我要點(diǎn)名表?yè)P(yáng)一下！這個(gè)楷體我很喜歡，以后就是這個(gè)排版了，不準(zhǔn)反對(duì)！??！

2.5 商群和正規(guī)子群

參考文獻(xiàn)：

1. 上課筆記
2. 抽象代數(shù)，樊惲等
3. 抽象代數(shù)，姚慕生（復(fù)旦）

從下一次開(kāi)始我們又要引入英文書(shū)的內(nèi)容請(qǐng)做好準(zhǔn)備喲！

上一節(jié)中我們已經(jīng)可以看到，當(dāng)建立了陪集的概念之后，我們就可以建立一種等價(jià)關(guān)系：設(shè)是一個(gè)群，：

即我們通過(guò)的右陪集建立了一種等價(jià)關(guān)系,現(xiàn)在我們想要在這種等價(jià)關(guān)系下建立的商集中定義合理(well-defined)的運(yùn)算，使之成為一個(gè)群，我們事先給商集建立的群起個(gè)名字-商群.

一種自然的定義方法就是：

注意到這種定義的二元運(yùn)算在某些程度上以來(lái)于原來(lái)群的結(jié)構(gòu)，因?yàn)橛疫叺?span style=" cursor: pointer; ">是原來(lái)群中的二元運(yùn)算.首先我們需要看看怎樣定義才能是是well-defined,即我們定義的運(yùn)算和代表元的選取是無(wú)關(guān)的.

?

問(wèn)題：設(shè)是一個(gè)群，,當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，通過(guò)上述定義的運(yùn)算結(jié)果跟代表元的選取無(wú)關(guān)？

?

分析：設(shè),即：,所以：

又因?yàn)?

若：,那么有：,所以：

由于上述中的沒(méi)有任何特異性，所以應(yīng)該對(duì)任意的都有上述命題成立.又因?yàn)閷?duì)任意的,自然兩邊取逆也是對(duì)的，所以：,那么我們就可以得到：.同樣我們逆回去推也是正確的.

因此，我們得到一個(gè)重要的結(jié)論：上述定義與代表元的選取無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng).下邊我們來(lái)驗(yàn)證在這樣的定義下，是否成群：

1. 封閉自然滿(mǎn)足，結(jié)合自然滿(mǎn)足；
2. 幺元存在；
3. 逆元存在.(事實(shí)上你還需要看看逆元是否與代表元的選取有關(guān)，當(dāng)然這是容易驗(yàn)證的，它確實(shí)與代表元的選取無(wú)關(guān).)

下邊我們正式給出正規(guī)子群的定義：

?

[正規(guī)子群] 設(shè)是群的子群，若對(duì)于任意的,都有：,則稱(chēng)是群的正規(guī)子群(或不變子群)，記為：

?

很自然的我們就會(huì)問(wèn)怎樣判定一個(gè)子群是正規(guī)子群？

?

[正規(guī)子群的判定定理]設(shè) 是群 的子群. 以下3條等價(jià):

3. ;

?

證明:

(1):因?yàn)?span style=" cursor: pointer; ">是正規(guī)子群所以：.

(2) 因?yàn)椋?span style=" cursor: pointer; ">,所以.將的位置左乘，右乘就可以得到.所以.

(3)顯然，左乘即可.

下邊我們也正式給出我們開(kāi)篇就提出的商群的定義：

?

[商群]設(shè)是群的子群，為的全體左陪集所成的商集，則定義：

是上的運(yùn)算的充要條件是：,即使的正規(guī)子群.此時(shí)我們稱(chēng)群對(duì)正規(guī)子群的商群.?

點(diǎn)評(píng)：正規(guī)子群的重要性在于可以利用它定義商集，使其成為一個(gè)群.而這是一般的陪集做不到的，因?yàn)?span style=" cursor: pointer; ">如果不是正規(guī)子群那么它定義的運(yùn)算就不是一個(gè)合理運(yùn)算.

?

命題：設(shè)群 的子群 不是正規(guī)的, 證明: 在左陪集集合 上不能用左陪集代表元的運(yùn)算來(lái)合理定義商集 的運(yùn)算.

?

證明：因?yàn)?span style=" cursor: pointer; ">不是正規(guī)子群，所以存在使，;又因?yàn)椋?span style=" cursor: pointer; ">,現(xiàn)考慮：和但否則：

這與前提矛盾，故命題得證.