憑什么同一張紙揉成團(tuán)就比紙片下落得快？

在講自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，我們往往會(huì)使用一個(gè)自然而然、司空見慣的實(shí)驗(yàn)：

取同樣的兩張紙，一張揉成團(tuán)，一張平整著，同時(shí)松手令其下落，結(jié)果紙團(tuán)比紙片運(yùn)動(dòng)得快，迅速落到地面上。

元旦的晚上，一小伙伴忽然在微信里拋過來一個(gè)問題：憑什么啊？并傳過來她的推導(dǎo)過程。

于是看一下小伙伴的推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)確實(shí)啊，空氣阻力如果取經(jīng)驗(yàn)的的話，人家紙片速度小，阻力也小啊，雖然截面積大，可是一大乘一小，還真不能一句話說明白誰阻力大、誰阻力小啊。

所以這應(yīng)該是個(gè)好問題。

于是推導(dǎo)了一通，做了一個(gè)粗略的計(jì)算，回復(fù)。但總覺得仍然不夠通透，隔靴搔癢，差著點(diǎn)兒意思。今天重新細(xì)致做了一些測(cè)量和計(jì)算，應(yīng)該比昨晚的推導(dǎo)更好一些。記錄于此。

紙團(tuán)下落加速度的推導(dǎo)

空氣阻力里面的參數(shù)中，空氣密度，迎風(fēng)面截面積，經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，一般用風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室測(cè)量得出，根據(jù)實(shí)際情況，經(jīng)驗(yàn)上可取、之間。

不妨設(shè)紙團(tuán)為正球體，半徑，密度，則

得

得

紙片下落加速度的推導(dǎo)

假設(shè)紙片下落時(shí)，紙張只做平動(dòng)，空氣是平穩(wěn)的，紙張也只是沿直線下落下去。

這里把紙張做一下折合。把一張A4紙折合成圓平面，假設(shè)折合后的圓半徑為。A4紙面積約為，估算出。

這個(gè)時(shí)候，我們找一本書籍來測(cè)量一下厚度，彼得·德魯克的經(jīng)典《管理的實(shí)踐》，大約頁，厚度，則得一張紙的厚度，即。

假設(shè)紙團(tuán)捏得足夠緊實(shí)，使紙團(tuán)的體積與圓紙片的體積是相等的，這樣就得到

估算出大約。也就是，如果把紙團(tuán)轉(zhuǎn)換成同體積圓柱體，迎風(fēng)面的圓半徑增大了12倍，這與實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)相比，似乎要大一些。但應(yīng)該不會(huì)太過于影響我們的估算。

這樣只需把前面式中的替換成，其它不動(dòng)即可用來求紙片加速度，即

求解微分方程

列一下兩個(gè)微分方程的樣子。

紙團(tuán)：

紙片：

對(duì)式子，寫成

兩邊積分(折騰了好久，功力已漸散啊好痛苦最后不得不去查積分表)得到

紙團(tuán)下落

觀察式和中前的系數(shù)，令，不妨取，則，分別代入式，則可估算出

紙團(tuán)下落

紙片下落紙團(tuán)下落

最終解釋

現(xiàn)在用幾何畫板畫出來前面解出的式和式函數(shù)圖像，可見在相等時(shí)間里，圖線與坐標(biāo)軸包圍的面積實(shí)在是相差的太多了，紙片剛一起動(dòng)下落，就達(dá)到了最大速度，再也追不上紙團(tuán)了。