【原】小學(xué)奧數(shù)之余數(shù)問題

中小學(xué)知識學(xué)堂 2022-07-23 發(fā)布于云南

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【求余數(shù)】

　　例2 9437569與8057127的乘積被9除，余數(shù)是__。

　?。ā冬F(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》邀請賽試題）

　　講析：一個數(shù)被9除的余數(shù)與這個數(shù)各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)是一樣的。

　　9437569各位數(shù)字之和除以9余7；8057127各位數(shù)字之和除以9余3。

　　7×3=21，21÷9=2……3。

　　所以，9437569與8057127的乘積被9除，余數(shù)是3。

　　例3 在1、2、3、4、……、1993、1994這1994個數(shù)中，選出一些數(shù)，使得這些數(shù)中的每兩個數(shù)的和都能被26整除，那么這樣的數(shù)最多能選出_______個。

　?。?994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）

　　講析：可將1、2、3、……、1994這1994個數(shù)，分別除以26。然后，按所得的余數(shù)分類。

　　要使兩個數(shù)的和是26的倍數(shù)，則必須使這兩個數(shù)分別除以26以后，所得的余數(shù)之和等于26。

　　但本題要求的是任意兩個數(shù)的和都是26的倍數(shù)，故26的倍數(shù)符合要求。這樣的數(shù)有1994÷26=76（個）……余18（個）。但被26除余13的數(shù)，每兩個數(shù)的和也能被26整除，而余數(shù)為13的數(shù)共有77個。

　　所以，最多能選出77個。

　　【同余問題】

　　例1 一個整數(shù)，除300、262、205，得到相同的余數(shù)（余數(shù)不為0）。這個整數(shù)是_____。

　　（全國第一屆“華杯賽”初賽試題）

　　講析：如果一個整數(shù)分別除以另兩個整數(shù)之后，余數(shù)相同，那么這個整數(shù)一定能整除這兩個數(shù)的差。因此，問題可轉(zhuǎn)化為求（300—262）和（262—205）的最大公約數(shù)。

　　不難求出它們的最大公約數(shù)為19，即這個整數(shù)是19。

　　例2 小張在計算有余數(shù)的除法時，把被除數(shù)113錯寫成131，結(jié)果商比原來多3，但余數(shù)恰巧相同。那么該題的余數(shù)是多少？（1989年上海市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

　　講析：被除數(shù)增加了131-113=18，余數(shù)相同，但結(jié)果的商是3，所以，除數(shù)應(yīng)該是18÷3=6。又因為113÷6的余數(shù)是5，所以該題的余數(shù)也是5。

　　例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡覺，明天再說。夜里，一只猴子偷偷起來，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡覺；第二只猴子起來，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡覺。第三、四、五只猴子也都這樣做。問：最初至少有______個桃子。

　　（哈爾濱市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

　　講析：因為第一只猴子把桃5等分后，還余1個桃；以后每只猴子來時，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1個桃子。于是，我們可設(shè)想，如果另加進4個桃子，則連續(xù)五次可以分成5等份了。

　　加進4個桃之后，這五只猴每次分桃時，不再吃掉一個，只需5等份后，拿走一份。

　　因為4與5互質(zhì)，每次的4份能分成5等份，這說明每次等分出的每一份桃子數(shù)，也能分成5等份。這樣，這堆桃子就能連續(xù)五次被5整除了。所以，這堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（個）。

　　例4 在1、2、3、……、30這30個自然數(shù)中，最多能取出______個數(shù)，使取出的這些數(shù)中，任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù)。

　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

　　講析：我們可將1到30這30個自然數(shù)分別除以7，然后按余數(shù)分類。

　　余數(shù)是0：7、14、21、28

　　余數(shù)是1：1、8、15、22、29

　　余數(shù)是2：2、9、16、23、30

　　余數(shù)是3：3、10、17、24

　　余數(shù)是4：4、11、18、25