?撰文 | 陳昊（普林斯頓大學(xué)電氣與計(jì)算機(jī)工程系 物理系）、沙威（浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院）、戴希（香港科技大學(xué)物理系）

來(lái)源 |本文選自《物理》2022年第6期

近期關(guān)于電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)的大討論仍在繼續(xù)，主要的關(guān)注點(diǎn)從之前的運(yùn)動(dòng)介質(zhì)電動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)移到了對(duì)電磁感應(yīng)現(xiàn)象的深入剖析。通過(guò)討論，筆者發(fā)現(xiàn)一些同學(xué)甚至是專(zhuān)業(yè)的科技工作者對(duì)于如感生/動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、感生 (渦旋) 電場(chǎng)、非靜電力、電勢(shì)差等概念存在誤解和混淆。經(jīng)過(guò)初步調(diào)研后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致這一問(wèn)題的原因是由于普通高中教育階段可以使用的數(shù)學(xué)工具有限，新課標(biāo)高中物理對(duì)于電磁感應(yīng)現(xiàn)象的討論規(guī)避了一些技術(shù)細(xì)節(jié)，而一些大學(xué)工科中文電磁學(xué)教程里關(guān)于這一段的論述又存在錯(cuò)誤的表述和公式。為了幫助讀者朋友理清相關(guān)概念，筆者決定以此內(nèi)容作為“漫話麥克斯韋方程組”專(zhuān)題的第二篇文章。

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們先探討最簡(jiǎn)單的“穩(wěn)恒電流”，即電路中的電流不隨時(shí)間變化的情況。從物理機(jī)制上來(lái)講，導(dǎo)體中的電流如何流動(dòng)的規(guī)律被總結(jié)為“微觀形式的歐姆定律”：導(dǎo)體中的電

常見(jiàn)的非靜電力有化學(xué)電源中的化學(xué)作用，發(fā)電機(jī)中的磁力，濃度不均的體系中的擴(kuò)散作用，溫差電效應(yīng)等等，它們都可以嚴(yán)格或近似地用單位電荷所受到的力來(lái)描述，如：

(1) 磁力：f=u×B，其中u是導(dǎo)體在磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)的速度；

(2) 溫差電 (Seebeck效應(yīng))：f= -S?T，其中S是Seebeck系數(shù)，T是溫度。

在這里，我們要澄清一個(gè)比較容易被誤解的點(diǎn)：一些同學(xué)學(xué)習(xí)到電流和電路這一章節(jié)的時(shí)候，將其與之前所學(xué)的靜電場(chǎng)的內(nèi)容完全割裂開(kāi)了。通過(guò)上述的歐姆定律，我們清晰地看到：在電路中驅(qū)動(dòng)電荷做定向流動(dòng)的是靜電場(chǎng)E與單位電荷所受的非靜電力f這兩者；而在一般的電路中，非靜電力僅在電源內(nèi)部(內(nèi)電路)存在。因此在整個(gè)外電路中，驅(qū)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)的只是靜電場(chǎng)本身。這個(gè)靜電場(chǎng)是哪里來(lái)的呢？答案其實(shí)非常有意思，它與我們?cè)诔踔械谝淮螌W(xué)習(xí)電路時(shí)就知道的一個(gè)事實(shí)“穩(wěn)恒電路中同一根導(dǎo)線中的電流處處相等”息息相關(guān)。設(shè)

荷守恒，會(huì)有正電荷在圖中拐角處積累。這樣一來(lái)，累積起來(lái)的正電荷就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)方向向外的電場(chǎng)，累積的越多則電場(chǎng)越強(qiáng)。從圖中可以看出，這個(gè)電場(chǎng)在流入電路的部分與電流方向相反，減小了單位電荷所受的合力，而在流出電流的部分與電流方向相同，增大了單位電荷所受的合力。根據(jù)上述的歐姆定律，我們立即知道隨著電荷的累積，流入的電流會(huì)逐步減小而流出的電流會(huì)逐步變大，直到二者相等，則電荷不再累積，電流也不再變化，電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。在實(shí)際的電路中，靜電場(chǎng)幾乎無(wú)處不在，其來(lái)自于在電路中積累的電荷，反饋式地調(diào)節(jié)著電路中各個(gè)部分的電流大小。

