1915年底由愛因斯坦提出的描寫引力的廣義相對論可以被認(rèn)為是整個物理學(xué)里最漂亮的理論。然而這樣一個在物理思想和數(shù)學(xué)表述上如此之漂亮的理論是僅僅擁有形式上的和諧美，還是說它仍然是對我們客觀世界的真實描述？本文將以廣義相對論第一個嚴(yán)格解——史瓦西解為例，定量檢驗廣義相對論的正確性。盡管史瓦西解是廣義相對論引力場方程最簡單的非平凡解（靜態(tài)球?qū)ΨQ解），但它卻精確地描述了太陽附近的引力場。在傳統(tǒng)牛頓引力理論的框架下，太陽附近的行星會圍繞太陽做封閉的橢圓軌道運動；經(jīng)過太陽附近的光線會不受其影響地沿直線傳播。所以這里我們希望定量地看看在由新的引力理論——廣義相對論給出的史瓦西時空（太陽附近的引力場）下，行星和光線的運動軌跡究竟會顯現(xiàn)出什么樣的與傳統(tǒng)牛頓引力理論不同的結(jié)論，這些結(jié)論又是如何被精確的天文觀測一一印證的。

1史瓦西度規(guī)——愛因斯坦場方程的靜態(tài)球?qū)ΨQ解

先考慮狹義相對論描述的平直時空情形。由于將要處理球?qū)ΨQ分布的引力場問題（比如由恒星太陽產(chǎn)生的引力場），所以我們在自然單位制下寫出閔可夫斯基平直度規(guī)在球坐標(biāo)系下的形式是：

現(xiàn)在考慮一個球?qū)ΨQ物質(zhì)產(chǎn)生的球?qū)ΨQ分布的引力場（比如位于坐標(biāo)原點附近的某個恒星產(chǎn)生的引力場）。依據(jù)Birkhoff定理，此時的度規(guī)必然是靜態(tài)的，即所有度規(guī)分量都不存在時間依賴性。推斷此時的度規(guī)形式是：

這是個靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)，也叫“史瓦西度規(guī)”。當(dāng)時，該度規(guī)需要退化到平直時空下閔可夫斯基度規(guī)的形式。同時注意到這里將度規(guī)里的待定參數(shù)設(shè)成指數(shù)函數(shù)的形式并沒有特殊的物理意義。這樣做只是為了方便之后計算聯(lián)絡(luò)和曲率，因為這兩者的計算都牽涉到度規(guī)的導(dǎo)數(shù)，而對指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)是最簡單的。現(xiàn)在有了度規(guī)的形式，我們可以根據(jù)它先求出聯(lián)絡(luò)，即克里斯托菲爾符號：

經(jīng)過一些繁雜的計算，我們最終得到如下9個獨立的非零聯(lián)絡(luò)系數(shù)：

因為聯(lián)絡(luò)關(guān)于兩個下標(biāo)對稱，所以還有一些非獨立的非零聯(lián)絡(luò)系數(shù)沒在上面單獨列出來，讀者容易通過這個下標(biāo)間的交換對稱性將其它4個非零的聯(lián)絡(luò)系數(shù)補(bǔ)齊，即：

可以發(fā)現(xiàn)，原本64個聯(lián)絡(luò)系數(shù)中只有13個系數(shù)非零！現(xiàn)在我們可以利用它們?nèi)ビ嬎憷杪蕪埩浚?/p>

經(jīng)過一些繁雜的計算，我們最終得到如下6個獨立的非零黎曼曲率張量的分量：

讀者容易通過黎曼曲率張量指標(biāo)間的輪換對稱關(guān)系將其它6個對應(yīng)的非零黎曼曲率張量的分量補(bǔ)齊，即：

可以發(fā)現(xiàn)，原本256個黎曼曲率張量（帶有4個指標(biāo)）的分量中只有12個分量非零！現(xiàn)在我們可以將它們縮并成只帶2個指標(biāo)的里奇張量（里奇張量可以看成是黎曼曲率張量的某種平均，它也正是愛因斯坦引力場方程中真正需要用到的曲率張量）。里奇張量原本有16個分量，但因為原始度規(guī)的高度對稱性，所以可以發(fā)現(xiàn)在對上面算出的黎曼曲率張量縮并后只會得到如下4個可以非零的里奇張量的分量。它們恰好對應(yīng)該矩陣的4個對角元（注意：和不獨立）：

