典型例題1：等邊三角形+對角互補，求證角平分線

1、如圖，D為等邊△ABC外一點，若∠BDC＝120°，求證：AD平分∠BDC.

解題思路：

①思路1：對角互補-截長補短。已知∠BAC=60°，∠BDC=120°，所以得知四邊形ABDC對角互補，又因為AB=AC，所以可以進行截長補短或者旋轉；即將△ABD繞點A逆時針旋轉60°，或者將△ACD繞點A順時針旋轉60°，都可求解得到△ADE為等邊三角形。

②思路2：逆用角平分線定理。已知AB=AC，可作垂線AE和AF；由對角互補可以倒角知∠ABE=∠ACF，所以可用兩次全等證得結果。

③思路3：四點共圓。由對角互補可知四點共圓，弦相等則角相等，得出角平分線。

總結經驗：

①對角互補，鄰角互補可以導出角相等，而共頂點的等線段則是旋轉思路的基本由來；

②滿足對角互補及共頂點的等線段，則可逆用角平分線定理作輔助線；

③用四點共圓的思維去解決幾何當中的角度問題是相對比較簡單的。

典型例題2：等邊三角形+角平分線，證對角互補

2、如圖，D為等邊△ABC外一點，若AD平分∠BDC，求證：∠BDC＝120°.

解題思路：

①思路1：角平分線定理。已知角平分線，則依據角平分線定理構建垂線，證兩次全等三角形可知∠ABE=∠ACF，則可推導到對角互補，所以∠BDC=120°.

②思路2：截長補短倒角。延長DB至點E使得DE=DC，根據角平分線構造全等三角形，即可以得到AE=AC=AB，則∠E=∠ACD=∠ABE， 則可在四邊形ABDC中導出對角互補，所以∠BDC=120°.

總結經驗：

碰到角平分線可以直接應用角平分線定理作垂線；對角互補模型的應用與角平分線性質結合起來，才有更清晰的輔助線作法；

典型例題3：對角互補+角平分線，證等邊三角形

3、如圖，D為△ABC外一點（BD ＜CD），∠BAC＝60°，若∠BDC＝120°，AD平分∠BDC，求證：AB＝AC.

解題思路：

①思路1：角平分線模型的應用。方法一延長DB至點E使得DE=DC，根據全等三角形倒角，結合對角互補可知AE=AC=AB，所以得證；方法二在DC上截取DE=DB，則一樣根據全等三角形倒角，結合對角互補可知AE=AC=AB，所以得證.

②思路2：構造等邊三角形。因為∠ADC等于60°，則構造等邊△ADE，可以證得△ABD全等△ACE，則可證得AB=AC。

總結經驗：

存在60°角的時候，構造等邊三角形，是幾何證明題當中最重要的輔助線作法之一。

典型例題4：等邊三角形+60度，證角平分線

4、如圖，D為等邊△ABC外一點，若∠ADC＝60°，求證：AD平分∠BDC.

解題思路：

①思路1：構造等邊△ADE。兩個等邊三角形共頂點得到手拉手模型，即可得到∠ADB=∠AEC=60°，所以AD平分∠BDC.

②思路2：截取AE=CD。則可證得△ABE全等△CBD，可得到BE=BD，∠ABE=∠CBD，可推導得到∠EBD=60°，所以△BDE為等邊三角形，所以AD平分∠BDC.

總結經驗：

方法二中，根據8字模型倒角可知∠BAD=∠BCD，又因為AB=CB，則根據最基本的全等三角形條件構造可得到輔助線作法。此法最基礎也最容易被學生忽略。

典型例題5：等腰三角形+角平分線，證等邊三角形

5、如圖，D為△ABC外一點，若∠ABC＝∠ADB＝∠ADC＝60°，求證：AB＝AC.

解題思路：

①思路1：構造等邊△BDG?？勺C得△ABG全等△CBD，所以AB=BC，所以△ABC為等邊三角形，即AB=AC。

②思路2：四點共圓。角相等，得出四點共圓，同弦所對的圓周角相等，則可推導出∠ADB=∠ACB=60°，所以△ABC為等邊三角形，即AB=AC。

總結經驗：

方法1中，構造等邊三邊形，一條輔助線得出全等三角形的三個條件，俗稱“一石三鳥”，此方法熟能生巧，需要多思考多總結。