本節(jié)詳細(xì)介紹β分布的定義及解釋選擇β分布作為先驗分布的原因。

1、β分布

β函數(shù)的定義：

其中α，β > 0，對等式兩邊各除以B(α,β)，字母p代替x，得：

選積分項作為β分布函數(shù)，由積分項可知β分布已完成標(biāo)準(zhǔn)化（總積分等于1）。

因此，β分布：

β分布的期望和方差：

2、β分布作為先驗分布的原因

由β分布定義可知，β分布是概率分布的分布，β分布常作為先驗分布的原因：

（1）、貝葉斯對參數(shù)的估計與先驗分布的選擇有很重要的關(guān)系，先驗分布不同，貝葉斯對參數(shù)的估計也不同。先驗分布往往是人們根據(jù)以往經(jīng)驗去設(shè)計，β分布是概率分布的分布，涵蓋了所有參數(shù)空間出現(xiàn)的概率大小，并通過設(shè)置參數(shù)α和β，可以使先驗分布與你的先驗經(jīng)驗基本符合。

i) α=1，β=1

由上圖可知，α=1，β=1，β分布符合均勻分布，即參數(shù)空間所有取值的概率相等。

因此，當(dāng)你對參數(shù)沒有任何的先驗知識時，建議你假設(shè)先驗參數(shù)符合均勻分布，參數(shù)的后驗分布由你的實際觀測數(shù)據(jù)決定。

ii) α=10，β=10

由上圖可知，α=10，β=10時，β分布符合高斯分布，且在概率為0.5取得最大值，由β分布期望和方差的公式可知期望和方差分別等于0.5和0.01。

假設(shè)參數(shù)的先驗分布是高斯分布，設(shè)置參數(shù)α和β相等（α>1）使β分布成為高斯分布，α越大方差越小。

因此，設(shè)置α和β使參數(shù)的先驗分布符合你對參數(shù)的先驗認(rèn)知。

（2）、上節(jié)已提到，參數(shù)的先驗分布是β分布時，則先驗分布和后驗分布形式一樣，且可以形成先驗鏈，方便分析問題。

因人而異，因閱歷而異

關(guān)于頻率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派對頻率的理解可以參考我前面的文章《淺談頻率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派》。

貝葉斯思想是量化事件發(fā)生的不確定性，是主觀評價。不同人評價同一事件發(fā)生的概率不同，因為不同人的生活經(jīng)歷不同，對某一事件的先驗知識很可能不同，比如一個博士生和一個小學(xué)生對某一事件的看法可能不同；同一個人對同一事件發(fā)生的概率也隨著自身閱歷的增加而不同，例如某個人做了九件好事，你評估他是好人的概率為0.9，當(dāng)他做了一件大逆不道的事情后，你評估他是好人的概率降到了0.1。貝葉斯評價事件發(fā)生的概率帶有主觀性，因人而異，因閱歷而異。

凡事要講數(shù)據(jù)

我們根據(jù)自己的閱歷對某一事件作一個先驗假設(shè)，先驗假設(shè)是否正確需要經(jīng)過時間的檢驗，即是否有足夠多的觀測數(shù)據(jù)符合先驗假設(shè)。先驗假設(shè)和觀測數(shù)據(jù)是影響后驗假設(shè)的兩個因素，若觀測數(shù)據(jù)不符合先驗假設(shè)，則后驗假設(shè)在先驗假設(shè)的基礎(chǔ)上開始向觀測的數(shù)據(jù)偏斜，若觀測的數(shù)據(jù)為無窮大時，則先驗假設(shè)可以忽略不計，直接通過觀測數(shù)據(jù)來估計后驗假設(shè)。因此，貝葉斯思想評價事件發(fā)生概率的準(zhǔn)則是凡事要講數(shù)據(jù)。

PS：有點繞口，希望大家看完筆者介紹拋硬幣的例子，再來悟一悟這幾句話，若還有疑問請微信我

拋硬幣問題的公式說明

由于《淺談先驗分布和后驗分布》已經(jīng)通過例子推導(dǎo)了拋硬幣正面向上的后驗概率，因此，本文不做推論，具體可參考上篇文章，若有疑問請微信我。本文只引用一些結(jié)論性的公式。

