目錄
1、傳統(tǒng)投資與量化投資
2、量化投資與有效市場假說
3、再談量化投資概念
4、一種簡單的量化模型：現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論（MPT）
5、進(jìn)一步的量化模型：資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）
6、更強(qiáng)大的量化模型：單因子模型和多因子模型（Factor Model）
7、再講一個(gè)量化模型：套利與套利定價(jià)模型(APT）
傳統(tǒng)投資與量化投資
其實(shí)感覺標(biāo)題這么起也不是很恰當(dāng)，因?yàn)閭鹘y(tǒng)投資指的是什么方法也沒有一個(gè)很明確的定義，投資的方法一直都在發(fā)展，姑且認(rèn)為“傳統(tǒng)”的就是非量化的其他投資方法吧。從名稱上來說，量化投資中的“量化”指的就是數(shù)量化，就是需要定量的數(shù)據(jù)。個(gè)人總結(jié)，量化投資=數(shù)據(jù)+模型，它包括量化擇時(shí)和選股、套利、資產(chǎn)組合與風(fēng)險(xiǎn)管理和算法交易等。
傳統(tǒng)投資主要基于個(gè)人的邏輯分析和判斷。舉個(gè)栗子來說，如果有一天你看了蘋果的iPhone X發(fā)布會(huì)，覺得這個(gè)產(chǎn)品很牛，肯定大賣。產(chǎn)品大賣肯定會(huì)給公司帶來可觀的利潤，緊接著你就去買了蘋果公司的股票（NASDAQ: AAPL），等著產(chǎn)品大賣之后股票漲價(jià)，賣出股票賺得差價(jià)。再或者你覺得樓下彭阿姨買的煎餅果子味道獨(dú)特，一直有很多回頭客來購買，在未來的一兩年內(nèi)煎餅果子攤能擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模和盈利能力，于是你就去買了彭阿姨煎餅果子攤的股票（NASDAQ: JBGZ，誤），以期獲取收益。這樣的投資方法主要靠投資者個(gè)人的推理和判斷，并不經(jīng)過太多的數(shù)值計(jì)算，我們稱之為傳統(tǒng)投資方法。大家都很熟悉的巴菲特（Warren Edward Buffett）就更多地采取這樣的方法，其投資決定的形成當(dāng)然也會(huì)基于一定的數(shù)據(jù)和調(diào)研，但是最后的決定主要還是由其個(gè)人的主觀判斷形成。當(dāng)然，比較厲害的就在于其個(gè)人判斷十分準(zhǔn)確，因此取得了很好的投資業(yè)績。不過并不是人人都有巴菲特的這樣一個(gè)大腦，因此，這種方法可能會(huì)非常成功，但是不可復(fù)制。
而量化投資主要是基于數(shù)據(jù)和模型。舉例來說，你觀察了彭阿姨煎餅果子攤，通過煎餅果子攤資產(chǎn)定價(jià)模型，結(jié)合你調(diào)查到的該公司營業(yè)數(shù)據(jù)，算得該公司價(jià)值10w，該公司發(fā)行了1w股股票，平均每股價(jià)值10元/股，但是目前該公司股價(jià)只有5元/股，因此你覺得該公司股票有很大的上漲空間，因此去投資了該公司股票。指出一下，量化投資并不都像這樣通過估計(jì)股票價(jià)值這樣來預(yù)測股票未來的走勢，也有其他的方式。在此領(lǐng)域成功的代表就是西蒙斯（James Harris Simons），如果按盈利能力來算，西蒙斯所管理的大獎(jiǎng)?wù)禄鸬哪昊找媛士赡苁前头铺氐膬傻饺?，并且在?shù)次金融危機(jī)中都屹立不倒。其本人就是一名頗有建樹的數(shù)學(xué)家，在轉(zhuǎn)行做金融之后，也是建立了復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行量化投資。在賺了很多錢之后，還養(yǎng)了一幫數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家做研究，畢竟物理學(xué)家好像也不是很貴（自嘲）。我們學(xué)校就有西蒙斯本人捐的一棟樓——陳-賽蒙斯樓，現(xiàn)在被用作外國專家樓。
圖：陳-賽蒙斯樓（出處見水?。?br>
借用看來的一個(gè)比喻，說傳統(tǒng)投資方法就像是中醫(yī)，講求的是望、聞、問、切，通過醫(yī)生自己的經(jīng)驗(yàn)和判斷來給患者開方治療；量化投資就像是西醫(yī)，需要通過化驗(yàn)、拍片來確定患者的病灶，然后根據(jù)一套生理學(xué)的理論來給出治療的方法。西醫(yī)需要做的抽血化驗(yàn)、拍片檢查就好像量化投資里面的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確，越可能得到更好的結(jié)論；西醫(yī)中的生理學(xué)理論就好像量化投資中搭建的模型，根據(jù)化驗(yàn)檢查的結(jié)果進(jìn)行分析得到結(jié)論。所以我們常常看到，有很多老中醫(yī)醫(yī)術(shù)高超，但這種醫(yī)術(shù)并不是刻意輕易學(xué)得來的，需要通過一帶一的學(xué)徒制來傳授。而西醫(yī)講究的是系統(tǒng)性的方法，可以通過在醫(yī)學(xué)院的學(xué)習(xí)把這樣的方法復(fù)制。
