振動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的狀態(tài)由描述振動(dòng)的時(shí)間周期函數(shù)來描述。而振動(dòng)狀態(tài)在媒質(zhì)中的傳播形成波，波函數(shù)一次性給出了所有質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)。所以，振動(dòng)和波的核心內(nèi)容是對(duì)振動(dòng)狀態(tài)的描述。

那么，振動(dòng)和波到底是如何統(tǒng)一的描述振動(dòng)狀態(tài)的呢？

要對(duì)這個(gè)問題理解到位，你得先理解好相位的概念。

那么，什么是相位呢？

大多數(shù)人覺得它很抽象，其實(shí)，只要是周期運(yùn)動(dòng)，必然存在一種與位置(時(shí)間或空間)相關(guān)的量，它就是相位。相位取某個(gè)取值，就決定了系統(tǒng)處于某種狀態(tài)。所以，相位看起來就像一個(gè)狀態(tài)的標(biāo)簽。

拿月亮來說吧，由于它繞地球作周期運(yùn)動(dòng)，它在某個(gè)位置，就會(huì)顯示一個(gè)特定的月相，所以只要看月相，就知道月球目前在哪里，速度是多少。

雖然本來月球的這些狀態(tài)信息應(yīng)該是時(shí)間的函數(shù)，但是月相本身就是時(shí)間的函數(shù)，而月球狀態(tài)對(duì)月相的依賴是不變的，所以月相接管了時(shí)間的貢獻(xiàn)，現(xiàn)在只需要根據(jù)月相來向系統(tǒng)匯報(bào)并產(chǎn)生系統(tǒng)信息就可以了。

如果用函數(shù)來解釋，那就是，系統(tǒng)對(duì)時(shí)間的依賴函數(shù)  可以看成兩個(gè)函數(shù)  和  的復(fù)合函數(shù)，即 由于  是確定的，所以  直接由  決定，這里面的  就是相位。

這就好比，國王不管事了，雖然看起來他的權(quán)力包裹著整個(gè)朝廷，但他只是產(chǎn)生一種一成不變的操作罷了，從他口中發(fā)出的各種命令都是來自于他的那個(gè)心腹大臣，他使什么臉色，國王就怎么輸出指令，而不用管其他人怎么說。

所以，那個(gè)起決定作用的大臣的臉色就好比是相位。無論何時(shí)何地，只要看他臉色行事即可，看其他都沒用。因?yàn)椴煌瑫r(shí)刻不同地點(diǎn)，甚至不同天氣，大臣的臉色可能會(huì)不同，也可能相同。

以上是根據(jù)相位的一般含義來講的，是不是有點(diǎn)不太懂？沒關(guān)系，下面再結(jié)合振動(dòng)和波深入的闡述相位的含義。

該函數(shù)  是由相應(yīng)的物理量所滿足的時(shí)間演化規(guī)律決定的，例如在回復(fù)力作用下的質(zhì)點(diǎn)所滿足的牛頓第二定律。

雖然隨著時(shí)間流逝，時(shí)間變量  的值在不斷增加，但由于  是周期函數(shù)，所以每隔  的時(shí)長，物理量恢復(fù)為原來的狀態(tài)。

你可能會(huì)想，這個(gè)周期函數(shù)  該長成什么樣呢？

當(dāng)然，它是由所屬的方程決定的！但在不太清楚那個(gè)方程的情況下，它會(huì)有哪些可能的形式呢？

所有可能的周期函數(shù)中的某一個(gè)？

可以這么理解！但當(dāng)你實(shí)際考察一下會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有的周期函數(shù)實(shí)際上都?xì)w結(jié)于正弦和余弦函數(shù)的線性組合，這是所謂的傅里葉級(jí)數(shù)給出的結(jié)果。關(guān)于這一點(diǎn)的理解，可參看另一篇文章“為什么簡諧振動(dòng)是最基本的振動(dòng)？”。

