一、一周知識(shí)概述

　　本周學(xué)習(xí)內(nèi)容為1.6邏輯聯(lián)結(jié)詞、 1.7四種命題及1.8充分條件與必要條件．理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，理解并掌握四種命題及其相互關(guān)系，掌握充分條件與必要條件，關(guān)鍵是要掌握關(guān)于充要條件的判斷．掌握反證法。

二、重難點(diǎn)知識(shí)的歸納與剖析

1．“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．不含邏輯聯(lián)結(jié)詞，是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成，是復(fù)合命題．或、且、非是三種最基本的邏輯聯(lián)結(jié)詞．課本給出了三種簡(jiǎn)單的復(fù)合命題“p且q”，“p或q”和“非p”的真值表：

2．四種命題的形式是：

原命題：若p則q，

逆命題：若q則p

否命題：若則，

逆否命題：若則．

四種命題之間的相互關(guān)系

3．一個(gè)命題的真假與其它三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：

（1）原命題為真，它的逆命題不一定為真．

　　例如，原命題“若a=0，則ab=0”是真命題，它的逆命題“若ab=0，則a=0”是假命題．

（2）原命題為真，它的否命題不一定為真．

　　例如，原命題“若a=0，則ab=0”是真命題，它的否命題“若a≠0，則ab≠0”是假命題．

（3）原命題為真，它的逆否命題一定為真．

　　例如，原命題“若a=0，則ab=0”是真命題，它的逆否命題“若ab≠0，則a≠0”是真命題．

4．從邏輯推理關(guān)系上看

（1）若pq且qp，則p是q的充分而不必要條件；

（2）若qp且pq，則p是q的必要而不充分條件；

（3）若pq且qp（或pq且pq）則p是q的充要條件；

（4）若pq且qp，則p既不是q的充分條件也不是q的必要條件。

從集合與集合之間關(guān)系上看

（1）若AB，則A是B的充分條件；

（2）若AB，則A是B的必要條件；

（3）A=B，則A是B的充要條件；

（4）若AB且BA，則A既不是B的充分條件，也不是B的必要條件。

三、難點(diǎn)知識(shí)剖析

1．對(duì)反證法的理解

　?、俜醋C法的理論根據(jù)是：原命題為真，則它的逆否命題也為真.在直接證明原命題有困難時(shí)，就可轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題成立.

　　②用反證法證明命題的一般步驟是

　　第一步：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

　　第二步：從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

　　第三步：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.

　?、垡话愕貋碚f，在什么條件下(或問題中)想到用反證法來證明，下面提供幾種情形作為參考.

　　第一，問題共計(jì)有n種情況，現(xiàn)要證明其中一種情況成立時(shí)，可想到用反證法證明把其他的　n-1種情況都排除，從而確定這種情況成立.

　　如要證明兩條直線相交，可用反證法證明這兩條直線平行不成立，因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，兩條直線的位置關(guān)系是平行或相交，平行不成立，那么間接的證明兩條直線相交；

　　第二，命題用否定形式敘述的，如證明2不是方程2x+1=0的根，可用反證法證明，假設(shè)2是方程2x+1=0的根，則2×2+1應(yīng)等于0，而2×2+1=5，產(chǎn)生矛盾，從而確定2不是方程2x+1=0的根成立；

　　第三，命題用“至少”的字樣敘述時(shí)，可用反證法證明，如證明a≠b，b≠c至少有一個(gè)成立，那我們可用反證法證明如下：假設(shè)a≠b，b≠c都不成立，即a=b且b=c，從這一條件出發(fā)推得矛盾，故a=b，且b=c不成立，因此，a≠b，b≠c至少有一個(gè)成立；

　　第四，當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明，所用的理論不少，且不容易說明白，而它的逆命題易證，如（1）中的舉例，證明兩條直線相交的依據(jù)幾乎沒有，而平行線有很多性質(zhì)，易于推理，因此，用反證法把證明兩條直線相交問題轉(zhuǎn)化到平行線的性質(zhì)．

2.否命題與命題的否定是兩個(gè)不同的概念

　　若p表示命題，“非p”叫做命題的否定.如果原命題是“若p則q”，那么這個(gè)原命題的否定是“p則非q”，即只否定結(jié)論.