由于我們現(xiàn)在考慮的產(chǎn)生引力場的物質(zhì)（比如恒星）只是局限在坐標(biāo)原點附近的一小塊有限區(qū)域，而我們真正希望研究的時空區(qū)域是位于該物質(zhì)（恒星）外部的，所以此時的能動張量和它的縮并均為0。所以我們要解的只是最簡單的真空愛因斯坦場方程。因為之前計算出的里奇張量是個的對角矩陣，所以為了讓里奇張量滿足上述真空愛因斯坦場方程，它的所有對角元必須為0。將之前算出的里奇張量里對角元的具體表達(dá)式代入：

將上述關(guān)于和的兩個式子相加：

容易解出：

其中是積分常數(shù)。將上式代入史瓦西度規(guī)的表達(dá)式，同時注意到可以被重新命名/定義成新的坐標(biāo)時（這樣做并不影響所有真實的物理可觀測量）：

這種重新定義相當(dāng)于令，代入的表達(dá)式得到：

這是個一階常微分方程。通過分離變量法得出方程的解是：

其中是由積分常數(shù)生成的待定常數(shù)。將以上解的形式代入史瓦西度規(guī)的表達(dá)式：

容易驗證當(dāng)時，該度規(guī)的確退化到平直時空下閔可夫斯基度規(guī)的形式。所以到此為止我們已經(jīng)通過真空愛因斯坦方程定出了史瓦西度規(guī)的數(shù)學(xué)形式。關(guān)于度規(guī)里待定常數(shù)的確定我們還得利用廣義相對論的運動方程——測地線方程。我們的思路是：在低速靜態(tài)弱場極限下測地線方程會退化到由牛頓第二定律和萬有引力定律給出的運動方程。

一方面，在低速弱場近似下測地線方程將退化成：

另一方面，通過牛頓第二定律和萬有引力定律里關(guān)于牛頓引力勢的結(jié)論可以寫出：

其中是經(jīng)典的牛頓引力勢。所以通過對比上述測地線方程給出的結(jié)果和牛頓運動定律給出的結(jié)果可以定出。

最后將待定常數(shù)的值代入史瓦西度規(guī)的表達(dá)式得到自然單位制下的史瓦西度規(guī)形式是：

史瓦西度規(guī)是愛因斯坦引力場方程的第一個嚴(yán)格解，也是一個極其重要的解。它的物理內(nèi)涵相當(dāng)豐富，很多重要的時空情形都可以用它去描述。比如由太陽產(chǎn)生的引力場就可以用史瓦西度規(guī)精確地描述。所以下面我們就研究兩個具體情形，即：在太陽產(chǎn)生的史瓦西時空下水星軌道近日點的進(jìn)動和光線掠過太陽表面時的偏折。

2水星軌道近日點的進(jìn)動

有了第1節(jié)中解出的史瓦西度規(guī)的形式，我們現(xiàn)在就具體研究一下在由恒星（太陽）產(chǎn)生的史瓦西時空下行星的運動軌跡。由中最后解出的史瓦西度規(guī)的形式可以直接讀出和的具體形式。將其代入中已經(jīng)求出的聯(lián)絡(luò)系數(shù)表達(dá)式容易得到：

行星運動的軌道由廣義相對論的運動方程——測地線方程給出。將上面已經(jīng)算好的聯(lián)絡(luò)系數(shù)代入測地線方程可以得到如下分別關(guān)于的測地線方程。

注意到因為史瓦西度規(guī)分量中沒有和的依賴性，所以該度規(guī)具有連續(xù)的時間平移不變性和關(guān)于角的旋轉(zhuǎn)不變性。所以根據(jù)諾特定理我們期待關(guān)于和的測地線方程（運動方程）會給出兩個守恒量：一個是能量，另一個是軌道角動量。

關(guān)于的測地線方程可以給出守恒量（能量）：

為了便于之后推廣到無質(zhì)量物體（光）的情形，下面的分析不直接使用關(guān)于的測地線方程。

關(guān)于的測地線方程是：

要解上述關(guān)于的二階常微分方程就必須先知道和的初始條件。若規(guī)定以恒星和行星速度矢量張成的平面為赤道面（xy平面），垂直于赤道面的方向為z方向，則：

這意味著行星在垂直于赤道面方向的速度和加速度均為0。所以行星的運行軌道是個落在赤道面上的平面曲線。

關(guān)于的測地線方程可以給出守恒量（軌道角動量）：

為了便于從這里討論的有質(zhì)量行星的運動直接推廣到第3節(jié)中無質(zhì)量光子的運動，我們這里從原始度規(guī)的角度出發(fā)得到關(guān)于徑向的微分方程。考慮原始的史瓦西度規(guī)：