總結(jié)一下，傳統(tǒng)投資方法就好比中醫(yī)，通過較為主觀的分析和判斷來進(jìn)行投資，可復(fù)制性較差；量化投資方法好比西醫(yī)，關(guān)鍵在于數(shù)據(jù)和模型，通過數(shù)值計(jì)算來得到投資決策，具有較強(qiáng)可復(fù)制性。
量化投資與有效市場假說
根據(jù)投資的目的來分類的話，僅僅希望能夠跟隨市場平均水平的投資方式叫做被動(dòng)投資，如果希望投資組合的收益能夠超過市場表現(xiàn)，那么這種投資方式叫做主動(dòng)投資。對(duì)于做主動(dòng)投資的人來說，有效市場假說就好像洪水猛獸，因?yàn)樗苯诱J(rèn)定沒有辦法通過歷史數(shù)據(jù)來獲得超額收益。有效市場假說（efficient-market hypothesis）是由Eugene Fama于1970年提出的。他另外一個(gè)很有名的工作是Fama-French三因子模型，據(jù)說他拿這個(gè)模型賺了十多年錢，賺完了才把它公布出來，結(jié)果又得了個(gè)諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。好了，我們回來講一下這個(gè)有效市場假說。這個(gè)假說通過一些假設(shè)，推出了市場的定價(jià)一直處于一個(gè)有效的狀態(tài)下，即市場上的定價(jià)已經(jīng)綜合反映了各方面的信息。既然市場定價(jià)已經(jīng)綜合反映了市面上的各種信息，那么我們?cè)俑鶕?jù)這些信息和歷史規(guī)律來試圖找到一個(gè)更為有效的定價(jià)就是徒勞的。有效市場假說直接否定了主動(dòng)投資的可行性。
有效市場假說的想法是說假設(shè)股票有效價(jià)格的改變是由各種消息驅(qū)動(dòng)的，好消息和壞消息的的到來是隨機(jī)的。市場的參與者都是獨(dú)立、理性并且追求利潤的，因此當(dāng)消息傳播到市場上之后，這些參與者的投機(jī)行為就能夠使得價(jià)格迅速恢復(fù)到新消息下的有效價(jià)位上。因此，在這個(gè)調(diào)節(jié)機(jī)制下，價(jià)格會(huì)保持合理，市場會(huì)持續(xù)有效。根據(jù)市場有效的程度，該假說還可以分為論斷強(qiáng)弱不同的若干版本。在市場是弱式效率（weak form efficiency）時(shí)，我們無法從歷史的價(jià)量中找到幫助我們盈利的規(guī)律；在半強(qiáng)式效率（semi-strong form efficiency）時(shí)，從公開渠道獲得的所有信息都是無助于我們找到有用規(guī)律的；在強(qiáng)式效率（strong form efficiency）時(shí)，假說斷定從任何渠道獲得的信息都無法幫助我們盈利。
這樣的假說聽起來還挺令人沮喪的。但是個(gè)人認(rèn)為有效市場假說中本身就肯定了肯定了理性市場參與者對(duì)于信息進(jìn)行加工處理然后反作用于市場的作用，亦即正是由于這一部分人通過加工利用這些信息賺到了錢，才把價(jià)格拉回到了有效的位置上。如果我們能比其他市場參與者更加迅速地對(duì)于市面上的信息做出反應(yīng)，就能獲取相應(yīng)的利潤。從實(shí)證的角度上來說，股票市場確實(shí)會(huì)常常出現(xiàn)“不有效”的定價(jià)。A股市場的不有效現(xiàn)象更為明顯，其主要原因還是參與者的成熟度離美股市場還有一定的差距，亦即我國股市的定價(jià)偏離的機(jī)會(huì)仍然較多，這也給量化投資以更多的機(jī)會(huì)。
回頭看一下前面把量化投資比作西醫(yī)的比喻還挺恰當(dāng)?shù)摹Ａ炕顿Y所做的事情就是要找到市場的病灶，即市場定價(jià)不合理之處，然后通過投資并且盈利來糾正這樣的不合理定價(jià)。
再談量化投資概念
有好多名詞大家常常和量化投資一起見到，比如說基本面分析、技術(shù)面分析、程序化交易等等，它們和量化交易又怎樣的關(guān)系呢？
首先來講講基本面分析（fundamental analysis）和技術(shù)面分析（technical analysis）?；久娣治鲋饕揽抗矩?cái)務(wù)數(shù)據(jù)和宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，比較常見的公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)有原始數(shù)據(jù)有公司的總資產(chǎn)、總負(fù)債、每股收益等，比較常見的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)有GDP增速、國家外匯和黃金儲(chǔ)備、貨幣供應(yīng)量等。不過就基本面的定義而說，基本面還包括市面上的新聞、公告和輿情信息。而技術(shù)面分析主要依靠股票市場歷史上的交易價(jià)格和成交量，雖然其原始數(shù)據(jù)比較單調(diào)，但在技術(shù)面分析中卻發(fā)展出了大量的分析手段，從價(jià)量數(shù)據(jù)中衍生出相當(dāng)多的技術(shù)指標(biāo)。