圖1 一段電路(下文的論證與電路的形狀無(wú)關(guān)，畫(huà)出一個(gè)“拐角”只是為了可以指代清楚)(圖片來(lái)源：格里菲斯《電動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論》)

細(xì)心的讀者可能注意到前文提到了“穩(wěn)恒電路”的條件，事實(shí)上，即使是在交變電流的情況下，只要電路中的電流變化不是很快 (交流電路的(角)頻率ω足夠低：ωc/L，其中c是光速，L是電路的長(zhǎng)度尺度) ，則在電流發(fā)生改變時(shí)，電荷重新分布的速度都遠(yuǎn)比它快得多。因此在任意時(shí)刻，交變電路都可以看成是一個(gè)“瞬時(shí)的穩(wěn)恒電路”，上面的所有論述仍然是成立的 (電流密度的散度處處為0) 。這其實(shí)也是“電路”這一模型的適用極限：如果頻率過(guò)高，則不能再用電路中諸如“電壓”、“電阻”、“電容”等概念進(jìn)行分析，而要使用完整的電磁場(chǎng)理論，將電路看成電磁介質(zhì)，仔細(xì)討論電荷和電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，這樣的“電路”就成為波導(dǎo)了。我們可以把這種電流變化足夠緩慢的情況稱之為“近穩(wěn)恒電路”，它實(shí)際上就是筆者在“漫話麥克斯韋方程組”專(zhuān)題的第一篇文章中提到的“準(zhǔn)靜態(tài)近似”的情況(例如電容器是“電學(xué)準(zhǔn)靜態(tài)近似”，電感器是“磁學(xué)準(zhǔn)靜態(tài)近似”，而電阻器既可以看作是電學(xué)也可以看作是磁學(xué)準(zhǔn)靜態(tài)近似)，在此不再贅述，有興趣的讀者可以參考2022年三月刊的《物理》雜志[1]或“中國(guó)物理學(xué)會(huì)期刊網(wǎng)”微信公眾號(hào)。不過(guò)需要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是：在電流可以隨時(shí)間改變的一般情形下，本節(jié)中提到的由電荷積累產(chǎn)生的“靜電場(chǎng)”應(yīng)改稱之為“縱向電場(chǎng)”，其對(duì)電荷產(chǎn)生的作用力就是“靜電力”。

在上一節(jié)，我們通過(guò)微觀形式的歐姆定律明白了電荷在電路中穩(wěn)定流動(dòng)形成電流的物理原因——非靜電力和縱向電場(chǎng)產(chǎn)生的靜電力。不過(guò)這一規(guī)律在實(shí)際問(wèn)題中非常難以應(yīng)用，因?yàn)殡娐分械目v向電場(chǎng)是電路中的電荷自行分布達(dá)到平衡從而形成的，既不受我們的控制，也無(wú)法簡(jiǎn)單地測(cè)量出來(lái)。為了得到更有實(shí)用價(jià)值的物理規(guī)律，物理學(xué)家將上述表達(dá)式乘上

圖2 放大了電源結(jié)構(gòu)的電路模式圖

近期，筆者通過(guò)一些機(jī)會(huì)與學(xué)校里的本科生交流后發(fā)現(xiàn)他們中有不少人混淆了電動(dòng)勢(shì)與電勢(shì)差的概念。經(jīng)過(guò)深入仔細(xì)的思考和討論，筆者認(rèn)為問(wèn)題的根源是“電源開(kāi)路電壓與其電動(dòng)勢(shì)相等”這一事實(shí)。由于沒(méi)有對(duì)這一事實(shí)的微觀機(jī)制的充分認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致不少同學(xué)認(rèn)為電源的開(kāi)路電壓“就是”電源的電動(dòng)勢(shì)。其實(shí)，只要對(duì)我們本節(jié)和上一節(jié)中提到的內(nèi)容有了正確的理解，就不難對(duì)這兩個(gè)概念進(jìn)行辨析。圖2是一個(gè)模式化的電路，電路的左側(cè)是電源，在外電路沒(méi)有接入時(shí)，其內(nèi)部產(chǎn)生非靜電力將正電荷向其上端的正極移動(dòng) (同時(shí)將負(fù)電荷向其下端的負(fù)極移動(dòng))，從而在電源正極積累一些正電荷，在負(fù)極積累一些負(fù)電荷。這種不均衡的正負(fù)電荷分布會(huì)產(chǎn)生一個(gè)由正極指向負(fù)極的電場(chǎng)，對(duì)正電荷產(chǎn)生向負(fù)極方向的靜電力，對(duì)負(fù)電荷產(chǎn)生向正極方向的靜電力，阻礙非靜電力導(dǎo)致的流動(dòng)。隨著電荷的累積越來(lái)越多，縱向電場(chǎng)也越來(lái)越強(qiáng)，直到縱向電場(chǎng)力 (靜電力) 與非靜電力在電源內(nèi)部處處平衡：E f=0，則電荷不再流動(dòng)并積累，體系達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。這時(shí)，正極積累的正電荷和負(fù)極累積的負(fù)電荷構(gòu)成的電場(chǎng)使得正負(fù)極之間產(chǎn)生了電勢(shì)差V -，其滿足：