對(duì)我們熟悉的正弦和余弦函數(shù)來說，它們只接受角度作為自變量，周期為  。那么自然的，描述振動(dòng)的函數(shù)也應(yīng)該是以角度作為自變量，周期為  的函數(shù)。

現(xiàn)將其記為  ，它滿足 但是，現(xiàn)在的變量明明是時(shí)間  ??！要轉(zhuǎn)成角度？

沒錯(cuò)！作為變量的時(shí)間  要能被一個(gè)周期函數(shù)  吃下，得先轉(zhuǎn)化成角度的量才行！角度是一種沒有單位的數(shù)，所以這就需要將時(shí)間  除以一個(gè)同樣有時(shí)間單位的數(shù)  ，即 

注意到，在零時(shí)刻時(shí)，角度量不一定剛好就是零，可能有一個(gè)初始值  ，因此完整的轉(zhuǎn)化應(yīng)為 現(xiàn)在，  作為  的函數(shù)，吃下時(shí)間  后，吐出一個(gè)角度  ，送給函數(shù)  ，最終得到周期函數(shù)  ，即 

按照前面所講，既然  的周期是  ，那么  的周期  為

因此 那么  關(guān)于  的函數(shù)現(xiàn)在可以寫成 所以描述振動(dòng)的函數(shù)  可以寫成 

至此，我們得到了描述振動(dòng)的函數(shù)  的一般形式。它由角度的函數(shù)  和時(shí)間的函數(shù)  復(fù)合而成。角度的函數(shù)  ——姑且稱為外殼函數(shù)吧，它的具體表達(dá)式由振動(dòng)方程決定。

對(duì)一個(gè)確定的振動(dòng)來說，它的外殼函數(shù)  是確定的。因此，決定某個(gè)時(shí)刻  的物理量的振動(dòng)狀態(tài)的就是  的值。換句話說，面對(duì)函數(shù)  ,變量  取代了  對(duì)物理量的振動(dòng)狀態(tài)的決定作用。

可見，作為一個(gè)角度量，  是一個(gè)很重要的東西，我們稱之為相位（phase）。它是時(shí)間的函數(shù)，它總是具有如下形式 

因為周期  總是正數(shù)，所以相位是隨時(shí)間增加的。  是  時(shí)的相位值，叫初相。

為什么說相位決定了狀態(tài)？很簡單，既然外殼函數(shù)  確定了，  不就是那個(gè)決定者嗎？

相位隨著時(shí)間的變化是很簡單的——它總是隨時(shí)間線性變化，即 

它在某個(gè)時(shí)刻取什么值，則振動(dòng)所描述的物理量的值 及物理量隨時(shí)間的變化率的值 顯然也就確定了?。ㄗⅲ汉瘮?shù)  ） 

換句話說，當(dāng)你得到了任意時(shí)刻的物理量振動(dòng)的相位，只要將它丟入描述振動(dòng)的外殼函數(shù)  及其導(dǎo)數(shù)中去，你就得到了相應(yīng)時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)——物理量的值及時(shí)間變化率的值。

若你面對(duì)的是一個(gè)確定的時(shí)刻  ，你將得到確定的振動(dòng)狀態(tài)；而若你面對(duì)的是任意時(shí)刻  ，你將得到描述振動(dòng)的函數(shù)  。

由于相位隨時(shí)間增加，兩個(gè)具有同樣的初相的振動(dòng)，相位越大的那個(gè)，振動(dòng)的時(shí)間長。所以，相位值不光能描述時(shí)刻，還能體現(xiàn)時(shí)間的積累效果。

例如，你無法從跑道上的兩個(gè)人目前的位置來獲知他們倆誰跑的路程多一些。要比較二者跑的路程，必須借助相位的值。因?yàn)橄辔粚?shí)際上是一種時(shí)間的積累。

作為描述振動(dòng)的函數(shù)，  的周期  顯然就是一次完整的振動(dòng)——全振動(dòng)所需的時(shí)間，稱之為振動(dòng)的周期。