對于我們現(xiàn)在考慮的有質(zhì)量物體而言，固有時非零，所以可以將上式兩邊同時除以，然后代入上面測地線方程給出的守恒量的結(jié)果，化簡整理后得到關(guān)于的微分方程：

將上式類比到“總能 = 動能 + 勢能”的形式可以得出廣義相對論里有質(zhì)量物體的有效勢函數(shù)：

其中括號里的部分恰好是牛頓引力理論里有質(zhì)量物體的有效勢函數(shù)（第一項是經(jīng)典的牛頓引力勢，第二項是變換到球坐標(biāo)系產(chǎn)生的離心位能）。

為了直觀，【圖1】作出了牛頓引力理論和愛因斯坦廣義相對論里有質(zhì)量物體的有效勢函數(shù)?？梢钥闯鰞烧叩牟顒e主要體現(xiàn)在的時候。

根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，

將這個的結(jié)果代入到之前由原始度規(guī)線元得到的關(guān)于的微分方程，然后方程兩端同時對再微分一次并令 。于是方程化簡成：

容易發(fā)現(xiàn)方程右邊的第二項是廣義相對論給出的修正項，方程其余部分和傳統(tǒng)牛頓引力理論給出的結(jié)果完全一致。設(shè)方程的解是，其中是不考慮廣義相對論修正項時的牛頓解，是考慮了廣義相對論的修正項后對原始牛頓解的微擾修正。所以滿足方程：

容易解得（不妨設(shè)軌道的初始相位是0）：

這恰好就是極坐標(biāo)下的圓錐曲線方程！其中是曲線離心率：當(dāng)時對應(yīng)圓軌道，時對應(yīng)橢圓軌道，時對應(yīng)拋物線軌道，時對應(yīng)雙曲線軌道。因為我們現(xiàn)在考慮的是一個穩(wěn)定的行星運動軌道，所以只能取，即一個封閉的圓/橢圓軌道。這與牛頓引力理論和開普勒的行星運動定律給出的結(jié)論是完全一致的！【圖2】作出了牛頓引力理論下行星圍繞恒星運動時的封閉橢圓軌道圖像：

下面考慮微擾所近似滿足的方程。注意到：

化簡整理得到關(guān)于的線性常微分方程:

注意到方程右端由平方展開后的交叉項給出的驅(qū)動項恰好位于系統(tǒng)的共振頻率處，所以該驅(qū)動項對應(yīng)的那部分解存在著累積發(fā)散（共振），且將來算出的水星軌道進(jìn)動效應(yīng)就來自于這一項！因為上述微分方程已經(jīng)簡化成線性方程的形式，所以可以利用疊加原理得到上述微分方程的解是：

所以在考慮了廣義相對論修正后，總的解是牛頓解和微擾之和：

因為廣義相對論給出的修正相對于原始的牛頓解非常小，所以進(jìn)一步將和相應(yīng)的近似寫成類似于之前極坐標(biāo)下圓錐曲線的形式，以便于和原先牛頓引力理論給出的軌道結(jié)果作對比：

因為我們現(xiàn)在考慮的是一個穩(wěn)定的行星運動軌道，所以只能取?！緢D3】和【圖4】作出了原先牛頓引力理論下行星圍繞恒星運動的封閉橢圓軌道和廣義相對論下行星圍繞恒星運動的類橢圓軌道近日點的進(jìn)動。可以看出此時的軌道并不是封閉曲線！

下面我們根據(jù)的具體表達(dá)式定量地計算軌道近日點的進(jìn)動角。在軌道近日點處，行星離恒星的徑向距離最小，所以：

所以相鄰兩個周期間近日點的進(jìn)動角度是：

然后利用牛頓引力理論里封閉橢圓軌道角動量的結(jié)果：

代入上面進(jìn)動角的公式得到：

根據(jù)上述公式可以看出：離太陽較近（較小）且離心率較大的行星對應(yīng)的進(jìn)動角值較大便于觀測。所以下面我們選擇離太陽最近的水星為例計算一下每100年（一個世紀(jì)）由廣義相對論效應(yīng)帶來的水星軌道近日點的進(jìn)動角。將如下已知的關(guān)于水星和太陽的天文觀測數(shù)據(jù)代入上述進(jìn)動角的公式

求得水星繞太陽一圈的進(jìn)動角：

因為這個角度很小，所以將其換算成以更合適的弧秒（arcsec）為單位：

根據(jù)天文觀測，水星每88天就會繞太陽一圈。所以我們?nèi)菀讚Q算出每個世紀(jì)（100年）水星的進(jìn)動角是：

所以我們最終得出廣義相對論效應(yīng)會導(dǎo)致水星軌道近日點每100年（一個世紀(jì)）約進(jìn)動的角度。這個角度非常非常小，因為它意味著每一萬年（100個世紀(jì)）才進(jìn)動約，或每十萬年（1000個世紀(jì)）才進(jìn)動約！

