)AG∥CD，那么可以得到AE/DE=AG/CD，
進而得到AG=6，此時可以得到GF=AG+AF=10。那么就可以得到四邊形DGFC的一組對邊平行且相等，說明它是平行四邊形。再根據(jù)CD=CF得到鄰邊相等，那么就可以得到它是一個菱形了。
（3）因為已知∠DMN＝∠DCM，而且△DMN為直角三角形，所以可以得到△DMN與△CDE相似，而且情況只有2種，因為∠DMN不能為直角。
①如下圖，當(dāng)∠MDN=90°時，此時可以得到MD⊥ND，且MD=2ND。
因為DG=DC，所以∠DGC=∠DCG，DG=10，所以DM=5，那么就可以得到ND=2.5。
②如圖，當(dāng)∠MND=90°時，MN⊥ND，依然有MN=2ND。
那么可以得到NG=2MN，所以可以得到NG=4ND。
本題雖然不難，但是設(shè)計比較巧妙，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識與基本技能是否過關(guān)。更多精彩請關(guān)注《中考數(shù)學(xué)壓軸題全解析》！
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