那么基本面分析和技術(shù)面分析和量化投資是什么樣的關(guān)系呢？很多人認(rèn)為量化投資主要是做技術(shù)面分析，其實(shí)確實(shí)如此，在量化投資領(lǐng)域所用到的技術(shù)面信息更多一些。在所利用的基本面信息中，也是更多的用到數(shù)量化的公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)和指數(shù)化的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，而新聞、公告、輿情等信息的利用相對(duì)來講不是十分充分。究其原因，相比于傳統(tǒng)的量化而言，量化投資所需要的數(shù)據(jù)更傾向于數(shù)量化的數(shù)據(jù)，甚至是結(jié)構(gòu)化的數(shù)據(jù)；另外，在傳統(tǒng)量化中，由于主要靠人工來進(jìn)行分析，希望數(shù)據(jù)量盡可能少而精，但與此相反，在量化投資中，我們更傾向于找尋數(shù)據(jù)中的規(guī)律，因此希望有更多的數(shù)據(jù)?；久娣治鲋兴玫降男侣劇⒐?、輿情信息不便于進(jìn)行結(jié)構(gòu)化和數(shù)量化，因此在目前的量化投資中用到的不多；基本面分析中所用到的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)由于其更新頻率通常為季度甚至是年度數(shù)據(jù)，導(dǎo)致其數(shù)據(jù)量較少，也給其在量化投資中的應(yīng)用帶來了一定的困難。
總結(jié)一下，在量化投資中確實(shí)更傾向于利用技術(shù)面分析中的一些數(shù)據(jù)，但量化投資也會(huì)使用基本面分析中帶給我們的數(shù)據(jù)；目前基本面分析中的信息利用的較少，是由于其使用上的困難，但個(gè)人認(rèn)為將基本面分析中的信息放進(jìn)量化投資框架中進(jìn)行研究肯定是量化投資未來的發(fā)展方向之一。
那么量化投資是不是一定是程序化交易呢？
答案是不一定。量化投資講的是一種投資分析的方法。完全可以通過量化投資得到一個(gè)結(jié)果，然后手動(dòng)下單交易，并且目前在業(yè)界很多中低頻交易策略（按星期或者月頻率調(diào)倉）中，就是通過量化投資方法生成相應(yīng)的交易方案之后，通過交易員來手動(dòng)下單操作的。不過如果做出來的量化投資策略就是一個(gè)高頻的交易，比如日內(nèi)的擇時(shí)，甚至是以秒為時(shí)間計(jì)量的高頻交易，這樣的策略如果靠人工操作就無法保證其對(duì)于量化策略的執(zhí)行力，因此這樣的策略最后一定是靠程序化交易的。
一種最簡單的量化模型：現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論（MPT）
下面進(jìn)入這一講的重點(diǎn)，我們將要介紹一些最簡單的量化模型。
現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論（modern portfolio theory，MPT），是由Harry Markowitz在1952年提出的，他本人也是在38年之后獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。不過，在講這個(gè)模型之前，我們先來講一下風(fēng)險(xiǎn)。
我們常常說一個(gè)理性的投資人是追求利潤并且厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，所以理性的投資人一直在做的事情就是最大化利潤，并且最小化風(fēng)險(xiǎn)。但是我們?cè)鯓觼砗饬匡L(fēng)險(xiǎn)呢？我們熟知的余額寶就屬于風(fēng)險(xiǎn)比較低的理財(cái)產(chǎn)品，而股票市場就屬于風(fēng)險(xiǎn)比較高的投資。但這樣的認(rèn)識(shí)是我們憑感覺得來的，我們能不能用什么辦法具體地來計(jì)算相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)呢？答案是我們可以使用收益率序列的方差來表征風(fēng)險(xiǎn)。（還有其他表征風(fēng)險(xiǎn)的方式，方差是一種最基本的方法，見風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是否是有史以來最蠢的衡量指標(biāo)？）
舉個(gè)栗子，我們可以查看一下余額寶（天弘基金）和平安銀行股票（000001.SZ）近期的每日收益率（這里只是舉例子，計(jì)算可能不科學(xué)，因?yàn)橛囝~寶在非交易日也會(huì)有收益）
日期 余額寶（每萬份收益） 平安銀行股票（折算每萬份收益）
2018-01-24 1.0592 -6.8259
2018-01-25 1.0451 -300.5464
2018-01-26 1.0454 -105.6338
2018-01-29 1.0531 -220.6406
2018-01-30 1.0601 -65.5022
2018-01-31 1.0758 293.0403
2018-02-01 1.0690 -14.2349
2018-02-02 1.0761 14.2552
2018-02-05 1.0788 355.8719
