概覽[編輯]

信號處理領(lǐng)域中的一個(gè)常見問題就是從一系列的采樣中重建原本的信號。一般而言，未被采樣的部分信號，是不可能重建出來的。然而通過借助對于信號（性質(zhì)）的預(yù)先了解或合理假設(shè)，完美地通過一系列采樣重建原信號就成為了可能。隨著科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們逐步增進(jìn)了如何作出合理假設(shè)的能力，并慢慢了解到在何種情況下可將這些假設(shè)一般化、推廣化。

信號處理領(lǐng)域中的一次較早的突破是奈奎斯特采樣定理的提出。這一定理證明了若信號的最高頻率小于采樣頻率的一半，便可完美地從采樣結(jié)果中恢復(fù)原本信號，因此定義了采樣定理采樣率的下限。這種數(shù)據(jù)獲取模式先采樣再壓縮，需要大量的時(shí)間壓縮和空間存儲數(shù)據(jù)，這限制了高速信號處理的發(fā)展，也給硬件的實(shí)時(shí)處理帶來了極大的挑戰(zhàn)。

在2006年左右，Emmanuel Candès、戴維·多諾霍、Justin Romberg和陶哲軒 證明了在已知信號稀疏性的情況下，可能憑借較采樣定理所規(guī)定更少的采樣數(shù)重建原信號，這一理論也是壓縮感知的基石。

正交基展開（orthogonal basis expansion）采用的是完全正交基（complete and orthogonal basis set）來進(jìn)行展開，

而壓縮感知采用的是over-complete and non-orthogonal basis set來展開信號。

示例[編輯]

傅立葉級數(shù)(Fourier series) expansion 是 orthogonal basis expansion 的方法:

x(t) ≈ exp(j2t)

exp(j2t) =0，if ≠

Three-parameter atom expansion，F(xiàn)our-parameter atom (chirplet) expansion，

PSWF expansion 則是 over-complete and non-orthogonal basis expansion 的方法:

x(t) ≈ (t)

(t) do not form a complete and orthogonal set

分類[編輯]

The problems that compressive sensing deals with:

Suppose that (t), (t), (t), (t) ………… form an over-complete and non-orthogonal basis set

問題一[編輯]

We want to minimize ( 是 norm， 意指 的值不為0 的個(gè)數(shù)) such that

x(t) ≈ (t)

問題二[編輯]

We want to minimize such that

< threshold

問題三[編輯]

When is limited to M, we want to minimize

方法[編輯]

方法一:Matching Pursuit (Greedy Algorithm)[編輯]

atoms:(t)，m=1,2,3,......

| | = 1 (normalized)

[step1]Input:x(t),Initial: n = 0, (t) = x(t)

[step2]Find m such that | | is maximal

[step3]Set

[step4]

[step5]n = n + 1

[step6]檢查下列條件是否符合，若不符合，回到[step2]；若符合，則進(jìn)到[step7]

問題一:Whether

問題二:Whether < threshold

問題三:Whether n = M

[step7]x(t) ≈

方法二:Basis Pursuit[編輯]

Change the norm into the norm

問題一:

We want to minimize such that

x(t) ≈ (t)

問題二:

We want to minimize such that

< threshold

問題三:

When ，we want to minimize

問題定義[編輯]

一般來說，一個(gè)常見的線性系統(tǒng)問題，有m個(gè)方程式, n個(gè)未知數(shù)，可以被定義如下：

其中

在通信系統(tǒng)之中，y是被收到的信號，而s則是要被重建的信號，一般來說會有以下兩種情況：

1.，也就是說方程式的數(shù)量大于等于未知數(shù)的數(shù)量，這種情況發(fā)生的時(shí)候就可以利用最小平方法去求得最接近的解，求得的解如下：

其中是偽逆矩陣。

2.，也就是未知數(shù)的數(shù)量比方程式的數(shù)量來的多，這個(gè)方程組就被稱為欠定線性系統(tǒng)，一般而言有無數(shù)個(gè)解，因此無法使用最小平方法去求得要重建的信號。

