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昨天，“中考數(shù)學(xué)解題研究群”內(nèi)，天元中學(xué)劉攀老師提供了一道定角定比的幾何最值題，大家分享自己的解法進(jìn)行研討交流。今天，我從這道題，主要談?wù)勛约簩?duì)“旋轉(zhuǎn)相似”的看法！另外，也分享一下自己向泰州羅進(jìn)老師學(xué)習(xí)“托”的一點(diǎn)點(diǎn)心得。前段時(shí)間更新的公眾號(hào)內(nèi)容，也有看到一些老師留言講內(nèi)容很好，希望一直更新。公眾號(hào)的定位是“思考、總結(jié)、記錄、分享”，得空的時(shí)候，會(huì)更新自己的學(xué)習(xí)所得和教學(xué)分享。從群眾中來(lái)，到群眾中去。在自己成長(zhǎng)的路上，能夠幫助到更多熱愛學(xué)習(xí)的老師，自然也是一份福德。今天的內(nèi)容主要是自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)之談，希望能夠?qū)ψx到這篇文章的讀者有所收獲，另外，自己也是在不斷學(xué)習(xí)的路上，文章不足之處，歡迎留言指正，也歡迎微信交流。需要進(jìn)“中考數(shù)學(xué)解題研究群”的老師可以加我微信拉進(jìn)群，相互交流學(xué)習(xí)！OK，首先，我們一起來(lái)看一下這道題：    定邊BC對(duì)定角∠BDC＝30°，以BC為邊界，靠近∠BDC稱為同側(cè)，另一側(cè)稱為異側(cè)，可在BC同側(cè)構(gòu)造等邊三角形OBC，則點(diǎn)D在優(yōu)弧BDC上運(yùn)動(dòng)，如上圖1所示。倘若遇到其他定角，我們可按照下圖方式進(jìn)行構(gòu)造，從而尋找圓心，確定動(dòng)點(diǎn)所在的輔助圓軌跡。   如上圖2，遇共點(diǎn)線段成定比，且有夾角固定，則可考慮旋轉(zhuǎn)放縮相似。即我們通常所講的手拉手或瓜豆。我們來(lái)看一下這類問題的基本結(jié)構(gòu)，如下圖：  形如上面這類“三爪圖”的結(jié)構(gòu)，可理解為旋轉(zhuǎn)相似的基本結(jié)構(gòu)圖，那么我們?nèi)绻麡?gòu)造輔助線呢？看下圖：  以“三爪”的公共端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，我們可將定比線段以外的第三條線段順向旋轉(zhuǎn)定角α，也可逆向旋轉(zhuǎn)α，一轉(zhuǎn)成雙。由于上述條件中定線段AB與AC的比值為1，所以會(huì)出現(xiàn)全等。那么，倘若沒有遇到等線段呢？也就是如果鎖住定角的兩條共點(diǎn)線段的比值不是“1”呢？亦可旋轉(zhuǎn)變換，一轉(zhuǎn)成雙！我們接著往下看： 這類結(jié)構(gòu)圖，我們可以按照和上述方法一樣進(jìn)行順或逆旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，還需將旋轉(zhuǎn)之后的線段同旋轉(zhuǎn)前的線段按照定線段的比值來(lái)放縮，即可得到相似，我理解為旋轉(zhuǎn)放縮相似：  通常情況下，貼合題目所求目標(biāo)線段，我們同向旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似的情形居多。亦可從手拉手的角度看待這類旋轉(zhuǎn)相似。特別注意，手拉手的方向性一致。清楚這些結(jié)構(gòu)圖之后，我們?cè)倩仡^看看文章開頭的這道題可以如何進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換處理。細(xì)講之前，我放個(gè)圖，大家可以先嘗試一下：  當(dāng)然，我們也可利用手拉手，轉(zhuǎn)換目標(biāo)線段： 方法一和方法四，實(shí)質(zhì)上是一樣的，共圖如下： 旋轉(zhuǎn)相似/視角二：定邊夾定角60° 從以上解法過程當(dāng)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)“主從聯(lián)動(dòng)、定角定比”的瓜豆問題，種圓得圓。