這意味著，單位時(shí)間內(nèi)，完成全振動(dòng)的次數(shù)是 

這就是振動(dòng)的頻率。

相位作為時(shí)間的函數(shù)，它總是把時(shí)間換算成角度，由于  的周期是  ，所以每當(dāng)相位新增加一個(gè)  時(shí)，就給出相同的狀態(tài)。

所以，想象振動(dòng)每經(jīng)歷一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，有一個(gè)沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矢量繞端點(diǎn)剛好轉(zhuǎn)過  的角度，這個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的角速度為 

我們稱之為振動(dòng)的角頻率。它與頻率  的關(guān)系為 現(xiàn)在相位可寫為 根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量的思想，  是旋轉(zhuǎn)矢量零時(shí)刻時(shí)與  軸正向之間的夾角，而相位  是旋轉(zhuǎn)矢量在任意時(shí)刻與  軸正向之間的夾角。

講到這里，似乎猛然醒悟，原來，一切振動(dòng)，背后不過總是對(duì)應(yīng)著簡單的繞圈圈這件事??！的確，百轉(zhuǎn)千回不過就是為了相遇嘛，沒有無數(shù)個(gè)圈圈的組合，哪會(huì)造就世間萬物的輪回？

現(xiàn)在，描述振動(dòng)的函數(shù)可寫為 既然描述振動(dòng)的函數(shù)是周期函數(shù)，那么彼此相差時(shí)間  的時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)必然是相同的，也就是說，相位和狀態(tài)之間是多對(duì)一的映射關(guān)系，比如 與  對(duì)應(yīng)一樣的狀態(tài)，我們稱這種關(guān)系為同相。

由于  ，故  ，所以 也與  同相。實(shí)際上，這是顯然的，因?yàn)?nbsp; 的周期正好就是  嘛！   

對(duì)最基本的振動(dòng)——簡諧振動(dòng)來說，它所遵循的動(dòng)力學(xué)方程為 根據(jù)高數(shù)知識(shí)可知，正弦和余弦函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)與自身可組合為零，所以滿足該方程的函數(shù)具有正弦或余弦函數(shù)的形式。用余弦函數(shù)表示為 

顯然，簡諧振動(dòng)所對(duì)應(yīng)的  為 所以，對(duì)簡諧振動(dòng)來說，所謂相位，就是cos函數(shù)里面的那一坨東西。

對(duì)于旋轉(zhuǎn)矢量的物理圖像，在簡諧振動(dòng)中是非常直觀的。簡諧振動(dòng)的振幅保持不變，所以它的旋轉(zhuǎn)矢量就是一個(gè)長度不變的矢量。

上面講過，只要能得到一個(gè)振動(dòng)的在任意時(shí)刻的相位，把它放進(jìn)振動(dòng)函數(shù)——現(xiàn)在是  ，就得到描述振動(dòng)的函數(shù)。

我們來看一個(gè)例子。

假設(shè)某個(gè)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)的振幅為  ，設(shè)它在  時(shí)刻的相位為  ，設(shè)角頻率為  ，求描述該振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

根據(jù)相位的定義， 故 故  時(shí)刻的相位為 由于簡諧振動(dòng)的函數(shù)形式為  ，將上面求得的  丟進(jìn)去得這就是該點(diǎn)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。    

波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，振動(dòng)的點(diǎn)并沒有隨之移動(dòng)，那么它傳播了什么呢？

本文最開始就說過，波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，而現(xiàn)在知道，相位決定振動(dòng)狀態(tài)，所以波也就是相位的傳播。

那么，相位是如何被傳播的呢？

波的傳播是沿著一定的方向，以一定的速度進(jìn)行的，這個(gè)方向叫做波線，而這個(gè)速度叫波速，用  表示。它的定義是：波的振動(dòng)狀態(tài)在單位時(shí)間內(nèi)沿波線向前傳播的距離。