但是，如果這個(gè)欠定線性系統(tǒng)只有唯一一個(gè)稀疏解，那么我們可以利用壓縮感知理論和方法來尋找這個(gè)解。值得注意的是，并不是所有欠定線性方程組都具有稀疏解。

舉例來說，是一個(gè)欠定線性系統(tǒng)，會有無限多個(gè)解可以滿足這個(gè)方程式，然而若加入稀疏的限制條件：之間只有一個(gè)有值，其余都是0；就可以很輕易地得到這個(gè)欠定線性系統(tǒng)的解為，這個(gè)就是壓縮感知的最主要的精神所在。

從下圖可以輕易地了解，當(dāng)解具有稀疏的特性時(shí)，就可以從欠定線性系統(tǒng)有無限多組解的情況變成可以利用最小平方法找出解的情況。

• 

  當(dāng)信號具有稀疏的特性時(shí)，線性系統(tǒng)就可以從無限多組解的情況，變成有解的情況。

稀疏性[編輯]

一個(gè)向量的稀疏性可以被定義如下：

的個(gè)數(shù)。

也就是計(jì)算一個(gè)向量之中非零的個(gè)數(shù)，舉例來說，如果，，因此目標(biāo)的解就會變成如下：

希望能在非零個(gè)數(shù)越少的情況之下，找到最有可能的解。然而在實(shí)際中，最優(yōu)化L0范數(shù)是一個(gè)NP難的問題，需要窮舉s中非零值的所有排列可能，因而無法求解。通常采取的手段是對L1范數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化求解，優(yōu)化目標(biāo)則變?yōu)椋?

或是使用匹配追蹤系列算法、迭代閾值法以及專門處理二維圖像問題的最小全變分法等求得次最優(yōu)解的算法進(jìn)行計(jì)算。

有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property, RIP)[編輯]

有限等距性質(zhì)(RIP)是壓縮還原算法中常?？梢钥匆姷拿~，主要可以被用來分析還原算法的表現(xiàn)好壞。其定義如下：

其中的代表傳感矩陣，代表的是信號能量，可以表示如下：

因此整個(gè)式子可以視為信號跟傳感矩陣的相似程度，也就是做完轉(zhuǎn)換后的能量，要被RIP限制住，而RIP要求。

取樣方法[編輯]

在理論上，為了確保信號重建的準(zhǔn)確度，需要令所采用的取樣矩陣各行列之間相干性（coherence）盡量地低，且須矩陣元素（element）取值隨機(jī)性盡量地高。

相干性(coherence)可以簡單定義如下：

也就是取樣矩陣任兩個(gè)相異的行做內(nèi)積后，取絕對值所產(chǎn)生的最大值，可以用來衡量信號重建的準(zhǔn)確度。

而目前對于采樣矩陣有下列幾種選擇可以使還原重建度有一定質(zhì)量：

1. 對n個(gè)A的行向量在m維的單位半徑球面上進(jìn)行隨機(jī)采樣
2. 對任一個(gè)都采用相同獨(dú)立的高斯分布N(0,)進(jìn)行隨機(jī)采樣
3. 對任一個(gè)都采用如下式相同獨(dú)立的分布進(jìn)行隨機(jī)采樣

除了上述的可能，現(xiàn)在也已經(jīng)證實(shí)任何一個(gè)sub-gaussian的分布，都可以成為一個(gè)很好的測量矩陣，也就是說具有很好的還原效果。

而上述矩陣之所以常被拿來使用，主要是因?yàn)榻砸呀?jīng)被驗(yàn)證具有高幾率性滿足有限等距性質(zhì)，也就是相干性非常低，因此使用此方式進(jìn)行信號取樣后，仍可確保在信號具有足夠稀疏性的前提下得到較佳的壓縮感知重建效果。