在廣義相對論出現(xiàn)以前，19世紀(jì)末精確的天文觀測結(jié)果已經(jīng)顯示：水星每世紀(jì)有約的進(jìn)動，其中有約的進(jìn)動是在當(dāng)時已經(jīng)清楚的在牛頓引力理論的框架下就可以解釋的天文效應(yīng)（注意：在純粹牛頓引力理論的框架下行星的軌道嚴(yán)格來說并不是封閉的橢圓，它其實也存在軌道進(jìn)動。原因是現(xiàn)實宇宙中并不存在真正的二體問題，所以我們必須把其它行星對水星的引力拉扯效應(yīng)也考慮進(jìn)來，此外還有分點歲差造成的自轉(zhuǎn)軸進(jìn)動等效應(yīng)），還有約的進(jìn)動角度無法得到解釋。而20世紀(jì)初愛因斯坦廣義相對論的理論計算結(jié)果剛好解釋了這個！所以理論和天文觀測結(jié)果完全一致！?。?/p>

3光線掠過太陽表面時的偏折

在第2節(jié)中我們已經(jīng)定量研究了在由太陽產(chǎn)生的史瓦西時空下行星的運動軌跡。這一節(jié)我們將研究光線掠過太陽表面時的運動軌跡。與第2節(jié)中的分析類似，還是先考慮原始的史瓦西度規(guī)。但是注意對于光來說，線元（固有時）恒為0。與之前中使用的有質(zhì)量物體（比如行星）的固有時不同，因為光的固有時恒為0所以不能作為測地線方程里的仿射參數(shù)。所以我們需要選取別的非零不變量代替原本固有時的位置作為光的仿射參數(shù)。除此之外，對于光的測地線方程的分析和之前第2節(jié)中的分析完全類似。所以依據(jù)基本相同的邏輯容易得到分別滿足的常微分方程和相應(yīng)的守恒量：

將上述測地線方程給出的守恒量的結(jié)果代入一開始史瓦西度規(guī)的表達(dá)式化簡整理后得到關(guān)于r的微分方程：

將上式與之前中推導(dǎo)出的結(jié)果作對比?？梢园l(fā)現(xiàn)除了仿射參數(shù)選取的差別，兩者的差別在于上面描述光的方程并不存在這一經(jīng)典的牛頓引力勢項（因為光子的質(zhì)量是0，所以不存在經(jīng)典牛頓形式的萬有引力）。

將上式類比到“總能 = 動能 + 勢能”的形式可以得出廣義相對論里光子（無質(zhì)量物體）的有效勢函數(shù)：

其中括號里的部分是牛頓引力理論里光子（無質(zhì)量物體）的有效勢函數(shù)（因為光子質(zhì)量是0，所以此時不存在經(jīng)典的牛頓引力勢一項，只存在變換到球坐標(biāo)系產(chǎn)生的離心位能一項）。

為了直觀，【圖5】作出了在牛頓引力理論和愛因斯坦廣義相對論里光子（無質(zhì)量物體）的有效勢函數(shù)?？梢钥闯鰞烧叩牟顒e主要體現(xiàn)在的時候。

根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，

將這個的結(jié)果代入到之前由原始度規(guī)線元得到的關(guān)于的微分方程，然后方程兩端同時對再微分一次并令。于是方程化簡成：

可以對比之前在中得到的關(guān)于的方程。之前的方程右端多出了的第一項，對應(yīng)有質(zhì)量物體的經(jīng)典牛頓引力勢。

容易發(fā)現(xiàn)方程右邊的是廣義相對論給出的修正項。設(shè)方程的解是，其中是不考慮廣義相對論修正項時的牛頓解，是考慮廣義相對論的修正項后對原始牛頓解的微擾修正。所以滿足方程：

容易解得（不妨設(shè)軌道的初始相位是0）：

其中。這恰好就是極坐標(biāo)下的（水平）直線方程！從極坐標(biāo)下的幾何關(guān)系很容易看出就是這條水平直線和x軸的垂直距離。所以在牛頓引力理論里光總是沿直線傳播！太陽的引力場并不會影響光的傳播路徑。這個結(jié)論產(chǎn)生的根本原因在于經(jīng)典的牛頓引力理論假設(shè)物體只是通過質(zhì)量這一唯一的內(nèi)稟屬性和外部引力場耦合到一起的。而光子的質(zhì)量是0，所以它無法耦合到牛頓形式的萬有引力，自然不會和它發(fā)生相互作用。【圖6】作出了牛頓引力理論下光線掠過太陽表面時的傳播軌跡：