當(dāng)我們要來評(píng)價(jià)相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)候就可以計(jì)算出兩者實(shí)際的“風(fēng)險(xiǎn)”究竟是多少。余額寶收益率序列標(biāo)準(zhǔn)差為σ=0.0123，平安銀行股票收益率序列標(biāo)準(zhǔn)差為σ=221.8064。（風(fēng)險(xiǎn)一般用方差var來表示，由于這個(gè)例子中其方差差距太大，因此就只寫標(biāo)準(zhǔn)差）有了這樣的數(shù)字我們就可以對(duì)于其“風(fēng)險(xiǎn)”進(jìn)行比較了。
下面來講一下MPT是什么。MPT中的portfolio中文叫做資產(chǎn)組合，資產(chǎn)組合是什么呢？假設(shè)市面上有n個(gè)可以進(jìn)行投資的標(biāo)的，一個(gè)資產(chǎn)組合可以表示為一個(gè)n維的向量P=(w1,w1,?,wn)，向量的每一維代表該投資組合投資到相應(yīng)標(biāo)的的金額比例，且滿足∑ni=1wi=1。
每個(gè)標(biāo)的的收益ri都是一個(gè)隨機(jī)變量。資產(chǎn)組合的收益rp也是一個(gè)隨機(jī)變量，并且可以表示為rp=∑ni=1wiri。
剛剛我們說了，每個(gè)標(biāo)的的風(fēng)險(xiǎn)可以寫成var(ri)=cov(ri,ri)。資產(chǎn)組合的的風(fēng)險(xiǎn)也可以寫出來var(rp)=∑ni=1∑nj=1cov(ri,rj)。
MPT這個(gè)理論要做的就是在達(dá)到期望收益的情況下，最小化投資風(fēng)險(xiǎn)。因此，對(duì)于一個(gè)理性的投資者來說，就是要解如下的一個(gè)優(yōu)化問題
minvar(rp)=∑i=1n∑j=1ncov(ri,rj)s.t.E(rp)=∑i=1nwiE(ri)≥μ,∑i=1nwi=1
其中的μ就是預(yù)期的收益率。我們可以看出，給定一個(gè)預(yù)期的收益率μ，我們可以解到一個(gè)可以最小化風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合，并且可以得到該資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)。相應(yīng)地，我們可以畫出在MPT框架下的收益-風(fēng)險(xiǎn)曲線。這條曲線就是下圖中的藍(lán)線，也稱作有效前沿（efficient frontier）或者馬科維茲子彈（Markowitz bullet）。
圖中的紅點(diǎn)為代表無風(fēng)險(xiǎn)利率，我們可以看到它的風(fēng)險(xiǎn)為0，收益為一個(gè)特定的值rf，可以簡單地把它理解為銀行存款利率。藍(lán)線上綠色的點(diǎn)是這條線上夏普比率最高的點(diǎn)，這一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)組合稱作市場組合（market portfolio）。夏普比率定義為相比于無風(fēng)險(xiǎn)投資的超額收益相對(duì)于所承受風(fēng)險(xiǎn)的比值
Sharpe=E(rp)?rfvar(rp)
可以簡單地這樣理解，有效前沿上的資產(chǎn)組合是都是相應(yīng)給定收益下風(fēng)險(xiǎn)最小的資產(chǎn)組合，而市場組合是有效前沿上投資收益-風(fēng)險(xiǎn)比（即投資效率）最高的資產(chǎn)組合。注意到，市場組合中不包括無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。如果資產(chǎn)組合能夠包括無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那么還可以組合出橙線以下區(qū)域的收益-風(fēng)險(xiǎn)配置，這條橙色的線我們稱之為資本市場線（capital market line）。為什么這條線上的點(diǎn)可以通過加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)建出來呢？簡單來說，比如資本市場線上紅點(diǎn)和綠點(diǎn)之間的線段，可以通過購買α比例的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)再加上1?α比例的市場組合來得到。當(dāng)α=1時(shí)，全部購買無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在紅點(diǎn)處；當(dāng)α=0時(shí)，就為市場組合，在綠點(diǎn)處。其實(shí)α還可以為負(fù)數(shù)，這時(shí)候相當(dāng)于以無風(fēng)險(xiǎn)利率從市場借錢，然后購買更多的市場組合，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就在綠點(diǎn)上方的射線上了。
敲黑板
1、我們使用方差來衡量風(fēng)險(xiǎn)
2、通過資產(chǎn)組合的配置可以降低風(fēng)險(xiǎn)，中和收益
3、有效前沿是在諸多有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上配置資產(chǎn)組合能達(dá)到的最好情況，市場組合是其中投資效率最高的一個(gè)資產(chǎn)組合
