• 史蒂夫·斯托加茨的《微積分的力量》從微積分應(yīng)用場(chǎng)景入手，解釋微積分的作用的同時(shí)，展開(kāi)了一幅數(shù)學(xué)推動(dòng)世界變化的畫(huà)卷，阿基米德，牛頓等大神悉數(shù)登場(chǎng)，如果學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)史的話，相信我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候會(huì)有全新的動(dòng)力和不一樣的感受，初讀起來(lái)覺(jué)得科普性比較強(qiáng)，但讀著讀著就有那種書(shū)到用時(shí)方恨少的感覺(jué)了，所以----做好思想準(zhǔn)備……

由微積分主宰的世界

• >> 19世紀(jì)60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的蘇格蘭數(shù)學(xué)物理學(xué)家，將電磁場(chǎng)的基本實(shí)驗(yàn)定律改寫(xiě)為一種可進(jìn)行微積分運(yùn)算的符號(hào)形式。

• >> 他不僅利用微積分預(yù)測(cè)出電磁波的存在，還解開(kāi)了一個(gè)古老的謎題：光的性質(zhì)是什么？他意識(shí)到，光就是一種電磁波。

• >> 微積分的邏輯就可以利用現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)真理生成另一個(gè)真理，即輸入一個(gè)真理，然后輸出另一個(gè)真理。

• >> 數(shù)學(xué)語(yǔ)言在表述物理定律方面的適當(dāng)性是一個(gè)奇跡，是一份我們既不理解也不配擁有的奇妙禮物

無(wú)窮原則

• >> 微積分就是想讓復(fù)雜的難題簡(jiǎn)單化，它十分癡迷于簡(jiǎn)單性。

• >> 微積分成功的方法是，把復(fù)雜的問(wèn)題分解成多個(gè)更簡(jiǎn)單的部分。

• >> 微積分可分為兩個(gè)步驟：切分和重組。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，切分過(guò)程總是涉及無(wú)限精細(xì)的減法運(yùn)算，用于量化各部分之間的差異，這個(gè)部分叫作微分學(xué)。

• >> 重組過(guò)程則總是涉及無(wú)限的加法運(yùn)算，將各個(gè)部分整合成原來(lái)的整體，這個(gè)部分叫作積分學(xué)。

◆曲線、運(yùn)動(dòng)和變化

• >> 有三個(gè)謎題促進(jìn)了微積分的發(fā)展，它們分別是曲線之謎、運(yùn)動(dòng)之謎和變化之謎。

• >> 無(wú)論是在手機(jī)上聽(tīng)音樂(lè)，在超市激光掃描儀的幫助下輕松結(jié)賬走人，還是利用GPS設(shè)備找到回家的路，我們都是在收獲這些研究帶來(lái)的好處。

• （好奇心和挫敗感是一切事情觸發(fā)前進(jìn)的動(dòng)力。）

• >> 微積分就是在這樣的背景下誕生的，它萌生于幾何學(xué)家對(duì)圓度的好奇心和挫敗感。

• >> 有些幾何學(xué)家堅(jiān)持認(rèn)為“曲線事實(shí)上是由平直部件構(gòu)成的”，這種觀點(diǎn)帶來(lái)了突破性進(jìn)展。盡管這不是事實(shí)，但我們可以假裝它是真的。那么，唯一的問(wèn)題就在于，這些部件必須無(wú)窮小，而且數(shù)量無(wú)窮多。通過(guò)這個(gè)巧妙的構(gòu)思，積分學(xué)誕生了，這是人們對(duì)無(wú)窮原則的最早應(yīng)用。

• >> 我們的創(chuàng)造性假設(shè)是，速度不停變化的運(yùn)動(dòng)是由無(wú)窮多個(gè)無(wú)限短暫的勻速運(yùn)動(dòng)組成的。

• >> 永恒不變的唯有改變，盡管這句話是老生常談，但它依然是真理。

• ◆ 比薩證明
• >> 把圓想象成一個(gè)比薩，然后把比薩切分成無(wú)窮多塊，最后神奇地將比薩塊排布成一個(gè)矩形。

• ◆ 除數(shù)為0的禁忌

• >> 趨勢(shì)很明顯：除數(shù)越小，商越大；當(dāng)除數(shù)逼近0時(shí)，商趨于無(wú)窮大。這就是我們不能用0做除數(shù)的真正原因。膽小之人會(huì)說(shuō)答案是“未定義”，但事實(shí)上答案是“無(wú)窮”。

