【試題1】如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BD交CE于點(diǎn)F．

（1）如圖2，當(dāng)α＝45°時(shí)，求證：CF＝EF；

（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

①問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；

②連接CD，當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，求tanα/2的值．

【圖文解析】

（1）僅舉一種解法：

（2）典型的等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，常有多種“旋轉(zhuǎn)”法求解（本質(zhì)類(lèi)似）：

從已知條件，結(jié)合圖形可以得到的結(jié)論：

①結(jié)論仍然成立．證明如下：

【法一】過(guò)點(diǎn)E作EM∥BC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，如下圖示：

先證∠M＝∠CBD＝∠EDM，得EM＝DE＝BC，再證△BCF≌△MEF，得CF＝EF．

【法二】如下圖所示：

【法三】過(guò)C點(diǎn)作CM∥BF將ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，連接CM．如下圖示：

【法四】過(guò)C點(diǎn)作CG⊥CF交BF于G．如下圖示（其中∠CFG＝45°前面已證）

【法五】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥DF交CF于點(diǎn)G，如下圖示：

進(jìn)一步，得∠AFE＝∠ADE＝90°．如下圖示：

最后利用等腰三角形△ACE“三線(xiàn)合一”，得到CF＝EF．

【法六】過(guò)E點(diǎn)作EG⊥CE交BF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，如下圖示：

【法七】過(guò)B點(diǎn)作BG⊥BF交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，如下圖示：

得到∠AFB＝∠G＝45°，進(jìn)一步得到∠AFB＝90°，即AF⊥CE，再根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”得到CF＝EF．

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【法八】過(guò)C點(diǎn)作CG⊥BF于G，如下圖示，

不難證得CF：CG＝CA：CB＝√2：1．

進(jìn)一步，得△BCG∽ACF，如下圖示：

從而∠AFC＝∠BGC＝90°，下同……

【法九】由∠CFB＝∠CAB＝45°，利用“統(tǒng)一法”或“反證法”證明：A、B、C、F四點(diǎn)共圓，得到AC為其直徑，得到∠AFC＝90°，進(jìn)一步……（此法不建議）

【法十】添加如下圖所示的輔助線(xiàn)．

同時(shí)，通過(guò)證明B、G、C、H四點(diǎn)共圓，可得∠GCB＝∠GHB．

另一方面，BF：BG＝AB：BH＝√2：1，且∠GBH＝∠FBA＝45°+∠FBH，得到△GBH∽△FBA，得到∠GHB＝∠BAF．

從而∠BAF＝∠GCB，進(jìn)一步，得∠BAF+∠BCF＝180°．又在四邊形ABCF中，∠ABC＝90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，得∠AFC＝90°，即AF⊥CF．……

【原題再現(xiàn)】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BD交CE于點(diǎn)F．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

②連接CD，當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，求tanα/2的值．

【圖文解析】可以充分利用第二小題的相關(guān)思路和解法，進(jìn)一步求解第三小題（本文僅提供一種解法）。

前面已經(jīng)得到的結(jié)論：

當(dāng)∠CDF＝90°時(shí)，如下圖示：

所以tanα/2＝1/2．

當(dāng)∠CDF＝90°時(shí)，如下圖示：

【反思】上述第二問(wèn)的多種解法，多數(shù)是充分利用45°的角的“特殊功能”，本質(zhì)類(lèi)似于旋轉(zhuǎn)，顯然本題還可以利用其他相關(guān)條件通過(guò)對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)等構(gòu)造等腰直角三角形，也可以利用輔助圓等，大同小異，有興趣的朋友不妨試試，并請(qǐng)留言分享。 

 

第二問(wèn)