假設(shè)硬幣正面向上的概率為u，正面向上記為1，反面向上記為0。

則硬幣正面向上的先驗分布如下：

硬幣正面向上的期望：

其中a，b表示虛擬的硬幣正面向上的次數(shù)和反面向上的次數(shù)，根據(jù)自己的先驗知識來設(shè)置a，b值。

若后續(xù)的觀測結(jié)果為m次正面向上，l次反面向上，共N次。

則硬幣正面向上的后驗分布如下：

硬幣為正面向上的概率：

多情況的拋硬幣問題

（1）第1次拋硬幣為正面向上的概率；

（2）9次硬幣正面向上，1次反面向上，第十一次硬幣正面向上的概率；

（3）90次硬幣正面向上，10次硬幣反面向上，求101次正面向上的概率；

（4）900次硬幣正面向上，100次硬幣反面向上，求第1001次硬幣正面向上的概率。

解：

貝葉斯的后驗分布受先驗分布的影響，不同的先驗分布會有不同的后驗分布。請參考第一節(jié)，假設(shè)硬幣正面向上的分布符合高斯分布（a=10，b=10），高斯分布符合大部分人的思想，認(rèn)為硬幣為正面向上的概率在0.5達(dá)到最大，方差表示先驗分布的確定程度，若你堅信硬幣向上的概率肯定是0.5，那么可以調(diào)大a和b值。

筆者就先驗分布為高斯分布來解答拋硬幣的四個問題。其他先驗分布可通過調(diào)節(jié)a，b的值來實現(xiàn)，后面的計算過程一致。

正面向上的后驗概率：

a，b，m，l分別表示先驗分布的正面向上次數(shù)，反面向上次數(shù)，已觀測數(shù)據(jù)的正面向上次數(shù)，反面向上次數(shù)。

先驗分布為高斯分布：

（1）由于沒有任何觀測數(shù)據(jù)，因此第一次正面向上的分布為先驗分布，先驗分布在在參數(shù)為0.5時，概率最大，即正面向上的概率為0.5。

（2）正面向上的概率為：

（3）計算過程與（2）一樣，正面向上的概率：0.83

（4）正面向上的概率：0.89

討論：

頻率學(xué)派認(rèn)為硬幣向上的概率是0.5，與觀測數(shù)據(jù)無關(guān)。貝葉斯學(xué)派是通過數(shù)據(jù)來主觀評價硬幣向上的概率，由例子可知，即使先驗分布符合高斯分布且正面向上的概率在0.5達(dá)到最大，但是如果觀測數(shù)據(jù)傾向于正面向上，則最終的判斷結(jié)果會傾向于正面向上，貝葉斯思想有點像是風(fēng)往哪邊吹樹就往哪邊倒的意思。當(dāng)觀測結(jié)果的正面向上次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于正面向下次數(shù)，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于先驗分布的正面向下次數(shù)，則判斷下次為正面向上的概率無限接近1（若不理解請參考公式）。

本文首先詳細(xì)介紹了β分布，通過調(diào)節(jié)參數(shù)a和b使β分布符合假設(shè)的先驗分布，β分布使后驗分布和先驗分布為共軛分布，形成先驗鏈，便于分析問題。后面講的內(nèi)容是貝葉斯思想，貝葉斯是主觀評價事件發(fā)生的概率，根據(jù)先驗知識來假設(shè)先驗分布，若觀測的數(shù)據(jù)符合先驗分布，則后驗分布與先驗分布類似；若觀測的數(shù)據(jù)不符合先驗分布，則后驗分布開始向觀測數(shù)據(jù)傾斜，若觀測數(shù)據(jù)為無窮大時，那么前驗分布可以忽略不計，最大似然函數(shù)估計參數(shù)與后驗分布估計參數(shù)相同，直接可以用最大似然函數(shù)來估計參數(shù)。