且當(dāng)使用上述矩陣時(shí)，只要信號x的非零數(shù)目成下列關(guān)系，可以確保信號被完美還原。

而C是一個(gè)根據(jù)不同情況而改變的常量。

但是在上述矩陣時(shí)，所需要的數(shù)據(jù)存儲量過于龐大——每個(gè)矩陣元素都要單獨(dú)記錄，且數(shù)據(jù)類型一般為浮點(diǎn)數(shù)——這就促進(jìn)了簡化取樣矩陣的研究；目前被提出的簡化取樣矩陣主要包括兩種：結(jié)構(gòu)簡化采樣矩陣與數(shù)值簡化采樣矩陣。

結(jié)構(gòu)簡化采樣矩陣[編輯]

目前較常被使用的兩種結(jié)構(gòu)簡化采樣矩陣為循環(huán)矩陣與常對角矩陣

循環(huán)矩陣的形式為下式：

常對角矩陣的形式為下式：

，

其中。

可以發(fā)現(xiàn)到，若采用循環(huán)矩陣作為測量矩陣的話，只需要訪問一列的矩陣元素；相反地，若使用常對角矩陣，除了第一列的矩陣元素外，需要額外存儲第一行的矩陣元素。

但是經(jīng)過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，常對角矩陣的相干性是低于循環(huán)矩陣的，因此用戶可以依據(jù)自己的使用環(huán)境，來找到一個(gè)平衡點(diǎn)。

采用這兩種矩陣進(jìn)行壓縮感知取樣時(shí)，可以大幅降低存儲成本，也為此算法的前端傳感器大幅降低實(shí)現(xiàn)門檻。

數(shù)值簡化采樣矩陣[編輯]

數(shù)值簡化采樣矩陣普遍將原有的、按照高斯分布隨機(jī)取值的采樣矩陣元素以數(shù)值上更為簡單的元素取代，但在分布上維持矩陣元素的分布隨機(jī)性——即縮減了儲存浮點(diǎn)數(shù)這一方面的成本。

一種較為基本的數(shù)值簡化采樣矩陣是0-1伯努利矩陣，其中的元素僅有0和1兩種，分布模式為相同獨(dú)立的伯努利分布（identical independent Bernoulli distribution）。

對于每一個(gè)矩陣元素，該分布的概率質(zhì)量函數(shù)為：

求解/重構(gòu)方法[編輯]

壓縮感知利用了很多信號中所存在的冗余（換言之，這些信號并非完全是噪聲）。具體而言，很多信號都是“稀疏”的；在適當(dāng)?shù)谋硎居蛑校鼈兊暮芏嘞禂?shù)都是等于或約等于零。

在信號獲取階段，壓縮感知在信號并不稀疏的域?qū)π盘栠M(jìn)行線性測量。

為了從線性測量中重構(gòu)出原來的信號，壓縮感知求解一個(gè)稱為L1-范數(shù)正則化的最小二乘問題。從理論上可以證明，在某些條件下，這個(gè)正則化最小二乘問題的解正是原欠定線性系統(tǒng)的稀疏解。

基追蹤[編輯]

基追蹤是一種信號重建算法，被廣泛地用于壓縮感知領(lǐng)域，屬于數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題的范疇，形式為。

其中s是n×1向量，表示輸出（信號），y是m×1的測量向量，H是m×n的“轉(zhuǎn)換矩陣”或稱作“測量矩陣”，其中M < N。

基追蹤常在需要完美滿足欠定線性方程組系統(tǒng)中時(shí)被應(yīng)用，且要求解在L₁基準(zhǔn)下為最稀疏的。

若應(yīng)用情景允許降低對完美恢復(fù)的要求，以換取更加稀疏的解s，降噪基追蹤更為適用。

匹配追蹤[編輯]

匹配追蹤是一種稀疏近似運(yùn)算，旨在找到多維數(shù)據(jù)在某個(gè)超完備字典（dictionary）上映射的“最佳匹配”。其基本的概念就是要用來自的函數(shù)組（稱為基元，或atom）的加權(quán)和來表示希爾伯特空間上的信號：