下面考慮微擾所近似滿足的方程。注意到：

因為該方程右端不像之前中那樣存在共振驅(qū)動項，且因為上述微分方程已經(jīng)簡化成線性方程的形式，所以可以利用疊加原理得到上述微分方程的解是：

所以在考慮了廣義相對論修正后，總的解是牛頓解和微擾之和：

所以與相對應(yīng)的的解是：

其中上式分母中的第一項是牛頓引力理論給出的主導(dǎo)項，第二項是廣義相對論給出的修正項，它相對于第一項而言非常小，即滿足：。

【圖7】作出了牛頓引力理論下光線掠過太陽表面時的傳播軌跡（直線）和廣義相對論下光線掠過太陽表面時的傳播軌跡（發(fā)生偏折的曲線！）?？梢钥闯龃藭r光的傳播路徑因為受到了來自太陽引力場的影響發(fā)生偏轉(zhuǎn)！

下面我們就根據(jù)的具體表達(dá)式定量地計算廣義相對論中光的偏轉(zhuǎn)角。因為偏轉(zhuǎn)角與光線的斜率有關(guān)，所以不妨把上述極坐標(biāo)下的關(guān)系變換到直角坐標(biāo)下求解：

由【圖7】可以看出：來自右側(cè)遙遠(yuǎn)星體的沿左上方入射的綠色光線在路過坐標(biāo)原點附近時受到藍(lán)色太陽引力場的作用導(dǎo)致傳播方向改變成了沿左下方出射的綠色光線。所以為了求出光線從無窮遠(yuǎn)入射到無窮遠(yuǎn)出射這整個過程對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角，我們必須研究光線在正負(fù)無窮遠(yuǎn)處的漸近行為。因為無窮遠(yuǎn)處的光線基本可以認(rèn)為不受處于坐標(biāo)原點太陽引力場的影響，所以可以把它的傳播軌跡近似成直線。設(shè)該直線方程具有如下形式：

其中是直線斜率。因為廣義相對論的修正很微弱，所以斜率的模值很小。把這個無窮遠(yuǎn)處和的線性關(guān)系代入直角坐標(biāo)下綠線的方程得到：

當(dāng)時，我們得到太陽右側(cè)的綠線（入射光線）在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為：

由此可以解得入射光線的斜率，進(jìn)而求得入射光線與水平-x軸方向的夾角：

當(dāng)時，我們得到太陽左側(cè)的綠線（出射光線）在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為：

由此可以解得出射光線的斜率，進(jìn)而求得出射光線與水平-x軸方向的夾角：

所以從入射光線到出射光線這整個過程對應(yīng)的總偏轉(zhuǎn)角是：

根據(jù)上述公式可以看出：當(dāng)最小時偏轉(zhuǎn)角的值最大，即偏轉(zhuǎn)效應(yīng)最明顯。而最小只能取到一個太陽半徑，即光線恰好掠過太陽表面的情形。因為如果比它更小的話光線就會直接被太陽吸收而無法被觀測到。所以光線偏轉(zhuǎn)角的最大值是：

代入已知的關(guān)于太陽的天文觀測數(shù)據(jù)

可以得到光線掠過太陽表面時的偏轉(zhuǎn)角：

因為這個偏轉(zhuǎn)角度很小，所以將其換算成以更合適的弧秒（arcsec）為單位：

可以發(fā)現(xiàn)：這個的光線偏折角度非常非常小，它僅有的萬分之4.87（也就是不到的1/2000）！1919年英國劍橋大學(xué)的物理學(xué)家愛丁頓組織了兩支觀測隊伍分別前往非洲的普林西比和巴西進(jìn)行光線偏折角度的天文觀測。最后，非洲普林西比那支隊伍測出的偏轉(zhuǎn)角是，巴西那支隊伍測出的是?？梢园l(fā)現(xiàn)廣義相對論理論預(yù)言的的偏轉(zhuǎn)角剛好落在和中間！所以理論和天文觀測結(jié)果符合得相當(dāng)之好?。?！

4結(jié)語

從第2節(jié)和第3節(jié)中對廣義相對論的定量檢驗可以發(fā)現(xiàn)：愛因斯坦的廣義相對論不僅僅擁有數(shù)學(xué)上的形式美，它更是對我們客觀世界的真實描述！正是這兩者的完美融合讓廣義相對論成為整個物理學(xué)史上最成功和最引人入勝的理論之一！

編輯：牧羊