注意計(jì)算電源電動(dòng)勢(shì)時(shí)應(yīng)該沿著單位正電荷受到的非靜電力的方向從負(fù)極到正極積分 (即非靜電力將正電荷從負(fù)極帶到正極克服靜電力所做的正功)，所以E前面出現(xiàn)的負(fù)號(hào)是由于我們的積分方向是從正極到負(fù)極。由此可見(jiàn)開(kāi)路情況下正負(fù)極之間的電勢(shì)差正好等于電源的電動(dòng)勢(shì)。

為了展示電動(dòng)勢(shì)的具體計(jì)算，也為了稍后展開(kāi)有關(guān)電磁感應(yīng)現(xiàn)象的討論，下面針對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子計(jì)算并討論導(dǎo)體切割磁感線的過(guò)程中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)。假設(shè)在強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒放置在垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)。我們知道，如果此時(shí)令導(dǎo)體棒沿著垂直于自身和磁場(chǎng)的方向以速度u運(yùn)動(dòng)，則由于其做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)會(huì)對(duì)導(dǎo)體棒內(nèi)部的電荷產(chǎn)生磁力作用。由于磁力也是一種非靜電力，則導(dǎo)體棒成為了一個(gè)電源，有了電動(dòng)勢(shì)。如何計(jì)算這個(gè)電動(dòng)勢(shì)的大小呢？根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義：

這種導(dǎo)體切割磁感線時(shí)由磁力導(dǎo)致的電動(dòng)勢(shì)被稱為“動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)”。這里要注意一點(diǎn)，跟我們接下來(lái)要介紹的“感生電動(dòng)勢(shì)”不同，“動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)”絕不對(duì)應(yīng)什么“動(dòng)生電場(chǎng)”的概念，更不是什么“動(dòng)生電場(chǎng)”沿著電路的積分了。

靜電力沿著電路方向的分量，而不是整個(gè)非靜電力。其次，這個(gè)積分是一個(gè)“等時(shí)積分”，意思是我們并不關(guān)注導(dǎo)體棒內(nèi)的電荷實(shí)際上是怎么在非靜電力的作用下從導(dǎo)體棒一端經(jīng)過(guò)一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)到另一端的，而是在我們所要研究的時(shí)刻給系統(tǒng)拍一張快照，在照片拍攝的這一時(shí)刻，計(jì)算一單位電荷在導(dǎo)體棒內(nèi)各個(gè)位置所受的非靜電力f(x)，以此作為定義式中的f進(jìn)行積分，得到電動(dòng)勢(shì)。經(jīng)過(guò)這一辨析，筆者發(fā)現(xiàn)將電動(dòng)勢(shì)描述為“非靜電力對(duì)單位電荷做的功”實(shí)際上容易產(chǎn)生歧義，因?yàn)樵陔娐分杏须S時(shí)間變化的部分時(shí)電動(dòng)勢(shì)并不是非靜電力對(duì)任何實(shí)際運(yùn)動(dòng)的電荷所做的功。為消除這一歧義，最好將電動(dòng)勢(shì)描述為“非靜電力沿電路分量的等時(shí)線積分”。(讀過(guò)“漫話麥克斯韋方程組”第一篇文章[1]的讀者可能已經(jīng)敏銳地察覺(jué)到，由于相對(duì)論效應(yīng)，這里可能存在“等時(shí)”在不同參考系下不一致的問(wèn)題，請(qǐng)不要著急，筆者會(huì)在本文倒數(shù)第二節(jié)通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的示例展示電磁學(xué)理論與相對(duì)論在這里是如何相符的。)

