還有一些“尾巴長(zhǎng)長(zhǎng)”的數(shù)，在經(jīng)過(guò)了連乘之后，所得的積仍舊帶有同樣的“長(zhǎng)尾巴”，這與我們前面講過(guò)的25或76的特性是相同的。

比如我們想要找出屬于這一類(lèi)的三位數(shù)，就需要在25或76前加上一位數(shù)字。

仍舊以76為例，假設(shè)在它的前面增加的數(shù)字是k，那么得到的三位數(shù)就是：100k+76。以這個(gè)數(shù)為結(jié)尾的數(shù)可寫(xiě)為1000a+100k+76、1000b+100k+76，等等。計(jì)算1000a+100k+76與1000b+100k+76的乘積可得：

在這個(gè)結(jié)果的各部分當(dāng)中，除了最后兩數(shù)之外，其他各數(shù)都含有三個(gè)以上的0，因此我們只看最后兩個(gè)數(shù)。來(lái)計(jì)算一下這兩個(gè)數(shù)之和與100k+76的差：

如果這個(gè)差能被1000整除，那么上面所求的兩數(shù)乘積就一定是以100k+76為結(jié)尾。從這個(gè)結(jié)果中我們可以看到，只有當(dāng)3=k時(shí)，這個(gè)差肯定能被1000整除。因此我們正在求的這個(gè)三位數(shù)是376，376具有我們目前所探討的這一特性，也就是它的任意次方同樣是結(jié)尾為376的數(shù)，比如3762=141376。

現(xiàn)在繼續(xù)找下去，這一次要找到的是一個(gè)具有這種特性的四位數(shù)。在376的前面加一位數(shù)，假設(shè)這個(gè)數(shù)是l，那么當(dāng)l等于幾時(shí)，兩個(gè)以376為結(jié)尾的四位數(shù)10000a+1000l+376和10000b+1000l+376的積的結(jié)尾一定是1000l+376呢？你可以自己動(dòng)筆計(jì)算一下，算出兩數(shù)之積后，將乘積中的括號(hào)去掉，結(jié)尾中不少于4個(gè)0的各項(xiàng)也去掉，剩下的兩項(xiàng)之和就是1000l+376。用這兩項(xiàng)之和減去1000+376：

我們知道，只有當(dāng)這個(gè)差能被10000整除時(shí)，上面兩數(shù)乘積的結(jié)尾才會(huì)是1000l+376，因此9=l，我們所求的四位數(shù)是9376。

如果還想繼續(xù)向前推理，那么用同樣的方法，可以得到09376、109376、7109376，等等。就這樣，一步一步地在求出的數(shù)前面（即左邊）的數(shù)位上不斷進(jìn)行添加，最終將得到一個(gè)有無(wú)限多個(gè)數(shù)位的“尾巴長(zhǎng)長(zhǎng)”的大“數(shù)”：

……7109376

事實(shí)上，如果用同樣的方法對(duì)兩位數(shù)“76”進(jìn)行推理，那么也就是要求出在6的前面加一個(gè)什么數(shù)字，能使組成的兩位數(shù)具有我們所探討的這一特性，所以我們也可以說(shuō)這個(gè)數(shù)位無(wú)限多的“數(shù)”……7109376，是在6前面逐一加上相應(yīng)的數(shù)得到的。

這一類(lèi)型的數(shù)能夠按照我們通常所用的規(guī)則進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，原因在于使用豎式進(jìn)行加法或乘法運(yùn)算時(shí)都必須從右向左完成，而且具有這一特性的兩數(shù)之和還可以逐位地減去任意多的數(shù)字。

但你一定沒(méi)有想到的是，我們剛剛得到的那個(gè)有著無(wú)限多個(gè)數(shù)位的“尾巴長(zhǎng)長(zhǎng)”的“數(shù)”居然能夠滿足方程：

這一點(diǎn)對(duì)于任何人來(lái)說(shuō)都是難以置信的，那么它的依據(jù)是什么呢？

由于這個(gè)數(shù)的結(jié)尾是76，那么它的平方（該數(shù)與它自身的乘積）的結(jié)尾一定也是76。但同樣的，它的結(jié)尾也一定是376，或者9376……換一個(gè)說(shuō)法就是：當(dāng)x的值是“……7109376”時(shí)，對(duì)它的平方x2的值從右向左逐位去掉每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，一定會(huì)得到一個(gè)與x的值相等的數(shù)，因此x2=x在這里是成立的。

我們已經(jīng)分析過(guò)了結(jié)尾為76的數(shù)，用同樣的方法也可以對(duì)結(jié)尾是5的數(shù)進(jìn)行分析，并可以得到5、25、625、0625、90625、890625、2890625……最終也將得到一個(gè)有無(wú)限多個(gè)數(shù)位的大“數(shù)”：

……2890625

同時(shí)，它也可以滿足方程x2=x，并且能夠證實(shí)這個(gè)數(shù)“等于”：

這個(gè)結(jié)果無(wú)疑令人覺(jué)得樂(lè)趣無(wú)窮，如果用代數(shù)語(yǔ)言來(lái)描述它，那就是：方程x2=x（x=0和x=1除外）有兩個(gè)“無(wú)限”的解，它們分別是：x=……7109376和x=……2890625，在十進(jìn)制中，只有這兩個(gè)解。

這種數(shù)位無(wú)限多的數(shù)在其他進(jìn)制中也有，并非十進(jìn)制的“專(zhuān)利”。（俄.別萊利曼）