既然相位決定狀態(tài)，那么波速也就是相位在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離。

可以看到，波速這個(gè)概念與之前學(xué)過的速度不同，因?yàn)樗皇菍?shí)際物體的運(yùn)動(dòng)速度，它是相位傳播的速度，因此也叫相速度。

順便說一句，既然相位不是物質(zhì)，那么相速度的大小不受相對(duì)論約束。

好了，繼續(xù)看相位的傳播問題。假設(shè)  時(shí)刻，某已知點(diǎn)  的相位是 

設(shè)某點(diǎn)  在  沿波線方向的前方，二者之間的距離為  ，則相位從  到  需要的時(shí)間為 這說明，當(dāng)再過  的時(shí)間，  的相位就傳到  了。 

換句話說，  在  時(shí)刻的相位  就是  在  時(shí)刻的相位。而反過來，  在  時(shí)刻的相位  就是  在  時(shí)刻的相位，也就是 

據(jù)此，基于一個(gè)相位已知的點(diǎn)，求另一個(gè)沿波傳播方向的點(diǎn)的相位，只要將已知點(diǎn)的相位減去它們之間波傳播所需的時(shí)間乘以  即可。

如果將  的表達(dá)式代入得 據(jù)此，基于一個(gè)相位已知的點(diǎn)，求另一個(gè)沿波傳播方向的點(diǎn)的相位，只要將已知點(diǎn)的相位減去它們之間的距離乘以  即可。這表明未知點(diǎn)的相位比已知點(diǎn)的相位小，這被稱作相位滯后。

上面都是假設(shè)未知點(diǎn)在已知點(diǎn)沿著波傳播的前方，如果未知點(diǎn)在已知點(diǎn)沿波傳播的反方向上，那么未知點(diǎn)的相位對(duì)時(shí)間的積累更長，它的相位比已知點(diǎn)的更大，被稱作相位超前，此時(shí)只要將上面式中減號(hào)換成加號(hào)即可。

振源所產(chǎn)生的振動(dòng)在媒質(zhì)中傳播時(shí)，是靠媒質(zhì)來傳遞的。當(dāng)媒質(zhì)均勻時(shí)，前一個(gè)位置處振動(dòng)函數(shù)的形式，也就是那個(gè)函數(shù)  ，必定也被下一個(gè)位置所遵循，因?yàn)榫鶆虻拿劫|(zhì)必然導(dǎo)致所有點(diǎn)遵循的振動(dòng)規(guī)律是一樣的。

那么，一旦你獲得了某個(gè)點(diǎn)的相位，只要把相位放進(jìn)那個(gè)共同的函數(shù)  中去，就獲得了描述這個(gè)點(diǎn)的振動(dòng)的函數(shù)，以兌現(xiàn)“相位決定狀態(tài)”這句話的價(jià)值。

例如上面例子中的點(diǎn)  的相位為 那么它的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程就是  （注意，因?yàn)?nbsp; 已經(jīng)用來表示振動(dòng)的點(diǎn)在波線上的坐標(biāo)，所以用另一個(gè)變量符號(hào)  ），也就是 

設(shè)  軸從  指向  ，則 故方程也可寫為 

既然  是任意的，這個(gè)函數(shù)表示了任意點(diǎn)的在任意時(shí)刻的振動(dòng)情況，那么它就等于描述了媒質(zhì)中的全體質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，把它作為描述波的函數(shù)就是不二選擇，我們稱之為波函數(shù)。

由于波函數(shù)是通過求任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來獲得的，它們共用同一個(gè)周期函數(shù)  以及常數(shù)  ，那么自然的，波也就擁有了與振動(dòng)一樣的周期和頻率。

從以上分析過程可見，只要求出一個(gè)任意點(diǎn)  在任意時(shí)刻  的相位  的表達(dá)式，然后把它丟進(jìn)振動(dòng)的角度函數(shù)  中，即可得到對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。