4、資本市場線是加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)資產(chǎn)之后能夠配置出來收益-風(fēng)險(xiǎn)特征的邊界
進(jìn)一步的量化模型：資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）
資本資產(chǎn)定價(jià)模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是由Jack Treynor, William F. Sharpe, John Lintner和Jan Mossin等人在MPT基礎(chǔ)上獨(dú)立提出的，CAPM是可以由MPT推導(dǎo)出來的，但這里不做推導(dǎo)了，我們直接寫公式。
CAPM表述的是任何一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率相對(duì)于市場組合收益率之間的關(guān)系
E(rs)=rf+βs(E(rM)?rf)
rs表示某種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率，可以理解為某只股票的收益率；rf是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率；rM是市場組合收益率；βs表示該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相對(duì)于市場的敏感性，它的計(jì)算公式為βs=cov(rs,rM)var(rM)，它反映的是該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益隨著市場組合收益波動(dòng)的關(guān)聯(lián)性大小。在牛市期間，如果買入βs>1的股票，可能賺錢比市場平均收益更多的收益；在熊市期間，如果持有βs<1的股票能夠避免過多的損失，甚至如果某風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的βs<0，則該風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)能幫助你在熊市期間賺錢（比如股票的空頭）。
我們來看一下βs的計(jì)算公式，其分母部分計(jì)算方法為var(rM)=∑Ni=1∑Nj=1wiwjcov(ri,rj)，分子部分的計(jì)算方法為cov(rs,rM)=∑Ni=1wicov(rs,ri)。通常來講，市場組合中的證券數(shù)目是相當(dāng)大的。舉例來說，A股市場的股票數(shù)目現(xiàn)在有三千多只，如果再加上期貨、基金可能會(huì)有上萬中投資標(biāo)的。相應(yīng)的分母部分需要計(jì)算N2量級(jí)個(gè)的協(xié)方差，運(yùn)算量非常大。我們之后介紹的因子模型可以解決這樣的問題。
總結(jié)一下，資本資產(chǎn)定價(jià)模型主要說的就是，在投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的情況下，如果某個(gè)投資標(biāo)的具有更大的風(fēng)險(xiǎn)，投資人會(huì)期望該投資標(biāo)的能夠帶來更大的收益；反過來，如果某投資標(biāo)的有更多的收益，那么它會(huì)承擔(dān)更多的風(fēng)險(xiǎn)。收益和風(fēng)險(xiǎn)滿足公式所描述的線性關(guān)系。
更強(qiáng)大的量化模型：單因子模型和多因子模型（Factor Model）
單因子模型的提出基于如下的想法，宏觀經(jīng)濟(jì)的因素對(duì)于不同的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益都產(chǎn)生影響，并且該影響會(huì)較大程度上影響風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益，如果能把該影響剝離開，就能夠更好地來分析風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益。即認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益可以分解為
ri,t=αi+βiFt+?i,t
其中ri,t表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的在t時(shí)刻的收益；Ft是某宏觀經(jīng)濟(jì)影響因素，它對(duì)于不同的資產(chǎn)在同一個(gè)時(shí)刻都是相同的；βi是該資產(chǎn)對(duì)于該宏觀經(jīng)濟(jì)影響因素的敏感程度；?i,t是噪聲/殘差，其期望為零。
舉個(gè)例子來說，某股票A在持有初期的期望收益為5%，在持有期期間，GDP增速8%，GDP是影響該股票的唯一因素，它對(duì)于GDP增速的敏感程度為1.1。同時(shí)，在持有期間，公司發(fā)生了一件利好事件，使股價(jià)上升3%。則此時(shí)該公司收益為