　　原命題的否定命題是“若非p，則非q”，即否定條件又否定結(jié)論，例如“菱形的四條邊都相等”的否定為“菱形的四條邊不都相等”；把“菱形的四條邊都相等”作為原命題，則它的否命題是“若四邊形不是菱形，則它的四條邊不都相等.”

3．三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算的關(guān)系。

　　(1) 對(duì)“或”的理解可聯(lián)想到集合中“并集”的概念，或中的“或”，它是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一個(gè)是成立。

　　(2) 對(duì)“且”的理解，可聯(lián)想到集合中“交集”的概念，或中的“且” 是指“x∈A”或“x∈B”這兩個(gè)條件都要滿足。

　　(3) 對(duì)“非”的理解，可聯(lián)想到集合中的“補(bǔ)集”概念，若命題中對(duì)應(yīng)于集合P，則命題非P就應(yīng)對(duì)應(yīng)著集合P在全集U中的補(bǔ)集CuP。

4．用集合觀點(diǎn)來理解“充分條件”、“必要條件”、“充要條件”

　　(1) 若pq，則p是q的充分條件；若pq，則p是q的必要條件。設(shè)A={x|p}，B={x|q}，如果AB，就是x∈A則x∈B，則A是B的充分條件，即pq。如圖：

　　(2) 若A=B則A是B的充要條件，即pq.

5．結(jié)合轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等用集合觀點(diǎn)來解決《簡(jiǎn)易邏輯》中一些問題。

例1、寫出若a、b<0則a<0且a>0的否命題

分析：

　　“若p則q”的否命題“若p則q”，它涉及了邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定，對(duì)此我們從集合角度來看，a<0且b>0可表示為一個(gè)點(diǎn)集A，用圖形表示。如圖，不滿足“a<0且b>0”的點(diǎn)（a,b），在陰影的另一部分，即。它可以看作是Ｘ軸及以下部分(b≤0)和Ｙ軸及右側(cè)部分（a≥0）部分合起來構(gòu)成，即兩塊區(qū)域的并集， a、b滿足“a≥0或b≤0”。

　　因而，否命題為若a、b≥0則a≥0或b≤0。

　　說明：“p且q”的否定為“非p或非q”，用集合的觀點(diǎn)來解釋，并結(jié)合圖形，同學(xué)更容易接受并理解。

例2、對(duì)實(shí)數(shù)x、y、“|x|+|y|≤1”是“|x|≤1，|y|≤1”的什么條件?

分析：

　　從集合的角度判斷，考慮集合A={(x,y)| |x|+|y|≤1}與B={(x,y)| |x|≤1，|y|≤1}的包含關(guān)系。如圖

　　可以知道，AB，所以 |x|+|y|≤1是|x|≤1，|y|≤1的充分而不必要條件。

　　說明：充分條件、必要條件充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，在判斷時(shí)應(yīng)①確定條件是什么、結(jié)論是什么；②嘗試從條件推導(dǎo)結(jié)論，從結(jié)論推導(dǎo)條件；③確定條件是結(jié)論的什么條件。而前面我們已經(jīng)用集合的觀點(diǎn)來概括“充分”、“必要”、“充要”條件，因此解決這類問題時(shí)，有時(shí)可以借助集合的運(yùn)算及包含關(guān)系來解決。

四、例題講解

例1、判斷下列命題的真假，并寫出它的逆命題，否命題，逆否命題，同時(shí)，也判斷這些命題的真假.

