實數(shù)除了常見的整數(shù)、分數(shù)，還有無理數(shù)。除了數(shù)學家，一般人對實數(shù)（尤其是無理數(shù)）的了解實在有限得很。即便是數(shù)學家也要到十九世紀后半，才完全弄清楚實數(shù)到底是什么，那么，在此之前，人類怎樣摸索實數(shù)的意義呢？

在中國，很早就能應用分數(shù)與小數(shù)，遇有根號。就用開方法，求得近似值。中國的數(shù)學以應用為主，關心的是怎樣求得近似值，從來也不問 2 的平方根到底是什么，更不用說會問：除了有根號的數(shù)外還有什么樣的數(shù)？

巴比倫人也講求實用，他們心目中的數(shù)就是六十進位的整數(shù)及有限小數(shù)。古埃及人就有點不一樣，他們不懂得小數(shù)，而分數(shù)都要化成分子為 1（分母各不同）的小數(shù)之和才能計算（如下）。

可想而知，這種算法非常笨拙，無疑地妨礙了埃及數(shù)學的進展。當然，這種埃及分數(shù)是很有趣的數(shù)學題材，但不是本文討論的要點[注1]。

[注1]：參閱韓良信〈埃及分數(shù)〉一文，刊登在《數(shù)學傳播》第四卷第三期。

古希臘的數(shù)學掌握在哲學家手中，注重的是理論，根本瞧不起實際的計算。他們對數(shù)的看法持原子論，認為宇宙的一切事物都可以用自然數(shù)或兩自然數(shù)之比來了解?？墒撬麄儾⒉话驯犬斪鰯?shù)來看待（只有商業(yè)計算才用分數(shù)，但那不是數(shù)學家的事），因此所謂「數(shù)」就是自然數(shù)。

「等腰直角三角形斜邊與一股之比（）不是自然數(shù)之比」，這件事的出現(xiàn)使原子論陷于困境。歐多克索斯(Eudoxus，408-355B.C)于是創(chuàng)比例論，用幾何方法處理同類兩幾何量之比，暫時使希臘的數(shù)學基礎脫離此困境[注2]。由于比例論的成就，使得幾何學成為希臘數(shù)學的主流，代數(shù)問題幾乎全用幾何方法來處理。另一方面，比例論雖然解決了一些無理比的問題，但它都還是不把量比當做數(shù)，使得算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到阻礙，這是古希臘數(shù)學的最大缺陷之一。

[注2]：參閱《科月》七十年五月號本欄。

由于代數(shù)的問題用幾何方法處理，也由于古希臘的幾何學限于直尺與圓規(guī)，所以古希臘所能處理的數(shù)，就是尺規(guī)所能做出的「數(shù)」，也就是尺規(guī)所能做出的長度（與單位長度相比的比值），透過這種幾何方式，希臘人試圖了解由整數(shù)經(jīng)四則運算及開方運算所得的「可做數(shù)」[注3]。

[注3]：參閱《科月》六十七年五月號〈三等分任意角可能嗎？〉一文。

古希臘的幾何三大難題，倍立方、圓化方及三分角，其實就是想要造出 、 及某類三次方程的根這些數(shù)。希臘人萬沒想到他們的幾何方法有時而盡，居然這些數(shù)是用尺規(guī)造不成的。希臘人看不出尺規(guī)作圖和四則運算或開方之間會有什么關系，這種代數(shù)問題只有等到代數(shù)成熟之后的十九世紀才得解決[注4]。

[注4]：同注3。

亞歷山大時期的希臘數(shù)學學風漸有改變。天文、三角采用小數(shù)計算，實用問題不再完全摒棄，小數(shù)、分數(shù)才納入數(shù)的系統(tǒng)。我們把分數(shù)又叫做有理數(shù)(rational number)，其實 rational 源出 ratio，應該譯成比數(shù)才對，才合乎原來的意思。至于 irrational 當然是非比數(shù)，譯成無理數(shù)真是無理之至。但約定俗成，我們還是接受通用的譯名。此期，阿基米德、海倫、托勒密等人，用了很多分數(shù)做為平方根的近似值，另一方面，帶根號的「量」偶而也看做純粹的數(shù)來處理，但絕不像幾何那樣有嚴格的邏輯基礎。印度人和阿拉伯人更進一步，他們不但把帶根號的量當做數(shù)，而且這些數(shù)之間也可以做代數(shù)式的運算。他們不像希臘人那樣哲學心重，計算的需要使他們只重算，而未觸及無理數(shù)的邏輯問題。