其中表示被選取基元的序數(shù)，是每個(gè)基元的加權(quán)常數(shù)。對于固定的字典，匹配追蹤會先找到與信號間內(nèi)積最大的一個(gè)基元，再減去該基元帶來的影響，然后重復(fù)找尋影響力次大的基元直到信號被較好地分解。

相較而言，以傅里葉級數(shù)表示的信號來說，字典是構(gòu)建于正弦基函數(shù)之上的。信號處理領(lǐng)域中傅里葉分析的主要缺點(diǎn)就在于它只能提取出信號中常存的特征，而不能適應(yīng)當(dāng)前的分析目標(biāo)信號。

若采用一組極端保險(xiǎn)、帶有大量冗余的字典，我們就能夠找到可以完美匹配信號的函數(shù)組。在對信號進(jìn)行編碼與壓縮時(shí)，最好是能夠找到一組映射，使加權(quán)和中的大部分系數(shù)都接近零（具有“稀疏性”）。

正交匹配追蹤[編輯]

正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit)是匹配追蹤的特殊形式，正交匹配追蹤的算法與匹配追蹤相同，但是正交匹配追蹤不會重復(fù)使用同一個(gè)基元來進(jìn)行匹配，因此會比匹配追蹤更快收斂。

迭代閾值算法[編輯]

迭代閾值算法(Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm)是上述基于貪心算法(Greedy Algorithm)之匹配追蹤與正交匹配追蹤的替代算法，迭代算法主要是透過不斷的投影和取閾值來進(jìn)行收斂，而他在每次迭代中，都還可以進(jìn)行其他優(yōu)化例如:Wigener 濾波，不僅可以降低運(yùn)算復(fù)雜度，也可以提高還原質(zhì)量。

正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit)[編輯]

正交匹配追蹤是一個(gè)用來解決壓縮感知問題的算法，在一定的復(fù)雜度之下有不錯(cuò)的表現(xiàn)，他背后最主要的想法是源自于貪心算法(Greedy Algorithm)，以下將逐步解說。

首先這個(gè)問題被定義為：y=Ax，目標(biāo)是要借由已知的y向量、A矩陣，來還原x向量，他會利用迭代的方式，逐步找出x向量當(dāng)中最有可能是非零的位置。

一開始會有一個(gè)空集合，以及剩余的部分，每次迭代都會從找出一個(gè)A矩陣投影到剩余有最大值的位置，把這個(gè)位置加到之中，并從當(dāng)中移除，最后再更新剩余。利用迭代的方式，不斷地找出x向量當(dāng)中最有可能非零的位置，直到達(dá)到算法停止條件。

• 

  正交匹配追蹤算法

在正交匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上，Needell等人提出了正則正交匹配追蹤（Regularized Orthogonal Matching Pursuit,ROMP）算法對于所有滿足約束等距性條件的矩陣和所有稀疏信號進(jìn)行重構(gòu)。之后，引入回溯思想的壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching Pursuit,CoSaMP）算法被提出。

在實(shí)際應(yīng)用中，稀疏信號非零元素個(gè)數(shù)K往往是未知的，而上述的匹配追蹤算法都是創(chuàng)建在稀疏度K已知的基礎(chǔ)上，因此出現(xiàn)了對K自適應(yīng)的稀疏自適應(yīng)匹配追蹤（Sparsity Adaptive Matching Pursuit,SAMP）算法，它通過固定步長來逐步逼近進(jìn)行重建，可以在稀疏度K未知的情況下獲得較好的重建效果。

迭代閾值算法(Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm)[編輯]

迭代閾值算法是從Relaxation Method啟發(fā)而來，Relaxation Method是用于解決具有稀疏性的線性系統(tǒng)。

在迭代閾值算法中，問題一樣是被定義為：

而在此算法中，每一次的迭代主要分成兩部分：1、查找新的解。2、更新殘值。 第一階段，主要是利用投影的方式找到更新的向量方向，再透過取閾值的方式來進(jìn)行優(yōu)化。