再進(jìn)一步，如果我們給這個(gè)“導(dǎo)體棒電源”接上一個(gè)外電路，則電流會(huì)沿著單位正電荷所受非靜電力的方向從導(dǎo)體棒的一端流向另一端。此時(shí)，在實(shí)驗(yàn)室參考系看來(lái)：電荷并不是沿著導(dǎo)體棒的方向運(yùn)動(dòng)的，而是與之有一個(gè)夾角，可以分解成沿導(dǎo)體棒和垂直于導(dǎo)體棒兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)。由于磁力本身不做功，功率為0(磁力點(diǎn)乘合速度=0)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)，磁力沿導(dǎo)體棒的分量對(duì)電荷做功功率為正，而磁力垂直于導(dǎo)體棒的分量對(duì)電荷做功功率為負(fù)，兩者絕對(duì)值相等，正好相抵。如果我們就這樣放任不管，則磁力垂直于導(dǎo)體棒的分量 (實(shí)際上就是導(dǎo)體棒受到的安培力) 將阻礙導(dǎo)體棒繼續(xù)勻速運(yùn)動(dòng)。為保持其勻速運(yùn)動(dòng)，需要對(duì)導(dǎo)體棒施加等大反向的額外的力去平衡安培力，這一外力做功功率為正，也與安培力做功的功率絕對(duì)值相等。這樣一來(lái)，我們發(fā)現(xiàn)磁力在其中起到了類(lèi)似機(jī)械中“滑輪”的作用，將我們施加在導(dǎo)體棒上的力轉(zhuǎn)了90°角，將能量“傳遞”給了電荷。

前一節(jié)中我們介紹了動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。學(xué)過(guò)電磁學(xué)的同學(xué)們都知道，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)有個(gè)好兄弟，叫“感生電動(dòng)勢(shì)”，甚至有一些同學(xué)經(jīng)常把它們混為一談。下面我們還是從電磁場(chǎng)和微觀的物理機(jī)制入手，講解感生電動(dòng)勢(shì)的來(lái)源。

這種由變化磁場(chǎng)產(chǎn)生的電場(chǎng)是一種渦旋電場(chǎng)，它無(wú)源有旋，作用在電荷上的力的規(guī)律與靜止的電荷產(chǎn)生的縱向電場(chǎng)一致。從命名上就能看出，這種力也是一種非靜電力，由其導(dǎo)致的電動(dòng)勢(shì)稱為“感生電動(dòng)勢(shì)” (為避免歧義，我們此處的命名遵循教育部制訂的普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)。另一個(gè)相近的名詞“感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)”有其他的含義，詳見(jiàn)下節(jié)) 。在電磁學(xué)的理論中，科學(xué)家們一般不將這種感生電場(chǎng)與縱向電場(chǎng)分開(kāi)，而是統(tǒng)一稱為電場(chǎng)。但在電路理論中，由于靜電力與非靜電力承擔(dān)著完全不同的角色，我們還是傾向于把這種感生電場(chǎng)與縱向電場(chǎng)清晰地區(qū)分開(kāi)來(lái)，簡(jiǎn)單地看成一種非靜電力就好了。能夠這樣做拆分的原因?qū)嶋H上也是因?yàn)樵跍?zhǔn)靜態(tài)近似下，縱向電場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)是可以從其余的電磁場(chǎng)中解耦的[2]。

在結(jié)束本節(jié)之前，我們還要再次強(qiáng)調(diào)：雖然在歷史上，動(dòng)生和感生電動(dòng)勢(shì)都被稱作是“法拉第電磁感應(yīng)定律”的一部分，但它們是由完全不同的物理機(jī)制產(chǎn)生的。導(dǎo)致動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力就是我們所熟悉的磁力 (洛倫茲力)，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)并不對(duì)應(yīng)什么“動(dòng)生電場(chǎng)”；而產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力則是一種全新的物理現(xiàn)象：由變化的磁場(chǎng)感應(yīng)出的渦旋電場(chǎng) (感生電場(chǎng))。它們之間不可以做簡(jiǎn)單的類(lèi)比，更不可以混淆。在接下來(lái)的幾節(jié)里，我們將探討動(dòng)生和感生電動(dòng)勢(shì)之間的聯(lián)系，但不論它們之間的聯(lián)系有多么緊密，它們都是完全不同的兩種物理現(xiàn)象。