• >> 顯而易見(jiàn)，0乘以無(wú)窮可以得出任意結(jié)果：6，3，49.57或者2 000 000 000。從數(shù)學(xué)上講，這太可怕了。

• >> 量子力學(xué)有一定的發(fā)言權(quán)。它是現(xiàn)代物理學(xué)的一個(gè)分支，描述的是大自然在其最小尺度上的行為方式。

• >> 極限尺度是由自然界的三大基本常量決定的，我們無(wú)法左右。第一個(gè)是引力常量G，它衡量的是宇宙中的引力強(qiáng)度。它最早出現(xiàn)在牛頓的引力理論中，之后又出現(xiàn)在愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中，未來(lái)也必定會(huì)出現(xiàn)在取代這兩者的任何理論中。第二個(gè)常量?反映了量子效應(yīng)的強(qiáng)度，它出現(xiàn)在海森伯的不確定性原理和薛定諤的量子力學(xué)波動(dòng)方程中。第三個(gè)常量是光速c，它是宇宙的極限速度，任何一種信號(hào)的傳播速度都無(wú)法超過(guò)c。

• >> 求解出圓周率π的值，是積分學(xué)取得的第一次勝利。

• >> 微積分是用無(wú)窮來(lái)研究有窮，用無(wú)限來(lái)研究有限，用直線來(lái)研究曲線。

阿基米德方法

• >> 這是對(duì)創(chuàng)造性數(shù)學(xué)研究的誠(chéng)實(shí)描述。數(shù)學(xué)家不會(huì)一下子想到證明方法，而是先產(chǎn)生直覺(jué)，再考慮嚴(yán)謹(jǐn)性的問(wèn)題。高中的幾何課程常常忽略直覺(jué)和想象力的重要作用，但它們對(duì)所有創(chuàng)造性數(shù)學(xué)研究來(lái)說(shuō)都是不可或缺的。

• ◆ 從計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)到面部手術(shù)

• >> 創(chuàng)造格里的動(dòng)畫(huà)師也是通過(guò)反復(fù)分割一個(gè)多面體，去逼真地模擬他那布滿皺紋的額頭、隆起的大鼻子和頸部的皮膚褶皺。通過(guò)足夠多次地重復(fù)這個(gè)過(guò)程，他們就可以使格里的樣子符合他的角色設(shè)定，即一個(gè)能夠傳遞各種人類(lèi)情感的木偶般的形象。

• >> 自19世紀(jì)起，數(shù)學(xué)家和工程師就開(kāi)始利用微積分為不同材料建模，研究當(dāng)這些材料以各種方式被推擠、拉拽或剪切時(shí)，它們會(huì)如何伸展、彎曲和扭曲。

探索運(yùn)動(dòng)之謎

• >> 他給我們留下了關(guān)于物體在杠桿上如何達(dá)到平衡狀態(tài)和在水中如何穩(wěn)定漂浮的靜力學(xué)，他是平衡方面的大師。

• >> 阿基米德去世后，關(guān)于自然的數(shù)學(xué)研究也幾乎隨之消逝，直到1 800年后一個(gè)新的“阿基米德”登上歷史舞臺(tái)。

下落、滾動(dòng)與奇數(shù)定律

• >> 伽利略登臺(tái)，為了更清楚地闡述這個(gè)奇數(shù)定律，我們假設(shè)球在第一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)滾動(dòng)了一定的距離。然后，在第二個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，它滾動(dòng)的距離是第一次的3倍；在第三個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，它滾動(dòng)的距離是第一次的5倍。這太令人吃驚了，奇數(shù)1, 3, 5, 7…竟然以某種方式存在于物體向下滾動(dòng)的過(guò)程中

◆從擺動(dòng)的吊燈到GPS

• >> 發(fā)電機(jī)可以產(chǎn)生交流電并把它輸送到我們的家中和辦公室里，而描述鐘擺擺動(dòng)的方程也可以不加改變地用于描述發(fā)電機(jī)的旋轉(zhuǎn)。為了紀(jì)念這一淵源，電氣工程師將他們的發(fā)電機(jī)方程稱(chēng)為擺動(dòng)方程。