而是relaxation parameter，且。

而就是閾值函數(shù)(thresholding function)，主要就是為了使迭代的過程中，逐漸逼近具有稀疏性性質(zhì)的解，而目前主要有兩大類取閾值的方式：硬閾值函數(shù)(Hard Thresholding Function)與軟閾值函數(shù)(Soft Thresholding Function)。

硬閾值函數(shù)就是將小于閾值(thr)的解，一律通通過濾成0。

而軟閾值函數(shù)則是使用較為平滑的方式，將值逼近于稀疏性的解

，而是指示函數(shù)

而第二階段，則是利用新算出來的來進(jìn)行殘差更新。

之后一直等到規(guī)定的循環(huán)數(shù)抵達(dá)即完成還原。

而此算法是Landweber iteration的變形，若沒有加入閾值函數(shù)的話，就會收斂到。

稀疏性空間投影[編輯]

壓縮感知還原算法包括整個(gè)壓縮感知都是創(chuàng)建在信號有稀疏性上，但是并不是所有的信號都天然具有稀疏性，例:聲音。那么是否不具有稀疏性的信號就不能使用壓縮感知呢？答案為并不是，天然不具有稀疏性的信號還是能夠使用壓縮感知，只需要把該信號投影到其他空間，其他該信號有稀疏性的空間下，壓縮感知就可直接使用在該投影空間上?？梢员欢x如下：

s:要被重建的信號(原信號)；ψ:投影矩陣，把非稀疏性信號投影到稀疏性空間；z:非零項(xiàng)遠(yuǎn)小于零項(xiàng)

故原壓縮感知公式定義也隨之改變：

所以可以把視為原本壓縮感知公式里面的H，還原算法即可一樣使用。

至于的選擇對于不同信號來說有很多種，有離散余弦變換(DCT) ,離散小波變換(DWT)，字典學(xué)習(xí)(Dictionary Learning)等。

離散余弦變換和離散小波變換[編輯]

利用信號經(jīng)過這兩種變換后都會有稀疏性的特性，把這兩種變換變成矩陣形式，讓信號直接投影到具有稀疏性的空間上。

好處

1. 不需要特別針對信號做不同的選擇，對于絕大部分信號可以直接使用。
2. 并不需要前處理，可以直接使用。

壞處

1. 限制了原信號的維度，必須滿足n = ,x為任意正整數(shù)。
2. 因?yàn)橥ㄓ盟行盘?，故?jīng)過壓縮感知還原算法后還原的信號質(zhì)量較差。

字典學(xué)習(xí)[編輯]

顧名思義即把當(dāng)作一本要學(xué)習(xí)的字典，不斷的利用該信號和還原算法后的結(jié)果做字典的更新，直到找到一個(gè)能夠把該信號投影到稀疏性空間上。

字典學(xué)習(xí)的流程：

1. 設(shè)置字典學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(Iter)
2. 收集一定量(L筆)要學(xué)習(xí)的資料s,組成S = [s₁, s₂, ... ,s_L]
3. 固定，利用還原算法找出每一筆資料的z，組成Z = [z₁, z₂, ... ,z_L]
   • ||S - Z| s.t. ||z_i||₀ < K_th i
4. 固定Z， 利用3.所得之Z來更新字典
   • 當(dāng)Z固定時(shí)，定義誤差e_i = s_i - z_i，組成E = [e₁, e₂, ... ,e_L]
   • 所以整體的均方誤差為 ||E|= || [e₁, e₂, ... ,e_L] | = || S - Z|
   • 在Z固定下使得E最小，將得到關(guān)系式 (S - Z)Z^T = 0
   • => = SZ^T(ZZ^T)^-1
5. 檢查Z上面是否已經(jīng)有稀疏性，如有則結(jié)束學(xué)習(xí)；如沒有則回到3.直到達(dá)到學(xué)習(xí)的次數(shù)