rA=αA+βAF+?A=5%+1.1×8%+3%=16.8%
如果我們還知道GDP增速的波動(dòng)率σ2F=1%，該股票噪聲波動(dòng)率σ2?=4%，則可以算出該股票的風(fēng)險(xiǎn)
σ2A=β2A×σ2F+σ2?=1.21×1%+4%=5.21%
注意到，單因子模型僅僅認(rèn)為所有股票只受到一項(xiàng)宏觀經(jīng)濟(jì)因素的影響，如果認(rèn)為所有的股票受到多個(gè)互不相關(guān)因素的影響，那么自然可以寫出多因子模型
ri,t=αi+β(1)iF(1)t+?+β(K)iF(K)t+?i,t
一般稱β為因子暴露，F(xiàn)為因子收益。
當(dāng)多因子模型包含的因子為宏觀經(jīng)濟(jì)相關(guān)的內(nèi)容時(shí)（比如國內(nèi)生產(chǎn)總值、貨幣供應(yīng)量、黃金和外匯儲(chǔ)備等），這類宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的基本形式就是一列與特定股票i無關(guān)的時(shí)間序列，我們通常把它們作為因子收益；然后在每一只股票上做時(shí)間序列回歸得到相應(yīng)的因子暴露。這時(shí)，因子收益代表的是宏觀經(jīng)濟(jì)帶來的全局性（也稱系統(tǒng)性）的收益率，因子暴露代表的是該股票對(duì)于這一項(xiàng)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)波動(dòng)的敏感性。
那時(shí)間序列回歸怎么做？
把股票i固定的時(shí)候，去擬合如下方程
rt=α+β(1)F(1)t+?+β(K)F(K)t
這時(shí)，該股票的收益率時(shí)間序列rt和諸多宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列F(k)t都已知，通過多元線性回歸就可以求到相應(yīng)的α和β(k)
通常多因子模型所包含的因子還可以為與特定股票相關(guān)的基本面或者技術(shù)面特征（比如該股票的近期趨勢、市值大小、相對(duì)估值等），這類數(shù)據(jù)的基本形式是對(duì)于每一只股票，都有一個(gè)時(shí)間序列。比如常見的反映股票規(guī)模的因子股票總市值，具體來說就等于該股票的股價(jià)乘上該公司發(fā)行的總股數(shù)。這個(gè)因子每天對(duì)于每只股票都會(huì)有一個(gè)數(shù)值。這時(shí)，相應(yīng)的多因子模型就寫作
ri,t=βt+X(1)i,tf(1)t+?+X(K)i,tf(K)t+?i,t
這時(shí)因子暴露X(k)i,t代表的就是該股票這個(gè)時(shí)刻在某種風(fēng)險(xiǎn)上的暴露。舉例來說，我們都知道一家小的公司比一家大公司有更大的倒閉風(fēng)險(xiǎn)（即市值風(fēng)險(xiǎn)），因此，如果股票總市值這個(gè)因子數(shù)值越小，就說明該公司更多地暴露在市值風(fēng)險(xiǎn)上，即更容易因?yàn)閼?zhàn)亂、政府政策等外部原因倒閉或者虧損。既然小市值的公司承受了更大的風(fēng)險(xiǎn)，那么根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的原理來說，小市值公司的收益率期望就會(huì)更高。那么減小每單位的市值，市場上的投資者希望收回多少額外的收益呢？這件事情就由相應(yīng)的因子收益來衡量了。因子收益如何得到呢？我們一般通過橫截面回歸來得到相應(yīng)的因子收益。
那么橫截面回歸怎么做？
把同一個(gè)時(shí)刻或者一段時(shí)期中的不同數(shù)據(jù)點(diǎn)拿過來，擬合如下方程，就是橫截面回歸。這個(gè)時(shí)候，時(shí)間參數(shù)t就是固定的了。
ri=β+X(1)if(1)+?+X(K)if(K)
其中不同股票的收益率ri和每只股票在此時(shí)的因子暴露數(shù)值X(k)i是已知的，通過多元線性回歸得到相應(yīng)的α和f(k)
補(bǔ)充兩點(diǎn)說明（如果怕被攪暈可以不用看），
我沒有統(tǒng)一這兩種模型的記號(hào)，原因是寫了之后懶得改了（誤），這樣的記號(hào)比較約定俗成（誤），其實(shí)書籍論文、券商研報(bào)的記號(hào)也是魚龍混雜，大家抓住實(shí)質(zhì)就好。
對(duì)于第二種模型來說，雖然我糾結(jié)再三還是在β和f下加上了腳標(biāo)t，但是我們假定它們?cè)谝欢屋^長的時(shí)期內(nèi)是不變化的。即它們隨時(shí)間變化的速度比因子暴露X隨時(shí)間的變化慢很多。
最后再補(bǔ)充一點(diǎn)（如果還沒有被攪暈?zāi)蔷屠^續(xù)往下看吧）
多因子模型該如何應(yīng)用？
先說一句，大家通常用α表征特質(zhì)性收益，用β表示系統(tǒng)性收益。而大家常常說，Alpha是量化投資的圣杯，大家做的就是去找Alpha。就我們這個(gè)模型而言怎樣找Alpha呢？
