題目：如圖，已知 AD 是⊙O 的直徑，D 是 BC 中點，AB 、AC 交⊙O 于點 E 、F ，EM 、FM是⊙O 的切線， EM 、 FM 相交于點 M ，連接 DM .

求證： DM ⊥BC.

如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘后，再繼續(xù)。

解法一：

觀察圖形、已知條件和結(jié)論，第一印象就是DM垂直平分BC，構(gòu)成了一個對稱圖形的框架。連接MB,MC，如果能證明MB=MC，則結(jié)論成立。但難以構(gòu)建以MB,MC為邊的全等形，所以考慮在D點兩側(cè)尋找新的對稱點。

注意到和都是直角三角形，自然想到嘗試以BD和CD的中點為頂點來構(gòu)建全等形，因為這樣可以利用上斜邊中線相等的條件。

所以取BD中點I,CD中點J，連接MI,MJ，有了EI=JI,MI=MI，只要能證明夾角相等，就大功告成了。

切線ME和直徑AD構(gòu)成了三個直角：

所以左邊三個綠色小角相等，同理，右邊三個粉色小角相等。

而我們要證明的

在圓內(nèi)接四邊形AEDF中，

所以成立

已知條件和結(jié)論會師。

解法二：

觀察已知條件的特征，思考如何把這些分散的條件湊到一起，相互和諧。

一個觀察點是E,F是切點，那么ME=MF,MD為公共邊，當(dāng)然，三角形EDM和FDM明顯不全等，以不相似，那么如果合理地轉(zhuǎn)化這兩對相等線段，讓它們發(fā)揮作用呢？一個嘗試的方向是用相似作等量代換。

如果能分別找到三角形EDM和FDM的相似三角形，那么這兩個三角形也應(yīng)該有兩條對應(yīng)邊分別相等。

再看已知條件里還有DB=DC,意味著如果我們把BC上下平移的話，平行線被AB,AD,AC截出來的兩條線段是相等的。如果把平行線移到過圓心O的位置，那么還有半徑相等的線段，很可能構(gòu)成一對滿足相似條件的三角形。

如上圖，把BC平移到過圓心O的位置，得到IO=JO,連接OE,OF后，OE=OF，

注意到

所以大膽猜想兩個紅色三角形和兩個綠色三角形分別相似。

這時候可以把結(jié)論也放進來了。如果DM垂直于BC，那么角IOE和角DME的兩邊分別垂直，兩角相等，說明相似成立。

至此，已知條件和結(jié)論推論已經(jīng)統(tǒng)一在一起了，但還不能稱為會師。

因為從,還不能逆推IJ⊥DM。

所以，需要稍微變更一下輔助線的做法，變成過O作IJ⊥DM，由此順利得到兩對三角形相似，等量代換后得到IO=JO，由BD=CD反過來證明IJ//BC，最后得到BC⊥DM.

總結(jié)：垂直與對稱的關(guān)系緊密，而對稱又和全等三角形有很強的關(guān)系，這一思路在解題中常見。切線和直徑在一起的圖形中，有許多角的等量關(guān)系，相似三角形以及線段成比例關(guān)系，要能嫻熟運用。

解法二的證法和上題的解法二有很類似的地方，需要對相似三角形的對應(yīng)邊成比例、等量代換有熟練的運用。

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