字典學(xué)習(xí)的算法有很多，較為常用的有Method of optimal directions(MOD^[1])。

好處

1. 因?yàn)獒槍υ摲N類信號做學(xué)習(xí)，故還原后的質(zhì)量較好。
2. 對原信號的維度并沒有任何限制。

壞處

1. 需要事前收集該種類的信號做學(xué)習(xí)，不能未學(xué)習(xí)直接使用。
2. 因?yàn)獒槍υ摲N類信號做學(xué)習(xí)，故直接使用在不同種類信號效果較差/不適用。

相關(guān)應(yīng)用[編輯]

壓縮感知與包括欠定系統(tǒng)、群驗(yàn)、稀疏編碼、復(fù)用、稀疏采樣等。在成像科技領(lǐng)域，亦有許多技術(shù)如（編碼孔與計(jì)算攝影學(xué)）與壓縮感知相關(guān)。亦有許多在不同技術(shù)完成度下將壓縮感知實(shí)現(xiàn)的案例。

攝影學(xué)[編輯]

壓縮感知技術(shù)被用于手機(jī)攝像頭傳感器設(shè)計(jì)中。這一技術(shù)使得在獲取圖像時(shí)所耗費(fèi)的能量大大降低，可達(dá)原先耗費(fèi)的15分之一——當(dāng)然，需要引入復(fù)雜的解壓算法；這一運(yùn)算可能會需要脫機(jī)狀態(tài)下的預(yù)先安裝、設(shè)置。

壓縮感知亦被用于實(shí)現(xiàn)單像素?cái)z影。貝爾實(shí)驗(yàn)室運(yùn)用了這一技術(shù)，用無鏡片單像素相機(jī)在柵格中隨機(jī)選取的孔隙處拍照，以達(dá)到成像效果。隨著拍照次數(shù)的逐漸增多，照片質(zhì)量也會逐步提高；一般來說，這種技術(shù)較之傳統(tǒng)的攝影成像技術(shù)僅僅需要一小部分的數(shù)據(jù)占用量，且能完全避免與鏡片或聚焦相關(guān)的故障或失常；參見[1] （頁面存檔備份，存于互聯(lián)網(wǎng)檔案館） 。

全息成像[編輯]

壓縮感知可被用于增加通過單幅全息圖中所能得到的立體像素的數(shù)量改進(jìn)全息攝影技術(shù)中的圖像重建問題。在光學(xué)全息圖或毫米波全息圖采樣率不足的情況下，這一技術(shù)也能夠被用于圖像檢索以作出改善。

面部識別[編輯]

壓縮感知目前被用于面部識別應(yīng)用之中，參見Engineers Test Highly Accurate Face Recognition （頁面存檔備份，存于互聯(lián)網(wǎng)檔案館）。

核磁共振成像[編輯]

壓縮感知也被應(yīng)用在醫(yī)療影像上，特別是核磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging, MRI)，具有稀疏的特性，因此能使用壓縮感知的技術(shù)。在過去核磁共振成像會因?yàn)槲锢韺W(xué)、生理學(xué)上的限制，而有掃描時(shí)間較長的問題，如今壓縮感知利用核磁共振成像具有的稀疏特性，來改善成像質(zhì)量以及降低所需要量測數(shù)量，能有效縮短核磁共振的掃描時(shí)間，近期相關(guān)的壓縮感知算法也被廣為討論，可以參見[2] （頁面存檔備份，存于互聯(lián)網(wǎng)檔案館） 、[3] （頁面存檔備份，存于互聯(lián)網(wǎng)檔案館） 與[4] （頁面存檔備份，存于互聯(lián)網(wǎng)檔案館），其中涉及的重建方法包括ISTA、FISTA、SISTA等。

地震成像[編輯]

一般來說地震成像既不稀疏，也不可壓縮，具有高維度、大面積的特性，因此會耗費(fèi)大量的量測以及運(yùn)算時(shí)間，所以希望能降低取樣的次數(shù)，同時(shí)能保有原本的質(zhì)量。因此有人利用壓縮感知技術(shù)將取樣以及編碼同時(shí)進(jìn)行，來達(dá)到降低維度的目的，最后再透過壓縮感知的還原算法進(jìn)行還原，可以參考^[2]。