人教版新課標(biāo)高中物理教材對(duì)于法拉第電磁感應(yīng)定律的表述為：閉合電路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，與穿過(guò)這一電路的磁通量的變化率成正比 (只表示感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小，其方向可以使用楞次定律判斷) 。這一定律 (也稱“通量法則”) 深受一些同學(xué)的喜愛(ài)，因?yàn)檫@里的“感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)”包括了前文提到的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)兩者之和，在做具體計(jì)算時(shí)就可以不去細(xì)究電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生機(jī)制了。而經(jīng)過(guò)前文的討論，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到動(dòng)生和感生電動(dòng)勢(shì)完全是兩種不同的物理現(xiàn)象，那么從某種意義上來(lái)講，這一混合了兩種物理現(xiàn)象的“電磁感應(yīng)定律”從理論的角度來(lái)說(shuō)是一種用于方便計(jì)算的二級(jí)結(jié)論，是將麥克斯韋方程應(yīng)用于大多數(shù)電路體系的推論。在附錄2中，我們從前文介紹的基本原理和物理機(jī)制出發(fā)，對(duì)通量法則進(jìn)行了證明 (需要多變量微積分的知識(shí))。從證明中可以看到：雖然通量法則從形式上統(tǒng)一了動(dòng)生和感生兩種電動(dòng)勢(shì)，但如果想得到通量法則，必須要求電路是由很細(xì)的導(dǎo)線組成的閉合回路，從而用數(shù)學(xué)上的閉合曲線進(jìn)行描述，而這只是實(shí)際電路中比較特殊的情況。早在上世紀(jì)60到80年代，國(guó)內(nèi)外就有不少教育家針對(duì)電路的回路無(wú)法清晰定義的情況進(jìn)行了討論。著名物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼在其《物理學(xué)講義》中以非常清晰的方式闡述了通量法則的兩個(gè)反例 (圖3)，有興趣的同學(xué)可以去閱讀第二卷17-2節(jié) (https://www.feynmanlectures./II_17.html)。筆者還在1985年前后的《大學(xué)物理》雜志中看到了十余篇有關(guān)通量法則的論文，各路學(xué)者從不同的角度深入剖析通量法則的適用性和例外情況，令人醍醐灌頂，其中以1987年07期的北京大學(xué)趙凱華教授的《通量法則反例問(wèn)題》最為精湛。這些論文現(xiàn)在都可以在《大學(xué)物理》網(wǎng)站 (http://dxwl.) 檢索到。有條件的讀者不妨去下載下來(lái)讀一讀，一定會(huì)有所裨益。

圖3 《費(fèi)曼物理學(xué)講義》中提到的兩個(gè)“通量定理”的反例

綜上所述，通量定理是揉合了動(dòng)生與感生兩種不同的電動(dòng)勢(shì)的一個(gè)二級(jí)結(jié)論。雖然使用通量定理可以方便計(jì)算，但我們?nèi)匀灰獙?duì)兩種電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生機(jī)制有清晰透徹的定性與定量理解。

講到這里，尤其是對(duì)于讀過(guò)“漫話麥克斯韋方程組”專(zhuān)題第一篇文章的讀者來(lái)說(shuō)，在不同的參考系中考察感生和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)已經(jīng)是不可避之的了。下面我們就通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單且常見(jiàn)的例子，介紹如何在不同的參考系中討論感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的問(wèn)題。

圖4 實(shí)驗(yàn)室參考系下，線框正以速度u離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域 (陰影區(qū)為勻強(qiáng)磁場(chǎng))

