現(xiàn)代幾何----超越作圖,極其抽象的的數(shù)學學科 前幾篇偉崗聊了一些彎曲空間的問題,引發(fā)思考的是歐幾里得的第五公設。大眾的思維一般不愿意脫離直觀性,可惜數(shù)學發(fā)展到一定階段,直觀性就會出現(xiàn)矛盾,這也是一個奇特的地方。數(shù)學的發(fā)展最終肯定會發(fā)現(xiàn)人類直接觀察世界的不足甚至錯誤,經(jīng)過嚴格的數(shù)學推理,甚至可能得到一個與直觀世界完全相反的場景,這個對絕大多數(shù)人來說都是不能接受的,至少要經(jīng)過很長時間的消化才能理解。 羅巴切夫斯基打破直觀的平行世界,當時完全沒有被理解也就顯得非常自然了。就是后來得到大多數(shù)數(shù)學家家青睞的黎曼,他發(fā)表的第一篇黎曼幾何論文也一樣完全被忽視。其實擺在數(shù)學家面前的最大障礙應該是如何深入研究那些完全不能畫出圖形物體的幾何性質(zhì)?在邏輯沒有問題的情況下,任何數(shù)學家都必須承認羅巴切夫斯基幾何的存在,但是承認后接下來該怎么辦?這才是最最關鍵的。 從現(xiàn)在的結(jié)局看,幾何的研究成了集合論的主要部分,也就是說,研究幾何已經(jīng)不研究圖形,甚至不研究具體加減乘除運算,因為沒有對象給你直接去加減乘除,而是研究物體幾何性質(zhì)的集合規(guī)律是什么。這一點大多數(shù)人聽起來就頭大。也是現(xiàn)代數(shù)學脫離大眾的一個重大原因。 數(shù)學究竟研究什么?這個問題到了現(xiàn)代也不是那么明顯好回答的了。從只能研究離散的數(shù),到微積分研究連續(xù)變化的事物規(guī)律也得心應手,再到用集合思維去研究物體的幾何性質(zhì),數(shù)學研究的范圍已經(jīng)超過所有人的想象。 你要拿起任何一本關于微分幾何的教科書,你可能五頁都看不進去,一個巨大的疑問在你心中升起:這到底是在研究啥? 流形是微分幾何研究的一個重要部分,但什么是流形呢?一個粗略的解釋說,流形是一個好的歐幾里得空間中的幾何圖形。但是這個好又怎么解釋呢?從大體上講,就是局部沒有什么大的突變,比如空心,或者突然變大變小。這個似乎好理解。但是要把它翻譯成數(shù)學語言就非常難了,特別是一些突破歐幾里得幾何限制的幾何圖形能不能也是流形呢?肯定是能,否則流形的研究就大打折扣,任何幾何圖形都可能是流形,這樣研究流形就突破了諸如平行公設的限制。 事情開始復雜起來,由于不是歐氏空間中的幾何,形狀樣子已經(jīng)脫離了人類的想象,直接研究它們會非常困難。數(shù)學家想出了一個高招,就是用映射的方式來對付復雜的幾何圖形。簡單講就是,如果存在一個映射,能夠把復雜幾何物體一一對應到一個歐氏空間中的流形,那么這個復雜物體的幾何特征也是流形,這種存在一一映射關系的兩個幾何體,數(shù)學上叫同胚。 所以可以這樣理解,數(shù)學家先確定復雜物體(不管它是存在于歐氏空間還是非歐空間)幾何性質(zhì)的集合,然后找一個一一對應的映射,把復雜物體化作標準歐氏空間中好的幾何體,這樣復雜物體的幾何特征就可以研究出來的。 這個一系列操作貌似非常難,至少有下面兩大障礙:第一,復雜物體的幾何特征集合怎么確定?第二一一對應的映射怎么找?整體確定一個非常復雜物體的幾何特征集合幾乎是不可能的,數(shù)學家想到的是,只研究局部,也就是用微積分的手段研究復雜物體極小范圍的幾何特征,用小范圍的性質(zhì)來決定整個物體的幾何特征,這就是所謂的微分幾何。 接下來的問題就是映射怎么決定?這個問題就要思維拓展開來,不能把映射看成簡單的數(shù)學公式,它是一種廣泛的對應。比如說如果一個物體能展開成平面,那么這個物體就存在一個一一對應的映射關系,把這個物體跟平面關聯(lián)起來,也就是說跟平面同胚。 具體數(shù)學上是如何推理和演算的,這個就非常難解釋了。需要對數(shù)學很有興趣的人去深入鉆研。一般只要理解所謂微分幾何就是通過極小部分的映射對應,把復雜物體跟好的歐氏幾何物體等同起來,再用微積分的手段,確定這個復雜物體的幾何特征。 讀到這里,相信很多人會有這樣的疑問,我要知道這些內(nèi)容干啥?這個問題也很難回答。也許保持對數(shù)學高深理論的興趣會提高你的科學素養(yǎng),特別是對數(shù)學的理解和思考。數(shù)學內(nèi)容已經(jīng)發(fā)展得太深奧了,即使數(shù)學家對自己沒有研究的數(shù)學內(nèi)容也完全理解不了,更何況普通人。不過如果你持續(xù)對數(shù)學知識充滿好奇,偶爾也接觸一下深邃的數(shù)學內(nèi)容,你就會在你平時需要數(shù)學知識時,輕松學好那些實用的數(shù)學,畢竟你連數(shù)學家研究的數(shù)學內(nèi)容都很好奇的接觸過,平時的數(shù)學知識對你根本就沒有難度了。 |
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