西元 1500 年以后的歐洲，無理數(shù)的使用更加自由。譬如邁克爾·斯蒂菲爾（Stifel，1486 ～ 1567 年）研究 型的無理數(shù)；弗朗索瓦·韋達（Vieta，1540 ～ 1603 年）考慮圓內(nèi)接正 邊形，而得[注5]

雖然有些歐洲數(shù)學家把無理數(shù)當做數(shù)，但受到希臘幾何學的影響，許多數(shù)學家如帕斯卡（1623 ～ 1662 年）、艾薩克·巴羅（1630 ～ 1677 年）、牛頓（1642 ～ 1727 年）等都認為： 若脫離幾何就沒有意義，所以只有 這種量比，沒有 這種數(shù)。這種對無理數(shù)之不安，可用邁克爾·斯蒂菲爾的話做代表注 6：

[注6]：出自斯蒂菲爾所著《Arithmetica Integra》（1554年）。

「在證明幾何圖形時，有時候有理數(shù)不管用，而無理數(shù)取而代之，居然很管用。這使我們不得不承認無理數(shù)確實是數(shù)?？墒瞧渌睦碛蓞s使我們不得不放棄這種想法。亦即，當我們用小數(shù)表示無理數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)小數(shù)沒有個結(jié)尾。既然它是那么不確定，它就不是真正的數(shù)。因此，就像無窮大不是一個數(shù)，無理數(shù)也不是真正的數(shù)，它躲藏在一種無窮的云霧里。」 [注7]

[注7]：無理數(shù)為無窮小數(shù)，小數(shù)位數(shù)寫得再多，還是有「……」，所以覺得不確定，覺得在無窮的云霧里。

雖然如此，由于三角的需要、對數(shù)的發(fā)展等，使得數(shù)學家漸漸接納無理數(shù)為數(shù)，且使用無窮小數(shù)、無窮連分數(shù)、無窮數(shù)列、無窮乘積、無窮級數(shù)等方法來逼近無理數(shù)。十七、十八世紀，由于微積分的出現(xiàn)，使大家亟亟于應用這個犀利的新工具，而少做理論性的討論，只有十八世紀少數(shù)幾個數(shù)學家在無理數(shù)的理論探討方面有些小突破。

1737 年，歐拉將自然對數(shù)的底數(shù) 用連分數(shù)展開，發(fā)現(xiàn)它是個無窮連分數(shù)，因此證得 是無理數(shù)（他同時也證明 是無理數(shù)）[注8] 。約翰·海因里?！だ什↗H Lambert，1728 ～ 1777 年）也用連分數(shù)的方法證明下面的重要結(jié)果：若 是不為 0 的有理數(shù)，則 、 都是無理數(shù)。根據(jù)這個結(jié)果，既然 不是無理數(shù)，那么 ，因此 ，不能是有理數(shù)。

[注8]：有理數(shù)用連分數(shù)表示時，一定是有限連分數(shù)。

勒讓德（1752 ～ 1833 年）更猜測說： 不但不是有理數(shù)，不是帶根號的無理數(shù)，而且也不是任何整系數(shù)多項式方程式的根。滿足一個整系數(shù)多項式方程式的數(shù)稱為代數(shù)數(shù)，否則稱為超越數(shù) ── 超越了代數(shù)的方法。代數(shù)數(shù)（如整數(shù)、有理數(shù)、可做數(shù)都是）和超越數(shù)的區(qū)分，是十八世紀研究無理數(shù)在觀念上的小突破，可是終此世紀，數(shù)學家沒法找出一個超越數(shù)來。

大致說來，在十九世紀以前，無理數(shù)是位無法理解的數(shù)。