• >> 1962年，22歲的劍橋大學(xué)研究生布賴(lài)恩·約瑟夫森做出了這樣一個(gè)預(yù)測(cè)：在接近絕對(duì)零度的溫度條件下，成對(duì)的超導(dǎo)電子可以來(lái)回隧穿一道難以穿透的絕緣屏障。

• >> 原子鐘是伽利略擺鐘的現(xiàn)代版本，盡管它和擺鐘一樣，也是通過(guò)計(jì)數(shù)振動(dòng)次數(shù)來(lái)計(jì)時(shí)，但它追蹤的并不是擺錘的來(lái)回?cái)[動(dòng)，而是計(jì)數(shù)銫原子在其兩種能態(tài)間來(lái)回轉(zhuǎn)換時(shí)的振動(dòng)次數(shù)

• >> 時(shí)間也可以確定你的位置。GPS的24顆衛(wèi)星在12 000英里的高空繞軌運(yùn)行，當(dāng)你使用汽車(chē)上的GPS導(dǎo)航儀時(shí)，你的設(shè)備至少會(huì)從其中的4顆衛(wèi)星那里接收無(wú)線信號(hào)。

• >> 對(duì)GPS而言，它的工作原理是：當(dāng)接收器收到來(lái)自4顆衛(wèi)星的信號(hào)時(shí)，你的GPS設(shè)備會(huì)比較信號(hào)的發(fā)送時(shí)間和接收時(shí)間。這4組時(shí)間略有不同，因?yàn)檫@4顆衛(wèi)星和你之間的距離并不一樣。你的GPS設(shè)備將這4個(gè)微小的時(shí)間差乘以光速，就可以計(jì)算出你和這4顆衛(wèi)星之間的距離。由于衛(wèi)星的位置已知，并且受到極其精確的控制，因此你的GPS接收器可以對(duì)這4個(gè)距離做三角測(cè)量，從而確定它自己在地球表面的位置。此外，它還可以計(jì)算出自己的海拔和速度。本質(zhì)上，GPS是將非常精確的時(shí)間測(cè)量值轉(zhuǎn)換為非常精確的距離測(cè)量值，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為非常精確的位置和運(yùn)動(dòng)測(cè)量值。

• ◆ 開(kāi)普勒與行星運(yùn)動(dòng)之謎

• >> 行星運(yùn)行的計(jì)算偏差產(chǎn)生了失配，這種失配意味著某個(gè)地方出錯(cuò)了，但到底錯(cuò)在哪里呢，是他的理論、數(shù)據(jù)還是兩者兼有？盡管開(kāi)普勒懷疑數(shù)據(jù)可能是錯(cuò)誤的，但他也沒(méi)有堅(jiān)稱(chēng)自己的理論是正確的（回頭想想，這種做法很明智，因?yàn)樗睦碚摬豢赡艹闪?；我們現(xiàn)在知道，行星遠(yuǎn)不止6顆）。

• ◆ 開(kāi)普勒第二定律：相等的時(shí)間，相等的面積

• >> 今天它被稱(chēng)為開(kāi)普勒第二定律，說(shuō)的是當(dāng)行星沿軌道運(yùn)行時(shí)，從這顆行星到太陽(yáng)的假想連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。

• >> 面對(duì)這一連串的問(wèn)題，源自伊斯蘭和印度數(shù)學(xué)界的大量思想為歐洲數(shù)學(xué)家提供了一個(gè)新的方向，以及一個(gè)超越阿基米德去開(kāi)辟新天地的機(jī)會(huì)。這些思想將帶來(lái)關(guān)于運(yùn)動(dòng)和曲線的新的思考方式，然后伴隨著一聲驚雷，微分學(xué)誕生了。

• ◆ 代數(shù)與幾何學(xué)的邂逅

• >> 第一個(gè)突破發(fā)生在1630年前后，兩位（即將成為競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的）法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬和勒內(nèi)·笛卡兒分別將代數(shù)與幾何學(xué)聯(lián)系在一起。他們的研究工作開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)新的數(shù)學(xué)學(xué)科——解析幾何，它的中央舞臺(tái)就是讓方程變得生動(dòng)和具體的xy平面。

• ◆ 方程與曲線

• >> 費(fèi)馬和笛卡兒最先發(fā)現(xiàn)了這種奇妙的巧合：含有x和y的二次方程是希臘人研究的圓錐截面的代數(shù)對(duì)應(yīng)物，這4類(lèi)曲線是以不同角度切割圓錐體得到的。在費(fèi)馬和笛卡兒搭建的這個(gè)新舞臺(tái)上，經(jīng)典曲線像幽靈一樣從迷霧中再次現(xiàn)身。