羅進(jìn)老師曾總結(jié)過“圓生圓，必可托”，接下來(lái)，我們看一下如何用“托”來(lái)秒它，首先，我們先看一下托勒密不等式是如何證明的： 接下來(lái)，我們看一下本文前面所提及的這道題可以如何運(yùn)用“托勒密”來(lái)秒： 在學(xué)習(xí)“托”的過程中，羅進(jìn)老師總結(jié)過“托”的特點(diǎn)：如下圖，定形三角形ABC外一點(diǎn)D，若已知AD、DB、DC中任意兩條線段長(zhǎng)，即可求第三條線段長(zhǎng)的最值！ 能夠利用“托勒密”求最值的前提是：所求線段必須為某四點(diǎn)構(gòu)成的凸四邊形的邊長(zhǎng)或?qū)蔷€的其中一條，且某三點(diǎn)構(gòu)成的三角形必須是定形三角形，且除所求線段及定形三角形三邊外的剩余兩條線段長(zhǎng)度已知！倘若不滿足上述前提，就需要我們通過構(gòu)造。構(gòu)造出滿足上述前提條件，才能運(yùn)用托勒密求解。 回到本題，我們不難發(fā)現(xiàn)“三角形ABD定形”，但除了定形三角形ABD和目標(biāo)線段AC外的兩條線段“CD”和“CB”當(dāng)中，知知道CB＝1，按照“托哥”出場(chǎng)的前提，CD應(yīng)該也要知道，這樣我們才能進(jìn)行“托”，所以本題不能直接“托”。需要我們通過構(gòu)造，從而間接“托”。 提供兩種構(gòu)造的方法： 第一種：平行構(gòu)造 第二種：對(duì)稱構(gòu)造 我們先來(lái)看第一種：平行構(gòu)造 在解題過程當(dāng)中，我發(fā)現(xiàn)構(gòu)造平行之后的基本圖和原題的基本圖有類似的地方： 類似的地方在于“兩個(gè)圖在結(jié)構(gòu)上都是已知定型三角形，且除目標(biāo)線段外的兩條線中，都是只知道其中一條線段的長(zhǎng)度”，但為什么原題結(jié)構(gòu)圖不能“托”，而構(gòu)造平行之后可以“托”呢？我們來(lái)看一下： 上述“構(gòu)造平行”的方法中，兩次取等時(shí)，EF取得最大值，此時(shí)點(diǎn)D、E、B、F四點(diǎn)共圓，滿足托勒密取最值時(shí)的條件。而若直接用原題圖，能否“托”呢？我們不妨試一下： 當(dāng)CD取最大值時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)不共圓，因此取不到最值。固不可直接用“托”。 接著我們?cè)賮?lái)看一下第二種構(gòu)造方法：對(duì)稱構(gòu)造 作點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱點(diǎn)B'得等邊三角形DBB'，連接DB'、BB'、AB'、CB'，進(jìn)而知道∠ADB'＝150°，可求得AB長(zhǎng)度，從而我們發(fā)現(xiàn)三角形ABB'為定形三角形，并且在凸四邊形ABCB'當(dāng)中，除了目標(biāo)線段AC和定形三角形ABB'外的兩條線段CB和CB'的長(zhǎng)度我們都已知，完全符合我們前面所提到的運(yùn)用“托勒密”求最值的前提條件。具體如下圖所示： 對(duì)于定邊定角定比的最值問題，以前也發(fā)過一篇文章，但 當(dāng)時(shí)只寫了大家研討的解法過程，沒有闡述清楚為什么可以這樣想這樣處理?？戳私裉爝@篇文章之后，大家應(yīng)該能夠有些收獲，不妨可以回頭看看那道題，看看你能想到幾種構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似的方法？ 文章連接：《定邊定角定比值動(dòng)中有靜，旋轉(zhuǎn)相似托勒密妙解生花》——12月9日“中考數(shù)學(xué)解題研究群”研題分享 本文這道題是一道單線段最值問題，提到的托勒密定理，不僅僅可秒這類單線段最值。由于個(gè)人能力有限，對(duì)于“托”哥英姿形象描述不夠透徹，若想更深入學(xué)習(xí)，可參考羅進(jìn)老師對(duì)“托哥”的總結(jié)，娓娓道來(lái)，闡述得很細(xì)膩，值得學(xué)習(xí)。 END '小巧一題一法，固不應(yīng)有效提倡。大巧法無(wú)定法，也確定太難。我提倡中巧，就是能夠解決一類問題的算法或模型。” ------張景中院士 |
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來(lái)自： 我要折騰 > 《數(shù)學(xué)》
