邊緣檢測之孤立點檢測及Python實現(xiàn)

mediatv 2021-12-02

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1 邊緣檢測背景知識

邊緣即指圖像中連接在一起的像素值發(fā)生突變的像素點的集合，故邊緣檢測則為檢測出圖像中所有的邊緣

1.1 處理方法

根據(jù)邊緣像素的像素值突變的特性，可以想象到導(dǎo)數(shù)是一種即為有效的手段。而在圖像中的像素值是離散的值，故在實際邊緣檢測算法中采用差分來近似導(dǎo)數(shù)。

1.2 一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)

即一階導(dǎo)數(shù)

$\frac{\partial f}{\partial x}=f^{\prime}(x)=f(x+1)-f(x)$
而對于二階導(dǎo)數(shù)

$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial f^{\prime}(x)}{\partial x}=f^{\prime}(x+1)-f^{\prime}(x)$
又根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的差分公式可得

$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=f(x+2)-2 f(x+1)+f(x)$
而對于上式，可知其為關(guān)于 $x+1$ 的差分，故 $-1$ 可得到關(guān)于 $x$ 的差分

$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=f^{\prime \prime}(x)=f(x+1)+f(x-1)-2 f(x)$
綜上可知

$\frac{\partial f}{\partial x}=f^{\prime}(x)=f(x+1)-f(x)$
$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=f^{\prime \prime}(x)=f(x+1)+f(x-1)-2 f(x)$

2 孤立點的檢測

2.1 拉普拉斯算子

在圖像中，灰度值的變化是雙向的—— $X$ 軸與軸。換句話說，在檢測邊緣像素點時，需要考慮到兩個方向的梯度。而拉普拉斯算子在二維空間的表達(dá)式為

$\nabla^{2} f(x, y)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$
即為兩個方向上的二階導(dǎo)數(shù)之和，而二階導(dǎo)數(shù)相對于一階導(dǎo)數(shù)對于像素點的變化更為敏感，則應(yīng)用拉普拉斯算子可十分有效的檢測到孤立點。當(dāng)然，也正因為拉普拉斯算子對于變化十分敏感，噪聲對其的影響較大。

根據(jù)1.2中二階導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)式，可得拉普拉斯算子如下

$\nabla^{2} f(x, y)=f(x+1, y)+f(x-1, y)+f(x, y+1)+f(x, y-1)-4 f(x, y)$

2.2 檢測規(guī)則

在點 (x, y) 計算的拉普拉斯算子的絕對值大于指定的閾值時（即該點的像素值變化明顯），則認(rèn)為該點為邊緣點；對于輸出圖像中該位置為亮點。否則，為暗點。表達(dá)式如下

$g(x, y)=\left\{\begin{array}{l}{1，|\nabla^{2} f(x, y)| \geqslant T} \\ {0，other}\end{array}\right.$

2.3 空間濾波器

在計算圖像中的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)時，空間濾波器是常用計算方法。計算過程為模板系數(shù)與在計算點處模板所對應(yīng)的像素點的灰度值的乘積之和。當(dāng)模板系數(shù)之和為時，表示對于恒定灰度區(qū)域計算的模板想要為。

$R=w_{1} z_{1}+w_{2} z_{2}+\cdots+w_{n} z_{n}=\sum_{k=1}^{n} w_{k} z_{k}$

為模板系數(shù)的個數(shù)
為模板系數(shù)
為對于的像素值

例：計算拉普拉斯算子

$3 \times 3$ 空間濾波器模板

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

對應(yīng)灰度值

$\begin{bmatrix}f(x-1, y-1) &f(x, y-1) &f(x-1, y+1) \\f(x-1, y) &f(x, y) &f(x+1, y) \\f(x+1, y-1) &f(x, y+1) &f(x+1, y+1) \end{bmatrix}$

兩個矩陣元素對應(yīng)相乘相加則為拉普拉斯算子

$\nabla^{2} f(x, y)=f(x+1, y)+f(x-1, y)+f(x, y+1)+f(x, y-1)-4 f(x, y)$

2.4 Code

import numpy as np

def point(intput_signal, threshold):
    '''
    點檢測（使用于灰度圖）
    :param intput_signal:   輸入圖像
    :param threshold:   拉普拉斯算子閾值
    :return:    點圖像
    '''
    intput_signal_cp = np.copy(intput_signal)   # 輸入圖像的副本

    m, n = intput_signal_cp.shape   # 輸入圖像的尺寸（行、列）

    output_signal = np.zeros((m, n))  # 檢測點的輸出

    # 空間濾波模板
    filtering_template = np.array([
        [0, 1, 0],
        [1, -4, 1],
        [0, 1, 0]
    ])

    point_matrix = np.zeros((3, 3)) # 矩陣灰度值，用于計算拉普拉斯算子

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            # 該像素點灰度值
            point_matrix[1, 1] = intput_signal_cp[i, j]

            # 該像素點周圍的點的灰度值，如若已至邊界則視為0
            if i - 1 >= 0:
                point_matrix[0, 1] = intput_signal_cp[i-1, j]
            if i + 1 < m:
                point_matrix[2, 1] = intput_signal_cp[i+1, j]
            if j - 1 >= 0:
                point_matrix[1, 0] = intput_signal_cp[i, j-1]
            if j + 1 < n:
                point_matrix[1, 2] = intput_signal_cp[i, j+1]

            temp = abs(np.sum(point_matrix * filtering_template))    # 拉普拉斯算子值計算

            if temp >= threshold:
                output_signal[i, j] = 255  # 拉普拉斯算子大于閾值，則為亮點
            else:
                output_signal[i, j] = 0   #否則為暗點

            point_matrix = np.zeros((3, 3))  # 重置，為下一個點做準(zhǔn)備

    return output_signal