• >> 代數(shù)給了幾何學(xué)一個(gè)體系，此時(shí)幾何學(xué)需要的就不再是創(chuàng)造力，而是韌性了。它會(huì)把需要洞察力的難題轉(zhuǎn)化為雖然耗時(shí)費(fèi)力但卻簡(jiǎn)單直接的計(jì)算，符號(hào)的使用解放了頭腦，也節(jié)省了時(shí)間和精力。

• ◆ 函數(shù)的作用
• >> 事物的變化方式有三種：上升、下降或上下起伏。換句話說(shuō)，就是成長(zhǎng)、衰退或波動(dòng)。

• ◆ 對(duì)數(shù)

• >> 對(duì)數(shù)用簡(jiǎn)單得多的加法問(wèn)題取代了乘法問(wèn)題。這就是人們發(fā)明對(duì)數(shù)的原因，它們極大地加快了計(jì)算速度。這類(lèi)計(jì)算可以把艱巨的乘法問(wèn)題、平方根和立方根等轉(zhuǎn)化為加法問(wèn)題，然后在對(duì)數(shù)表的幫助下得出答案。

• >> 同樣地，指數(shù)函數(shù)可用于為越來(lái)越快的增長(zhǎng)過(guò)程建模，而冪函數(shù)可用于為不太劇烈的增長(zhǎng)方式建模。對(duì)數(shù)之所以有用，是因?yàn)樗鸬搅烁疳斊饕粯拥淖饔茫撼蜂N(xiāo)另一種工具的作用。具體來(lái)說(shuō)，就是對(duì)數(shù)撤銷(xiāo)了指數(shù)函數(shù)的作用，反之亦然。

• ◆ 自然對(duì)數(shù)及其指數(shù)函數(shù)
• >> 比如，它是投資者和銀行家熟知的72法則的基礎(chǔ)。想要估算在年回報(bào)率已知的情況下，你銀行賬戶(hù)里的錢(qián)增加一倍所需的時(shí)間，就可以用72除以回報(bào)率。因此，如果年增長(zhǎng)率為6%，那么你的錢(qián)將在12（72/6）年后增加一倍。這個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則遵從自然對(duì)數(shù)和指數(shù)增長(zhǎng)的性質(zhì)，如果利率足夠低，就會(huì)行之有效。

牛頓當(dāng)年因?yàn)橐咔榉忾]在家突破微積分成果

微積分的三大核心問(wèn)題

• >> 理解不斷變化的變化，才是微積分真正的閃光之處。

• ◆ 非線性函數(shù)及其不斷變化的變化率

• >> 在高中或大學(xué)期間，微積分的第一堂課大多講的都是求導(dǎo)法則，比如，x2的導(dǎo)數(shù)是2x，sinx的導(dǎo)數(shù)是cosx，lnx的導(dǎo)數(shù)是1/x，等等。然而，考慮到我們的目的，理解導(dǎo)數(shù)的概念并了解如何將它的抽象定義應(yīng)用于實(shí)踐，這些才是更重要的事。因此，讓我們把目光投向現(xiàn)實(shí)世界。

• ◆ 作為晝長(zhǎng)變化率的導(dǎo)數(shù)

• >> 晝長(zhǎng)不僅在1月份不斷加長(zhǎng)，而且加長(zhǎng)速率越來(lái)越快。

• >> 畢加索說(shuō)：“藝術(shù)是讓我們認(rèn)識(shí)真理的謊言。

隱秘的源泉

• >> 17世紀(jì)下半葉，英國(guó)的牛頓[插圖]和德國(guó)的萊布尼茨徹底改變了數(shù)學(xué)的進(jìn)程。他們把關(guān)于運(yùn)動(dòng)和曲線的思想松散地拼湊在一起，創(chuàng)立了微積分。

• ◆ 恒定的加速度

• >> 對(duì)一個(gè)從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始均勻加速的物體來(lái)說(shuō)，它運(yùn)動(dòng)的距離與所花費(fèi)時(shí)間的平方成正比。