①若a＞b，則ac2＞bc2

②若a＞b，則 ＜

③若一個(gè)式子是等式，則它的兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式

④若圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線

⑤若四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形

⑥若在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，b2-4ac＜0，則該二次函數(shù)圖像與x軸有公共點(diǎn)

分析：

　　要判斷命題的真假性，關(guān)鍵是看條件是否能推出結(jié)論，如果能，則是真命題，如果不能，則是假命題．寫出其它的幾個(gè)命題時(shí)，關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論以及條件和結(jié)論的否定．

解：

　?、佟　弋?dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，∴該命題為假命題

　　逆命題：若ac2＞bc2，則a＞b.為真

　　否命題：若a≤b，則ac2≤bc2.為真

　　逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b.為假

　　②　該命題為假命題：∵ 當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)>;

　　逆命題：若<，則a＞b.為假(如b＞0，a＜0時(shí))

　　否命題：若a≤b，則≥.為假(如b＞0，a＜0時(shí))

　　逆否命題：若 ≥，則a≤b.為假(如a＞0，b＜0時(shí))

　?、邸≡撁}為真，這是等式的性質(zhì)

逆命題：若兩個(gè)式子都乘以同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果相等，則這兩個(gè)式子相等.為假，如把x和x2+1都乘以0后相等，但x≠x2+1

否命題：若兩個(gè)式子不相等，則把它們都乘以同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果也不相等.為假

逆否命題：若兩個(gè)式子都乘以同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果的不相等，則這個(gè)兩式也不相等.為真

④　該命題為真

逆命題：若直線是圓的切線，則圓心到直線的距離等于半徑.為真

否命題：若圓心到直線的距離不等于半徑，則該直線不是圓的切線.為真

逆否命題：若直線不是圓的切線，則圓心到直線的距離不等于半徑.為真

⑤　該命題為真

逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角互補(bǔ).為真

否命題：若四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形.為真

逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角不互補(bǔ).為真

⑥　該命題為假，∵當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實(shí)根.因此二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸無公共點(diǎn).

逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有公共點(diǎn)，則b2－4ac＜0.為假

否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，則該二次函數(shù)圖像與x軸沒有公共點(diǎn).為假

逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，則b2－4ac≥0，為假.

點(diǎn)評(píng)：

1.寫出一個(gè)命題的逆命題，否命題及逆命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫.

2.在判斷原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假時(shí)，要利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性（即同真同假），逆命題與否命題的等價(jià)性．

例2、設(shè)集合A、B是全集U的兩個(gè)子集，則AB是的（?。?/p>

　　　A.充分不必要條件　　　　　B.必要不充分條件

　　　C.充要條件　　　　　　　　D.既不充分也不必要條件

解：

　　若AB，用文氏圖可知成立。若，比如A=B滿足條件，但AB不成立。所以AB是的充分不必要條件。

答案：A

例3、已知.若是的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

分析：可以有兩個(gè)思路：

　?。?）先求出和，然后根據(jù)，，求得m的取值范圍；

　?。?）若原命題為“若，則”，其逆否命題是“若p則q”，由于它們是等價(jià)的，可以把求是的必要而不充分條件等價(jià)轉(zhuǎn)換為求p是q的充分而不必要條件．

　　解法一  可求出

　　．

　　由是的必要而不充分條件，知A，它等價(jià)于

　　解得m的取值范圍是．

　　解法二 

根據(jù)思路二，是的必要而不充分條件，等價(jià)于p是q的充分而不必要條件．設(shè)

．

所以，AB，它等價(jià)于

同樣解得m的取值范圍是．

例4、已知下列三個(gè)方程：

　x2+4ax-4a+3＝0，

　x2+(a-1)x+a2＝0，　

　x2+2ax-2a＝0

　至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：

　　從正面入手，本題所要考慮的情況較多，但其反面情況僅有一種情況，故可考慮用反證法的思想去求解.

解答：假設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)根，則有

　(4a)2-4×(-4a+3)＜0，                  ①

　(a-1)2-4a2＜0，                        ②

　(2a)2-4×(-2a)＜0.                    ③

　由①得4a2+4a-3＜0，即

　由②得(a+1)(3a-1)＞0，即a＜-1，或

　由③得a(a+2)＜0，即-2＜a＜0.

　?、佟ⅱ?、③的并集得

　則使三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)為，即

　

評(píng)析：

　　本題要求“三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)的a的取值范圍”，只要求“其反面即三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)根時(shí)a的取值集合M，再求即可”.這種反證法的思想很重要，用起來也很簡(jiǎn)潔明了.否則，用直接法求a的取值范圍將是很困難的.