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導(dǎo)數(shù)的幾何意義專題20講(一),孫老師高中數(shù)學(xué)系列課程

 幽默笑話萌萌萌 2022-04-20

導(dǎo)數(shù)是啥?導(dǎo)數(shù)有什么用?不少初學(xué)導(dǎo)數(shù)的高中學(xué)生很迷茫。

回答這兩個問題之前,咱們先了解一下導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)f(x)在切點(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)等于曲線y=f(x)在切點(x0,y0)處切線的斜率k;簡記作:k=f'(x0)。

你完全可以簡單地認(rèn)為導(dǎo)數(shù)就是曲線切線的斜率導(dǎo)數(shù)的作用就是用來求曲線的斜率的。

不管任何情況下,使用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率永遠(yuǎn)都是分兩步,第一步:求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);第二步:令f'(x)中的x等于切點橫坐標(biāo)x0得到f'(x0),則切線的斜率k=f'(x0)。

以上都是理論知識,不管你懂了多少,都不要緊,接下來孫老師為你安排了多達20道不同類型的練習(xí)題,這些練習(xí)題將會幫助你徹底掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義的最佳使用方法。

針對性專題(一)

第1題

“曲線在點x=2處”意思是切點的橫坐標(biāo)是2,根據(jù)切點在曲線上,把x=2代入曲線方程,可以求出切點的縱坐標(biāo);然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率k;最后使用點斜式寫出切線的方程。

求曲線過某點的切線方程,一定要先判斷這個點是否在曲線上,如果在曲線上,按照第1題的方法即可求出切線方程,如果不在曲線上,那這個點肯定不是切點,求切線方程明顯就不能使用第1題的方法。

第2題

切線過點(2,4),不能說明點(2,4)就是切點;因為點(2,4)在曲線上,所以這個點可以是切點,也可能不是切點;對于這種切點不確定的情況,一般采用下面這個過程來求切線方程,這個過程是通用過程,一定要熟練掌握。

下面給出方程①的求解過程,這個方程是一個高次方程,解高次方程一個重要的方法是分解因式,過程如下:

第3題

本題中,切線經(jīng)過的點M(0,16)不在曲線上,所以M點肯定不是切點,這種情況的求解方法和上題完全相同。

第4題

題中給出了切線的斜率,設(shè)出切點坐標(biāo),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可列一個關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程,由此可以求出切點坐標(biāo),最后使用點斜式就可以求出切線方程。

第5題

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)函數(shù)的最小值就是切線斜率的最小值。

第6題

注意區(qū)分f'(x)和f'(1):f'(x)是一個函數(shù),它的值通常隨著自變量x的變化而變化;f'(1)是當(dāng)x=1時f'(x)的函數(shù)值,它是一個常數(shù);所以下面第一行在求f'(x)時,f'(1)是作為一個常數(shù)進行求導(dǎo)運算的。

第7題

曲線在x=1處的切線與x=0處的切線平行,這句話說明:曲線在x=1處的切線與x=0處的切線的斜率相等;由此可以得到等式①,解方程即可求出a的值,然后按照常規(guī)方法即可求出曲線在x=-1處的切線方程。

第8題

分析:為了區(qū)分兩條曲線,咱們設(shè)f(x)=lnx+2,g(x)=ln(x+1);曲線的公切線問題,一般需要把兩條曲線分開考慮,先考慮切線y=kx+b與曲線f(x)=lnx+2相切:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,“切線的斜率k等于導(dǎo)函數(shù)在切點處的函數(shù)值”可以列出等式①;再根據(jù)切點在切線上,又在曲線上,可以列出等式②;詳細(xì)過程如下:

目前列出了兩個方程,方程中有3個參數(shù),所以方程個數(shù)不夠,需要繼續(xù)列方程;現(xiàn)在考慮切線y=kx+b與曲線g(x)=ln(x+1)相切,過程思維同上:

4個方程,方程中共有4個參數(shù),恰好列方程組可以求出參數(shù)b的值;解方程組詳細(xì)的過程如下:

第9題

切線的斜率等于傾斜角的正切值,則只需根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率的表達式。

第10題

分析:題中有兩個參數(shù)a和b,需要列兩個方程,先列第一個方程:

再列第二個方程,聯(lián)立兩個方程,解方程組即可求出參數(shù)a和b的值:

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