模擬信息轉(zhuǎn)換(Analog-to-Information Converter, AIC)[編輯]

在通信系統(tǒng)當(dāng)中會遇到高帶寬的問題，因此會需要較高的采樣率，然而其中的信號可能含有的信息是遠(yuǎn)小于帶寬的，因此就會浪費(fèi)軟、硬件的資源來進(jìn)行取樣。所以有人提出用模擬信息轉(zhuǎn)換(Analog-to-Information Converter, AIC)取代模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換(Analog-to-Digital Converter, ADC)，利用隨機(jī)解調(diào)(Random Demodulation)的方式，來降低所需要的取樣次數(shù)，對于在時(shí)頻上有稀疏特性、寬帶的信號特別適合，可以參考^[3]。

網(wǎng)絡(luò)診斷[編輯]

壓縮感知在被用于旨在利于網(wǎng)絡(luò)管理的網(wǎng)絡(luò)診斷應(yīng)用中時(shí)帶來了極佳成效。對網(wǎng)絡(luò)延時(shí)的估計(jì)和網(wǎng)絡(luò)擁塞的探知均可被歸納、建模為非定性的線性方程組系統(tǒng)，其中的參數(shù)矩陣正是所分析網(wǎng)絡(luò)的路由選擇矩陣。此外，在互聯(lián)網(wǎng)情景中，網(wǎng)絡(luò)路由矩陣常常能夠滿足壓縮感知技術(shù)所要求的幾個(gè)基本要素：低相關(guān)性、稀疏性及（可能的）R.I.P條件，請參見[5] （頁面存檔備份，存于互聯(lián)網(wǎng)檔案館） 。

短紅外攝影[編輯]

目前，基于壓縮感知技術(shù)的商用短紅外相機(jī)已被推出[6] （頁面存檔備份，存于互聯(lián)網(wǎng)檔案館） 。這些相機(jī)的光敏度大約從0.9μm到1.7μm，在上述波段上，人類的肉眼是無效的。

通信通道估測[編輯]

隨著通信要求的帶寬越來越大，因此可用的頻帶從微波(Microwave)轉(zhuǎn)到毫米波(mmWave)的頻段，雖然可用的帶寬增加，然而會受到更嚴(yán)重的通道衰減，所以波束成型的技術(shù)被提出，結(jié)合天線數(shù)組來對抗通道衰減的效應(yīng)。然而大量的天線數(shù)組會使得做通道估測的復(fù)雜度上升，傳統(tǒng)的做法是使用最小平方法(Least Square, LS)來進(jìn)行通道估測，不過有人發(fā)現(xiàn)通道具有稀疏的特性，因此提出了利用壓縮感知的技術(shù)，進(jìn)行壓縮通道估測(Compressed Channel Estimation, CCS)，相較最小平方法，不僅復(fù)雜度降低，還能達(dá)到更低的錯(cuò)誤率以及延遲性。

信號源定位[編輯]

利用壓縮感知理論可以恢復(fù)出稀疏信號的特性，壓縮感知理論被廣泛應(yīng)用于波達(dá)方向估計(jì)(Direction of Arrival,DOA)中。基于壓縮感知的波達(dá)方向估計(jì)中將信號源矩陣看作是一個(gè)稀疏矩陣，在已知采樣矩陣和陣列流形矩陣為前提下，對稀疏信號源矩陣進(jìn)行重構(gòu)以獲得被測量信號源的波達(dá)方向。使用這種方法，不僅避免了傳統(tǒng)波達(dá)方向估計(jì)中需要計(jì)算復(fù)雜協(xié)方差矩陣的步驟，同時(shí)還對空間中的相干信號源有著很好的性能。

物聯(lián)網(wǎng)[編輯]