下面我們換到線框靜止的參考系 (隨動(dòng)系) 中考察該問(wèn)題。在隨動(dòng)系下，線框靜止，沒(méi)有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)；磁場(chǎng)雖然大小和方向不隨時(shí)間改變，但其存在的區(qū)域卻在發(fā)生改變，因此這是一個(gè)隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，會(huì)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)。為了求解感生電動(dòng)勢(shì)的大小，我們首先要求解隨動(dòng)系下的電磁場(chǎng)。根據(jù)時(shí)空坐標(biāo)和電磁場(chǎng)的參考系變換公式 (公式中帶撇的隨動(dòng)系相對(duì)不帶撇的實(shí)驗(yàn)室系的速度為u)：

有興趣的讀者可以嘗試使用通量定理分別計(jì)算兩個(gè)參考系中的電動(dòng)勢(shì) (在計(jì)算隨動(dòng)系中的磁通量時(shí)請(qǐng)注意：隨動(dòng)系下磁感應(yīng)強(qiáng)度與實(shí)驗(yàn)室系不同，可由上文提到的電磁場(chǎng)參考系變換公式得到)，將得到與以上相同的結(jié)果。

由此我們發(fā)現(xiàn)：不同參考系下的電動(dòng)勢(shì)是不一樣的。這是由于電動(dòng)勢(shì)的定義是一個(gè)“等時(shí)”積分，而在相對(duì)論的閔可夫斯基時(shí)空中，不同參考系中的“同時(shí)性”不是絕對(duì)的，因此電動(dòng)勢(shì)不構(gòu)成一個(gè)在洛倫茲變換下不變的 (四維協(xié)變) 標(biāo)量。通過(guò)這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們更加深入地理解了電動(dòng)勢(shì)的定義是依賴于參考系的，并且動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)緊密結(jié)合在一起：對(duì)于同一物理過(guò)程，產(chǎn)生的是動(dòng)生還是感生電動(dòng)勢(shì)以及電動(dòng)勢(shì)的大小都與參考系的選取有關(guān)。(在低速近似下，γ≈1，電動(dòng)勢(shì)在兩參考系下近似相等。)

同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一些長(zhǎng)期從事教學(xué)工作的同事意識(shí)里的“動(dòng)生電場(chǎng)”其實(shí)就是從參照系變化來(lái)的，他們認(rèn)為實(shí)驗(yàn)室參照系里的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是由洛倫茲力中v×B這一項(xiàng)貢獻(xiàn)的，而這一項(xiàng)也“恰好”是隨動(dòng)參照系中電場(chǎng)E′的低速近似 (即把洛倫茲變換中的γ因子近似為1)，因此稱之為“動(dòng)生電場(chǎng)”。我們認(rèn)為這種說(shuō)法是很不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，因?yàn)樵陔S動(dòng)參照系里線圈是不動(dòng)的；根據(jù)上面的討論，在隨動(dòng)參照系里測(cè)到的電動(dòng)勢(shì)恰恰是感生電場(chǎng)引起的。通過(guò)洛倫茲變換改變參照系的時(shí)候，電場(chǎng)和磁場(chǎng)是要互相轉(zhuǎn)換的，所以我們?cè)谟懻搯?wèn)題的時(shí)候必須首先搞清楚參照系，同一參照系下的物理量才可以放在一起考慮。“動(dòng)生電場(chǎng)”的錯(cuò)誤叫法是典型的混淆不同參照系下物理量的錯(cuò)誤。它導(dǎo)致一種似乎麥克斯韋方程組里沒(méi)有包括“動(dòng)生電場(chǎng)”，似乎是不完備的錯(cuò)覺(jué)。更值得一提的是，《電磁場(chǎng)與電磁波》本科教材的修訂版[第四版]，將原版[第二版]正確的隨動(dòng)參照系電場(chǎng)的回路積分，錯(cuò)寫(xiě)成了實(shí)驗(yàn)室參照系電場(chǎng)的回路積分，得到了錯(cuò)誤的法拉第定律的微分形式。事實(shí)上，麥克斯韋方程組里沒(méi)有“動(dòng)生電場(chǎng)”，因?yàn)樗緛?lái)就不存在，導(dǎo)致動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的是運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體中的電荷在磁場(chǎng)下受到的洛倫茲力。

