設(shè){an}的首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=nan/3，已知a1, 3a2, 9a3成等差數(shù)列.

(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和. 證明Tn<Sn/2.

對于數(shù)列{an}，首項a1已知，只要求得公比q，就可以得到它的通項公式。然后利用bn和an的關(guān)系，就可以得到{bn}的通項公式。

(1)解：設(shè)an的公比為q, 則a2=qa1=q, a3=qa2=q^2，

因為a1+9a3=2X3a2, 所以1+9q^2=6q，解得q=1/3.

所以an=1/3^(n-1), bn=nan/3=n/3n.

(2)證明：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=3(1-1/3^n)/2=3/2-1/(2·3^(n-1))=3/2-an/2.

【可以發(fā)現(xiàn)，Sn竟然是an的函數(shù)，即Sn本質(zhì)上與等比數(shù)列是有關(guān)系的。化成an的函數(shù)式，對下面的解題過程會有幫助?！?/p>

Tn=b1+b2+b3+…+bn=1/3+2/3^2+3/3^3+…+n/3^n

=(1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^n)+(1/3^2+1/3^3+…+1/3^n)+…+1/3^n

【可以發(fā)現(xiàn)，Tn是一系列等比數(shù)列前n項和，前n-1項和，前n-2項和，……，前1項和的總和。這時我們可以選擇對每個式子都運用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)果會包含另一個等比數(shù)列，繼續(xù)運用等比數(shù)列的求和公式就可以了，但這種做法出錯的概率非常大。不如下面的做法。繼續(xù)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)每個式子都是an的前n+1項和減去缺失的項的和，第一個式子只缺失第一項，所以減去前1項的和，第二個式子缺失前兩項，所以減去前兩項的和，依此類推，最后一個式子缺失前n項，所以要減去前n項和?！?/p>

=S_(n+1)-S1+S_(n+1)-S2+…+S_(n+1)-Sn=nS_(n+1)-(S1+S2+…+Sn)

【得到的結(jié)果中，S_(n+1)有n項，其余項正好是數(shù)列Sn的前n項的相反數(shù)，將它們合并起來，就是減去Sn的前n項和，其中nS_(n+1)=3n/2-n/(2·3^n), 代入Sn=3/2-an/2，有S1+S2+…+Sn=3n/2-(a1+a2+…+an)/2】

=3n/2-n/(2·3^n)-3n/2+(a1+a2+…+an)/2=Sn/2-n/(2·3^n)<Sn/2. 得證!

這道題還是蠻有代表意義的，沒準今年高考，你就會在高考數(shù)學(xué)卷上看到這種類型的題目呢。還不趕快學(xué)一學(xué)