現(xiàn)在可以講一下波長  了。

根據(jù)波長的定義，波長是指，波線上，兩個(gè)狀態(tài)相同的點(diǎn)之間的最短距離。既然相位決定狀態(tài)，那么波長也就是兩個(gè)同相點(diǎn)之間的最短距離。

根據(jù)第5節(jié)所講，相位差  與距離  的關(guān)系為 而等相點(diǎn)之間相位差為  （不懂？請看第3節(jié)），故 所以波長就是周期與波速的乘積，換句話說，波長就是波在一個(gè)周期內(nèi)沿波線傳播的距離。

有了波長的概念，那么上述波函數(shù)也可以寫成 

對(duì)  函數(shù)描述的簡諧振動(dòng)來說，振動(dòng)在媒質(zhì)中傳播所得到的簡諧波的波函數(shù)自然就是 畫出某時(shí)刻的波形圖如下

波函數(shù)在時(shí)間上和空間上都是周期函數(shù)。時(shí)間上的周期就是振動(dòng)的周期，空間上的周期就是波長。沿著波線方向，相位依次落后——減??；而沿著波線反方向，相位依次超前——增大。

對(duì)于波來說，它的相位不僅與時(shí)間有關(guān)，也與空間有關(guān)。相距一個(gè)波長的點(diǎn)，相位是相同的。而相距一個(gè)波長以內(nèi)的點(diǎn)，其相位是不同的。

如果空間中所有點(diǎn)都是齊步運(yùn)動(dòng)，那它們的相位相同，也就不存在相位傳播了，例如下面這種情況

既然相位完全相同，就不需要相位傳播，也就不是本文中所說的波了。當(dāng)然，你大概沒看到有哪個(gè)國家的閱兵式會(huì)來個(gè)波式走步，如果真這樣玩，那估計(jì)也挺折磨人的，就像下面這種

如下圖所示的三個(gè)波，黑色線代表的波沒有產(chǎn)生相位的傳播。實(shí)際上，它是由兩個(gè)相向而行的等幅相干波——即圖中的紅色和藍(lán)色波，疊加造成的所謂“駐波”。

為了區(qū)別于這種特殊的波，存在相位傳播的波也被稱作“行波”。如下圖就是一列向右行進(jìn)的行波。

注意，行波中移動(dòng)的是相位，媒質(zhì)只是在平衡位置附近振動(dòng)。如下圖所示簡諧橫波，盯著某個(gè)點(diǎn)看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它只是上下振動(dòng)，并沒有向右移動(dòng)。

對(duì)某個(gè)行波來說，其相位沿波線以波速  傳播。如果你跟著這個(gè)速度一起沿著波線同行，你就不會(huì)發(fā)現(xiàn)相位由改變，因?yàn)槟忝孔咭徊?，都帶著你?dāng)前位置的相位一起抵達(dá)下一個(gè)位置，你永遠(yuǎn)面對(duì)一樣的相位。

這樣看來，雖然相位不是一種物質(zhì)，但你的確能體會(huì)到一種相對(duì)靜止的感覺。受此啟發(fā)，少年時(shí)期的愛因斯坦曾經(jīng)想象，如果能與光同行，就會(huì)看到靜止不動(dòng)的電場和磁場強(qiáng)度矢量。這就是著名的“追光”思想實(shí)驗(yàn)。

但相對(duì)論告訴我們，這是不可能實(shí)現(xiàn)的！

根據(jù)狹義相對(duì)論，光的波速在中真空中是常數(shù)  。即使你沿著電磁波的波線方向以接近光速（先不說這可不可能）運(yùn)動(dòng)，你看到的光波的波速保持不變，所以你永遠(yuǎn)無法看到靜止的電磁波。

之所以這樣，是因?yàn)樵诟咚龠\(yùn)動(dòng)的條件下，速度的相對(duì)性不再滿足伽利略相對(duì)性原理，而是遵循相對(duì)論的基本假設(shè)之下的新的時(shí)空變換——洛倫茲變換，它是狹義相對(duì)論的基本假設(shè)所必然導(dǎo)致的。

END