在這篇文章的最后，筆者想要額外解釋一下電磁學(xué)定律的完備性的問(wèn)題。我們經(jīng)常能聽(tīng)到一種觀點(diǎn)：麥克斯韋用四個(gè)方程組統(tǒng)一了復(fù)雜的電磁現(xiàn)象，豐富的電磁現(xiàn)象完全包含在這簡(jiǎn)潔的四行方程中。拋開(kāi)歷史過(guò)程不談，這一論述中的科學(xué)內(nèi)容并不嚴(yán)謹(jǐn)。麥克斯韋方程組確實(shí)將大量的電磁現(xiàn)象總結(jié)在了一起，甚至可以從中推導(dǎo)出電荷守恒定律；但要想完整地描述電磁學(xué)，僅靠麥克斯韋方程組是不夠的。麥克斯韋方程組是電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)方程和約束條件，它僅描述了電荷 (電流) 與電磁場(chǎng)以及電磁場(chǎng)之間的局域關(guān)系。在麥克斯韋方程組中，電荷和電流是作為外部參量存在的。完備的電磁學(xué)理論一定還需要將電荷的動(dòng)力學(xué)規(guī)律納入進(jìn)來(lái)——如果攜帶電荷的物質(zhì)可以用經(jīng)典力學(xué)來(lái)描述，對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律就是洛倫茲力方程F=q(E v×B)與牛頓第二定律，如果是量子體系則是以矢勢(shì)A耦合到相應(yīng)的薛定諤方程。在有電磁介質(zhì)存在的情況下，我們通常使用麥克斯韋方程組和介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系來(lái)解決電磁學(xué)問(wèn)題。實(shí)際上，介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系描述的是介質(zhì)中的電荷和分子電流對(duì)于電磁場(chǎng)的響應(yīng)，從根本上來(lái)講是由上述攜帶電荷的物質(zhì)場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律導(dǎo)出的。這一根本邏輯即使是到了用量子理論描述物質(zhì)的今天也沒(méi)有改變。麥克斯韋方程組加上物質(zhì)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律 (對(duì)于經(jīng)典系統(tǒng)即洛倫茲力定律) 就是完備的電磁動(dòng)力學(xué)定律 (如果這個(gè)世界上只有電磁這一種相互作用，則聯(lián)立麥克斯韋方程組和描述物質(zhì)的動(dòng)力學(xué)方程即從原則上可求解一切物理問(wèn)題)。在沒(méi)有新的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)之前，這就是電動(dòng)力學(xué)物理規(guī)律的“最終版本”。本文作者之一戴希教授前段時(shí)間也在知乎上表示：“任何其他版本的電磁學(xué)方程或者理論要么跟麥克斯韋方程加洛倫茲力定律在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格等價(jià)，要么就是錯(cuò)的，沒(méi)有第三種可能性?！背怯行碌膶?shí)驗(yàn)現(xiàn)象 (例如磁單極子) 被觀察到，否則試圖隨意修改麥克斯韋場(chǎng)方程的一切嘗試 (嚴(yán)格的數(shù)學(xué)恒等變換除外) 都將走向謬誤。

謹(jǐn)以此文向上世紀(jì)后半葉對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行深入細(xì)致討論，并為傳遞準(zhǔn)確的科學(xué)知識(shí)而辛勤工作的中外老一輩教育工作者致以崇高的敬意。

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[2] Chen H，Sha W E I，Dai X et al. Progress In ElectromagneticsResearch，2022，174：1

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[4] 杰克遜 J D 著. 經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)(第3版影印版). 北京：高等教育出版社，2004

[5] 愛(ài)因斯坦 著，楊潤(rùn)殷 譯，胡剛復(fù) 校. 狹義與廣義相對(duì)論淺說(shuō).北京：北京大學(xué)出版社，2018

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[7] 趙凱華，陳熙謀. 新概念物理學(xué)教程：電磁學(xué). 北京：高等教育出版社，2003

[8] 普通高中教科書(shū)：物理(必修 第三冊(cè)). 人民教育出版社

[9] 普通高中教科書(shū)：物理(選擇性必修 第二冊(cè)). 人民教育出版社

[10] 電磁場(chǎng)與電磁波(第二版)(原始版). 高等教育出版社，1987

[11] 電磁場(chǎng)與電磁波(第四版)(修訂版). 高等教育出版社，2006

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