在物聯(lián)網(wǎng)的情境之下，設(shè)備的數(shù)量會大幅增加，然而因?yàn)橘Y源有限，所以用來辨別設(shè)備的展頻碼(m)會少于設(shè)備的數(shù)量(n)，因此會使得整個(gè)系統(tǒng)變成欠定的線性系統(tǒng)，然而這些設(shè)備大部分的時(shí)候都是處于休息、監(jiān)測的狀態(tài)，并不會一直發(fā)送消息給基地臺，因此就有了稀疏的性質(zhì)，利用壓縮感知的技術(shù)就能分辨出處于活動(dòng)狀態(tài)的設(shè)備，并解出其所發(fā)送的信號。

加密[編輯]

壓縮感知算法天生就具有加密的性質(zhì)，因?yàn)橐亟ㄔ拘盘柕脑?，必須要知道采樣矩陣才能進(jìn)重建。因此現(xiàn)今也有許多加密的研究關(guān)注于壓縮感知算法，因?yàn)樘摂M隨機(jī)數(shù)傳感矩陣(Pseudo-random Sensing Matrix)可以被視為一組加密后的鑰匙，能對信號進(jìn)行壓縮并同時(shí)加密，而不需要額外的運(yùn)算，可以參考^[4]。

參考資料[編輯]

• Candès, E.J., & Wakin, M.B., An Introduction To Compressive Sampling, IEEE Signal Processing Magazine, V.21, March 2008
• J. Choi et al., "Compressive Sensing for Wireless Communications: Useful Tips and Tricks", IEEE Commun. Survey and Tutorials.
• C. Bockelmann, H. F. Schepker, and A. Dekorsy, "Compressive sensing based multi‐user detection for machine‐to‐machine communication," Transactions on Emerging Telecommunications Technologies, vol. 24, no. 4, pp. 389-400, 2013.
• F. Monsees, C. Bockelmann, D. Wubben, and A. Dekorsy, "Sparsity aware multiuser detection for machine to machine communication," 2012 IEEE Globecom Workshops, Anaheim, CA, 2012, pp. 3-7.
• Shen Q, Liu W, Cui W, et al. "Underdetermined DOA Estimation Under the Compressive Sensing Framework: A Review". IEEE Access, 2016: 8865-8878.
• Jian-Jiun Ding, “Time Frequency Analysis and Wavelet Transforms ”, NTU, 2021.

外部鏈接[編輯]

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• Using Math to Turn Lo-Res Datasets Into Hi-Res Samples （頁面存檔備份，存于互聯(lián)網(wǎng)檔案館） Wired Magazine article
• Compressive Sensing Resources at Rice University.
• Compressed Sensing Makes Every Pixel Count （頁面存檔備份，存于互聯(lián)網(wǎng)檔案館） – article in the AMS What's Happening in the Mathematical Sciences series
• Wiki on sparse reconstruction. [2014-06-24]. （原始內(nèi)容存檔于2015-05-04）.

1. ^ Engan, K.; Aase, S.O.; Hakon Husoy, J. Method of optimal directions for frame design. 1999 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. Proceedings. ICASSP99 (Cat. No.99CH36258) (IEEE). 1999. ISBN 0780350413. doi:10.1109/icassp.1999.760624.
2. ^ Hennenfent, Gilles; Herrmann, Felix J. Simply denoise: Wavefield reconstruction via jittered undersampling. GEOPHYSICS: V19–V28. [2017-12-16]. doi:10.1190/1.2841038. （原始內(nèi)容存檔于2018-06-09）.
3. ^ Laska, J. N.; Kirolos, S.; Duarte, M. F.; Ragheb, T. S.; Baraniuk, R. G.; Massoud, Y. Theory and Implementation of an Analog-to-Information Converter using Random Demodulation. 2007 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. May 2007: 1959–1962. doi:10.1109/ISCAS.2007.378360.
4. ^ Orsdemir, A.; Altun, H. O.; Sharma, G.; Bocko, M. F. On the security and robustness of encryption via compressed sensing. MILCOM 2008 - 2008 IEEE Military Communications Conference. November 2008: 1–7 [2017-12-16]. doi:10.1109/MILCOM.2008.4753187. （原始內(nèi)容存檔于2021-02-24）.