• >> 牛頓的冪級(jí)數(shù)給了他一把對(duì)付微積分的瑞士軍刀

• ◆ 混搭大師

• >> 但我還要說(shuō)，如果不是站在巨人的肩膀上，牛頓就不可能做到這一切。他統(tǒng)一、綜合和歸納了偉大前輩的思想：他繼承了阿基米德的無(wú)窮原則，他的切線知識(shí)來(lái)自費(fèi)馬，他使用的小數(shù)和變量分別來(lái)自印度數(shù)學(xué)和阿拉伯代數(shù)，他用方程表示xy平面上曲線的做法來(lái)自笛卡兒的著作，他對(duì)無(wú)窮的隨心所欲的玩法、他的實(shí)驗(yàn)精神及他對(duì)猜想和歸納的開(kāi)放性態(tài)度都來(lái)自沃利斯。他把所有這一切混搭在一起，創(chuàng)造出一種新事物——通用的冪級(jí)數(shù)法，直到今天我們?cè)诮鉀Q微積分問(wèn)題時(shí)仍會(huì)用到它。

• ◆ 私密的微積分

• >> 1665年夏天，劍橋大學(xué)出于防護(hù)的目的暫時(shí)關(guān)閉了校園，牛頓因此回到了他在林肯郡的家庭農(nóng)舍。在接下來(lái)的兩年里，他變成了世界上最棒的數(shù)學(xué)家。

• >> 雖然萊布尼茨發(fā)現(xiàn)微積分的時(shí)間比牛頓晚了10年，但人們通常認(rèn)為他是微積分的共同發(fā)明者，原因有以下幾點(diǎn)。萊布尼茨率先以一種優(yōu)美和易于理解的形式公布了微積分，并用一種精心設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)潔符號(hào)來(lái)表達(dá)它，我們至今仍在使用這種符號(hào)。

• ◆ 無(wú)窮小量

• >> 更加矛盾的是，無(wú)窮小量的大小不同。一個(gè)無(wú)窮小量的無(wú)窮小部分還要小得多，我們稱(chēng)之為二階無(wú)窮小量。

• ◆ 偏微分方程與波音787客機(jī)
• >> 微積分和計(jì)算機(jī)為波音公司節(jié)省了大量時(shí)間，因?yàn)槟M一架新樣機(jī)比制造一架新樣機(jī)快得多。它們也為波音公司節(jié)省了大量資金，因?yàn)橄啾仍谶^(guò)去幾十年里價(jià)格不斷飆升的風(fēng)洞試驗(yàn)，計(jì)算機(jī)模擬要便宜得多。

• ◆ 無(wú)處不在的偏微分方程
• >> 微積分在現(xiàn)代科學(xué)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在偏微分方程的建立、求解和解釋上。麥克斯韋方程組是偏微分方程，關(guān)于彈性、聲學(xué)、熱流、流體流動(dòng)和氣體動(dòng)力學(xué)的定律也是偏微分方程。
• >> 微觀世界的理論——量子力學(xué)——同樣如此，它的控制方程——薛定諤方程[插圖]——也是一個(gè)偏微分方程。

微積分的未來(lái)

• >> 從這個(gè)角度看，微積分是用于研究任何事物——任何模式，任何曲線，任何運(yùn)動(dòng)，任何自然過(guò)程、系統(tǒng)或現(xiàn)象——的想法與方法的龐雜集合，這些事物的變化平穩(wěn)而連續(xù)，符合無(wú)窮原則。

• >> 該定義的范疇遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了牛頓和萊布尼茨的微積分，并囊括了它的子孫后代：多變量微積分，常微分方程，偏微分方程，傅里葉分析，復(fù)分析，以及高等數(shù)學(xué)中涉及極限、導(dǎo)數(shù)和積分的所有其他分支。

• ◆ DNA的纏繞數(shù)

• >> 沒(méi)有連續(xù)性假設(shè)，就無(wú)法使用無(wú)窮原則。沒(méi)有無(wú)窮原則，就不會(huì)有微積分，也不會(huì)有微分幾何和彈性理論。

• >> 我希望，未來(lái)我們將看到更多將微積分和連續(xù)數(shù)學(xué)應(yīng)用于天生離散的生物學(xué)“角色”的例子，比如基因、細(xì)胞、蛋白質(zhì)和生物學(xué)“大戲”中的其他“演員”。我們能從連續(xù)體近似方法中獲取的洞見(jiàn)實(shí)在太多了，以至于不能不用它。