對(duì)于第一種模型來說，如果要選股，可以選擇單股特質(zhì)收益αi比較高的股票，這表明該股票在剝離掉宏觀經(jīng)濟(jì)影響因素之后，仍然有較高的收益率；如果要做資產(chǎn)組合，那么可以找一個(gè)資產(chǎn)組合是的該資產(chǎn)組合中的α按比例加起來大于零，并且對(duì)于每一項(xiàng)β按比例加起來都等于零，其含義就是該資產(chǎn)組合不受到所有外部宏觀經(jīng)濟(jì)的影響，純靠自己的特質(zhì)賺錢。簡言之，就是抵消Beta，找到Alpha。
對(duì)于第二種模型來說，外部系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)都集中反映到截距項(xiàng)βt中（這也是為什么我們?cè)谶@里用β），而股票特質(zhì)性的收益被分解到了后面的X(1)i,tf(1)t+?+X(K)i,tf(K)t中。因此，我們要做的就是找到后面這一坨算出來的數(shù)值最大股票。這些因子就叫做Alpha因子，對(duì)應(yīng)的這一坨就稱為Alpha收益。
當(dāng)然，隨著市場上根據(jù)這個(gè)模型來操作的玩家越來越多，一旦一種因子暴露X(k)的計(jì)算方法被大家都知道了，大家就會(huì)通過相應(yīng)的投資作用于市場，這個(gè)時(shí)候，相應(yīng)的因子收益f(k)就會(huì)被市場上使用這個(gè)因子的玩家一點(diǎn)點(diǎn)吃掉。當(dāng)該因子被完全吃掉的時(shí)候，該因子的因子收益會(huì)接近于零，這個(gè)時(shí)候，該因子就失效了。當(dāng)該因子失效之后，該因子就不能再作為Alpha因子了。再多說一句，對(duì)于一個(gè)失效的因子來說，在較長的時(shí)間段內(nèi)做橫截面回歸，相應(yīng)的因子收益f接近于零；如果在跨度較短的每個(gè)橫截面都做回歸，得到一系列的因子收益ft，它的均值接近于零。對(duì)失效的因子來說，其因子收益ft均值接近于零，但是它在每個(gè)小的橫截面上的的數(shù)值絕對(duì)值都很大，那么我們可以把它們作為風(fēng)險(xiǎn)因子保留在模型中。風(fēng)險(xiǎn)因子對(duì)應(yīng)的收益我們稱之為Beta收益。
如果我們的因子都被吃掉了那該怎么辦？我們需要從殘差項(xiàng)中發(fā)掘出新的因子，如果新的因子加入之后，總體的殘差變小，說明新的因子對(duì)于股價(jià)具有解釋能力。如果這個(gè)因子對(duì)應(yīng)的因子收益ft能夠很穩(wěn)定地朝同一個(gè)方向偏離零，那么這個(gè)因子就能夠作為一個(gè)Alpha因子了，其對(duì)應(yīng)的收益就為Alpha收益。對(duì)于選股而言，我們就可以選出Alpha收益更大的股票。對(duì)于構(gòu)建資產(chǎn)組合來說，我們可以找一個(gè)資產(chǎn)組合是的其Alpha收益按資產(chǎn)組合的比例加起來最大，并且其Beta收益按比例加起來為零。
剛剛講的這兩種模型對(duì)應(yīng)的構(gòu)建資產(chǎn)組合的方法都是最大化Alpha收益，并且盡量抵消掉Beta收益，這樣的做法就叫做Alpha策略。
為什么大家希望抵消Beta收益呢？因?yàn)檫@里大家假設(shè)宏觀經(jīng)濟(jì)更難以預(yù)測，而對(duì)于單個(gè)股票或者對(duì)于單個(gè)因子的預(yù)測更有信心。當(dāng)然，如果你對(duì)于宏觀經(jīng)濟(jì)十分了解，能夠很好地預(yù)測宏觀經(jīng)濟(jì)的走向，那么你就去賭beta，一樣可以賺錢。比如，你預(yù)測未來宏觀經(jīng)濟(jì)走勢較強(qiáng)、社會(huì)局勢穩(wěn)定、工業(yè)發(fā)展迅速，那么小市值因子（現(xiàn)在認(rèn)為它是一種風(fēng)險(xiǎn)因子，并且注意我說的是“小”市值因子）對(duì)應(yīng)的因子收益就會(huì)大于零，那么你就去買小市值股票，賺錢Beta收益。
假設(shè)市場上投資標(biāo)的個(gè)數(shù)為N，研究的時(shí)間截面?zhèn)€數(shù)為T，因子個(gè)數(shù)為K。剛剛說到CAPM要計(jì)算某只股票的期望收益就需要計(jì)算該支股票的βs，大概需要計(jì)算N2個(gè)協(xié)方差，每個(gè)協(xié)方差的計(jì)算為兩列長度為T的序列。在多因子模型中，如果需要計(jì)算計(jì)算某只股票的期望收益只需要做K維線性回歸。對(duì)于時(shí)間序列回歸來說，輸入為K+1個(gè)長度為T的序列；對(duì)于橫截面回歸來說，輸入為K+1個(gè)長度為N的序列。通常K比N要小很多，因此多因子模型相比于CAPM，計(jì)算量減小了很多。
總結(jié)一下，多因子模型分為兩類。一種是使用宏觀經(jīng)濟(jì)因素來作為因子的模型，這種模型可以直接得到因子收益，通過時(shí)間序列回歸得到因子暴露；另一種是使用表征股票特征的基本面或者技術(shù)面因素來作為因子的模型，這種模型可以直接得到因子暴露，通過橫截面回歸得到因子收益。
第一種： ri,t=αi+β(1)iF(1)t+?+β(K)iF(K)t+?i,t
第二種： ri,t=βt+X(1)i,tf(1)t+?+X(K)i,tf(K)t+?i,t
再講一個(gè)量化模型：套利與套利定價(jià)模型
