四點(diǎn)共圓的判定方法有很多，今天，我們只簡(jiǎn)單的介紹五種，并配上例題進(jìn)行說(shuō)明，

一、四點(diǎn)共圓五種判定方法：

1、對(duì)角互補(bǔ)法：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓；特殊情形——若一個(gè)四邊形有兩個(gè)對(duì)角都為90o，那么該四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓；

推論：同斜邊的直角三角形四點(diǎn)共圓。

2、同側(cè)共底邊三角形頂角相等法：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓(同弧所對(duì)圓周角相等）

也可表述為：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓。

3、中垂線法：連成的四邊形三邊中垂線交于一點(diǎn)，則這四點(diǎn)共圓．

證明：如圖,ABCD是連成的四邊形 其三邊ABCD DA的中垂線交于點(diǎn)O

因?yàn)镺E是AB的中垂線 所以O(shè)A=OB（線段中垂線上任何一點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等）

同理 有 OA=OD OD=OC

即OA=OB=OC=OD（四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等）

所以 A B C D四點(diǎn)共圓,圓心即連成的四邊形各邊中垂線的交點(diǎn).

4、相交弦定理的逆定理：把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；

5、割線定理的逆定理：或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．（見例5）

二、具體方法、例題解析

2.1、對(duì)角互補(bǔ)法

例1、已知：如圖，O 是半圓的圓心，C、E 是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求證：CD=GF

2.2、同側(cè)共底邊三角形頂角相等法（應(yīng)用較多）

例2、設(shè) MN 是圓 O 外一直線，過(guò) O 作 OA⊥MN 于 A，自 A 引圓的兩條直線，交圓于 B、C 及 D、E，直線 EB 及 CD 分別交 MN 于 P、Q．

求證：AP=AQ．

證明：作 E 點(diǎn)關(guān)于 GA 的對(duì)稱點(diǎn) F，連 FQ、FA，F(xiàn)C，

∵OA⊥MN，EF⊥OA，

則有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，F(xiàn)A=EA，

∵E，F(xiàn)，C，D 共圓

∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°﹣∠FCD，

∵∠PAF=180﹣∠FAQ，

∴∠FCD=∠FAQ，

∴FCAQ 四點(diǎn)共圓，

∠AFQ=∠ACQ=∠BED，

在△EPA 和△FQA 中

∠PEA = ∠QFA

AF = AE

∠PAE = ∠QAF

∴△EPA≌△FQA，

∴AP=AQ．

注：證兩線段相等，一般考慮證所在的兩三角形全等．

例3、設(shè) P 是平行四邊形 ABCD 內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA=∠PDA．

求證：∠PAB=∠PCB．

方法思路： 利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造新的平行線，將條件中相等但分散的角集中起來(lái)。過(guò) P 點(diǎn)平行于 AD 的直線，并選一點(diǎn) E，使 PE=AD=BC，利用 AD∥EP，AD∥BC，進(jìn)而得出 ∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出 AEBP 共圓，即可得出答案．

證明：作過(guò) P 點(diǎn)平行于 AD 的直線，并選一點(diǎn) E，使 PE=AD=BC，

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四邊形 AEPD 是平行四邊形，四邊形 PEBC 是平行四邊形，

∴AE∥DP，BE∥PC，

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP 共圓（一邊所對(duì)兩角相等）．

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，

∴∠PAB=∠PCB

例4、在銳角三角形ABC中，BE，CF是高，在BE、CF或其延長(zhǎng)線上分別截取CP＝AB、BQ＝AC，分別過(guò)P、Q作PM垂直BC，QM垂直BC，M、N是垂足，求證：PM＋QN＝BC。

證明：過(guò)A作AD⊥BC交BC于D。

∵CF⊥AF、CD⊥AD，∴A、F、D、C共圓，

∴∠BAD＝∠PCM。

∵∠BAD＝∠PCM、AB＝PC、∠ADB＝∠CMP＝90°，

∴△ABD≌△CPM，∴BD＝PM?！ぁぁぁぁぁあ?/span>

∵AE⊥BE、AD⊥BD，∴A、E、D、B共圓，∴∠CAD＝∠QBN。

∵∠CAD＝∠QBN、AC＝QB、∠ADC＝∠BNQ＝90°，

∴△ACD≌△BQN，∴CD＝QN。······②

由①、②，得：PM＋QN＝BD＋CD，顯然有：BD＋CD＝BC，

∴PM＋QN＝BC。

2.3、割線定理的逆定理

例5、如圖，PC 切圓 O 于 C，AC 為圓的直徑，PEF 為圓的割線，AE、AF 與直線 PO 相交于 B、D．求證：AB=DC， BC=AD．

證明：作 CQ⊥PD 于 Q，連接 EO，EQ，EC，OF，QF，CF，

所以 PC2=PQ·PO（射影定理），

又 PC2=PE·PF，

所以 EFOQ 四點(diǎn)共圓，

∠EQF=∠EOF=2∠BAD，

又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，

而 CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因?yàn)椤螦EC=∠PQC=90°，

故 B、E、C、Q 四點(diǎn)共圓，

所以∠EBC=∠EQC= ∠EQF/2= ∠EOF/2=∠BAD，

∴CB∥AD，

易證△AOD≌△COB，所以 BO=DO，即四邊形 ABCD 是平行四邊形，

∴AB=DC，BC=AD．

好了，今天的四點(diǎn)共圓證明的方法就介紹到這里，歡迎繼續(xù)關(guān)注，精彩還將繼續(xù)！