45°角的處理技巧與幾何綜合題

如圖，已知菱形 ABCD 中，點(diǎn) E 是對(duì)角線(xiàn) BD 延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且 BD = 8 ，DE = 2, 連接 AE ，∠BAE= 45°，求菱形的邊長(zhǎng)。

【解析一】題設(shè)中出現(xiàn)了菱形的一條對(duì)角線(xiàn)，根據(jù)菱形對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)，連接另一條對(duì)角線(xiàn)。又因?yàn)?∠BAE = 45°，它的兩倍剛好是 90°，把AO 沿 ∠BAE 的兩邊向外翻折構(gòu)成正方形。

解：如圖 1 ，連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O ，把AO 沿∠BAE 的兩邊AB、AE向外翻折到AF、AG 的位置，連接 FB 、GE ，分別延長(zhǎng)FB 、GE相交于點(diǎn) H 。

∵ 四邊形ABCD 是菱形，

∴ AC ⊥ BD ，

∵ BD = 8，DE = 2 ，

∴ BO =4  , OE = 6 , BE = 10 ,

∵ 翻折，

∴ △ABF ≌△ABO ，△AEG ≌ △AEO ，

∴ ∠F =∠AOB = 90°，∠G = ∠AOE = 90°，

   ∠FAB = ∠OAB ，    ∠GAE = ∠OAE ，

   AF = AO = AG ，F(xiàn)B =OB = 4 ，GE = OE = 6 ，

∵ ∠BAE =45°，

∴ ∠FAG ==90°= ∠F = ∠G ，

∴ 四邊形AGEF 是正方形，

∴ ∠FHG =90° ；

設(shè) AO = AF= AG = EF = EG = x ,

則 BH = x– 4 , EHA = x – 6 ，

由勾股定理得

（x – 4）² + （x – 6）² = 10² ，

解得 x₁= 12 ， x₂ = - 2 （不合題意，舍去）

∴ AB²= 12² + 4² ，

【解法關(guān)鍵點(diǎn)】利用倍（半）角原理通過(guò)翻折得到正方形。

【解析二】如下圖，因?yàn)?∠BAE = 45°，過(guò)點(diǎn) E 作 AE的垂線(xiàn)構(gòu)造等腰直角三角形AEM ，再過(guò)點(diǎn) M 作 MN ⊥ DE 于 N ，構(gòu)造一線(xiàn)三垂直和相似三角形。

解：連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O ，過(guò)點(diǎn) E 作 EM ⊥ AE 交 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) M ，過(guò)點(diǎn) M 作 MN ⊥ BE 于 N ，

∵ 四邊形ABCD 是菱形，

∴ AC ⊥ BD ，

∵ BD = 8，DE = 2 ，

∴ BO =4  , OE = 6 ；

∵ EM ⊥ AE ，∠BAE = 45°，

∴ ∠AEM =90° ，∠BAE = ∠AME = 45°，

∴ AE =EM ；

∵ ∠AEN +∠NEM = 90°，∠NEM + ∠NME = 90° ，

∴ ∠AEN =∠NME ；

在 △AOE 和△ENM 中，

∠AEN =∠NME，∠AOE = ∠ENM = 90° ，AE = EM，

∴ △AOE ≌△ENM （AAS），

∴ EN = AO ，NM = OE =6 ；

∵ AC ⊥ BD ，MN ⊥ BE ，

∴ AO ∥ MN ,

∴ △AOB ∽ △MNB ，

【解法關(guān)鍵點(diǎn)】利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形，繼而構(gòu)造一線(xiàn)三垂直模型和相似模型。

【解析三】如圖 3 ，利用菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，構(gòu)造等腰直角三角形，得到一線(xiàn)三等角模型。結(jié)合相似等知識(shí)解決問(wèn)題。

解：如圖 3 ，連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O ，在 OA 上分別截取 OK = OB ,OL = OE , 連接 BK 、LE 。

∵ 四邊形ABCD 是菱形，

∴ AC ⊥ BD ，

∵ BD = 8，DE = 2 ，

∴ BO =4  , OE = 6 ；

∵ OK =OB ,OL = OE ,

∴ ∠OKB =∠OBK = 45°，∠OLE = ∠OEL = 45°，

∴ BK = 4 ，LE = 6 ；∠AKB = ∠ALE = 135°；

∵ ∠BAE +∠ABE = ∠OKB = 45°，∠EAL + ∠BAK = 45° ，

∴ ∠EAL =∠ABK ，

∴  △EAL ∽ △ABK ；

【解法關(guān)鍵點(diǎn)】利用菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，構(gòu)造等腰直角三角形，得到一線(xiàn)三等角模型。

【解析四】以點(diǎn)A 為原點(diǎn)，AE 所在直線(xiàn)為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn) B 作 BQ ⊥ x 軸于點(diǎn) Q ，延長(zhǎng) CD 交 x 軸于點(diǎn) P 。設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為B（n ，n）, PE 的長(zhǎng)為 m 。結(jié)合勾股定理和相似三角形列方程組解決問(wèn)題。

解：連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O ，

∵ 四邊形ABCD 是菱形，

∴ AC ⊥ BD ，

∵ BD = 8，DE = 2 ，

∴ BO =4  , OE = 6 , BE = 10 ,

以點(diǎn) A 為原點(diǎn)，AE 所在直線(xiàn)為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn) B 作 BQ ⊥ x 軸于點(diǎn) Q ，延長(zhǎng) CD 交 x 軸于點(diǎn) P 。設(shè) 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為B（n ，n）, PE = m 。

∴ AQ = BQ = n ；

∵ 四邊形ABCD 是菱形，

∴ AB ∥ CD ，