套利（arbitrage）是利用同一種或者相似的實(shí)物資產(chǎn)或金融資產(chǎn)的不同價(jià)格來獲取無風(fēng)險(xiǎn)受益的行為，是通過買入收益率偏高的證券同時(shí)賣出收益率偏低的證券來實(shí)現(xiàn)的。勾一下重點(diǎn)就是同時(shí)買入和賣出。比如說，你看到學(xué)校食堂里面的雞蛋七毛錢一個(gè)，同樣的雞蛋在學(xué)校大門外要買一塊錢，那你就從食堂買來雞蛋立馬跑到校門外去賣掉，這個(gè)就是套利。假如你要是買來一堆雞蛋，先屯著不賣，等過年雞蛋漲價(jià)的時(shí)候再賣，這種賺錢的方式就不屬于套利。
套利定價(jià)模型（arbitrage pricing theory，APT）講的是一個(gè)理想的市場條件下各個(gè)證券定價(jià)應(yīng)該滿足的表達(dá)式。這里所說的理想市場條件指的是市場沒有交易成本，同時(shí)市場中的交易者都是回避風(fēng)險(xiǎn)并且對(duì)于證券的預(yù)期報(bào)酬有一致性看法。那么證券定價(jià)就滿足以下表達(dá)式
ri=αi+β(1)iF(1)+?+β(K)iF(K)+?i
這里的表達(dá)形式和參量代表的含義其實(shí)質(zhì)與我們之前講的多因子模型是一樣的，只是由于這里不考慮時(shí)間序列的特性，因此省略了時(shí)間下標(biāo)。不過需要注意的是，對(duì)于每只股票的β而言，還是需要像多因子模型一樣，通過時(shí)間序列回歸來得到。
如果一個(gè)資產(chǎn)組合滿足以下三點(diǎn)要求，我們就稱之為套利組合（arbitrage portfolio）
初始投資為零，即對(duì)投資組合P=(w1,?,wN)有∑Ni=1wi=0
投資組合的風(fēng)險(xiǎn)為零，風(fēng)險(xiǎn)分為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)為零即對(duì)于任意的k∈[K]，∑Ni=1β(k)iwi=0；非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)則要求投資的種類足夠多和分散，由大數(shù)定理就能夠得到∑Ni=1wi?i=0
當(dāng)然最重要的一點(diǎn)就是盈利為正，即∑Ni=1wiri=0，結(jié)合前兩條，有∑Ni=1wiαi=0
當(dāng)市場上存在這一的套利組合的時(shí)候，我們就說這個(gè)市場上存在套利機(jī)會(huì)。
舉一個(gè)例子，假如市場上有三只股票，分別是A、B、C，我們暫時(shí)只考慮一個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)的影響因素，這三只股票的收益率和它們對(duì)該因素的敏感程度如下表所示
股票 收益率 敏感程度
A 12% 1.0
B 25% 3.5
C 15% 2.0
那么這樣的一個(gè)市場是否存在套利機(jī)會(huì)呢？我們可以看到，通過構(gòu)建一個(gè)套利組合P=(0.3,0.2,?0.5)，可以實(shí)現(xiàn)投資總額∑Ni=1wi=0.3+0.2+(?0.5)=0，同時(shí)，系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)∑Ni=1wiβi=0.3×1+0.2×3.5?0.5×2.0=0。但是總的收益∑Ni=1wiri=12%×0.3+25%×0.2+15%×(?0.5)=1.1%>0。
因此，這樣的市場存在套利機(jī)會(huì)，通過構(gòu)建這樣的組合，我們可以在沒有系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的情況下獲得1.1%的期望收益。
不過需要提一下的是，套利定價(jià)模型只是給我們提供了一個(gè)這樣的框架，這樣的套利組合是否真正地能夠盈利其實(shí)更多地取決于你把什么東西當(dāng)做因子填到公式中，如果你選定的一組因子對(duì)于交易者對(duì)于證券的預(yù)期有很好的解釋能力，那么你找到的套利機(jī)會(huì)才是“真”套利機(jī)會(huì)。
小結(jié)
這里簡單介紹了量化投資的概念，并且介紹了一些基本的量化投資模型，量化投資的模型都試圖定量解釋投資標(biāo)的的收益率。這些模型都有著共同的特征，他們都把資產(chǎn)收益率與其他的因素建立起了線性的聯(lián)系，雖然線性關(guān)系是一種最直接、最簡單的定量關(guān)系，但是在歷史上，這樣的模型卻常常是十分有效的。像我們這一講里面提到的MPT、Fama-French三因子模型等都是諾貝爾獎(jiǎng)級(jí)的工作。當(dāng)然，金融市場里面是否存在非線性的關(guān)系呢？個(gè)人認(rèn)為答案是肯定的，但是就目前來說，線性模型還是業(yè)界量化投資的主力。隨著線性模型帶給我們收益的一步步枯竭，非線性模型可能會(huì)成為之后量化模型的探索方向。而機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展出來許多較為成熟的非線性模型，機(jī)器學(xué)習(xí)中的非線性模型將會(huì)以怎樣的方式應(yīng)用到量化投資領(lǐng)域呢？我將會(huì)在第四講中來聊一聊。
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