上世紀(jì)60年代，小說家赫爾曼·沃克（Herman Wouk）正在為他計劃中的巨著《戰(zhàn)爭風(fēng)云》做調(diào)研，他去加州理工學(xué)院采訪了參與過原子彈研發(fā)的物理學(xué)家，理查德·費曼（Richard Phillips Feynman）就是其中之一。采訪結(jié)束臨別之際，費曼問沃克是否了解微積分。沃克坦承他并不了解，于是費曼說道：

宇宙是高度數(shù)學(xué)化的， 但原因尚無人知曉。這或許是包含我們在內(nèi)的宇宙的唯一可行的存在方式，因為非數(shù)學(xué)化的宇宙無法庇護(hù)能夠提出這個問題的智慧生命。無論如何，一個神秘且不可思議的事實是，我們的宇宙遵循的自然律最終總能用微積分的語言和微分方程的形式表達(dá)出來。我敢打賭，如果有什么東西稱得上宇宙的奧秘，那么非微積分莫屬。

人類在不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)了這種奇怪的語言（先是在幾何學(xué)的隱秘角落里，后來是在宇宙密碼中），然后學(xué)會熟練地運用它，并破譯了它的習(xí)語和微妙之處，最終利用它的預(yù)測能力去重構(gòu)世界。

這是本書的中心論點。如果這個論點是正確的，那么它意味著關(guān)于生命、宇宙和萬物的終極問題的答案并不是42，為此我要向道格拉斯·亞當(dāng)斯和《銀河系漫游指南》的粉絲致歉。但“深思”（《銀河系漫游指南》中的一臺超級計算機）的解題思路是正確的，因為宇宙的奧秘確實是一系列數(shù)學(xué)問題。

《銀河系漫游指南》劇照，“深思”給出宇宙的終極答案：42（圖源duitang.com）

 費曼的那句妙語“微積分是上帝的語言”，引出了許多深奧的問題。我之所以寫作本書，就是為了讓每個人都能了解關(guān)于微積分的最精彩的思想和故事。我們不必為了理解微積分的重要性而學(xué)習(xí)如何做運算，就像我們不必為了享用美食而學(xué)習(xí)如何做佳肴一樣。

為了幫助你理解我們討論的方向，我先說一下什么是微積分。簡言之，微積分就是想讓復(fù)雜的難題簡單化，它十分癡迷于簡單性。這可能會讓你感到驚訝，因為微積分向來以復(fù)雜性著稱。

微積分成功的方法是，把復(fù)雜的問題分解成多個更簡單的部分。當(dāng)然，這種策略并不是微積分獨有的。微積分真正不同凡響和標(biāo)新立異的做法在于，它把這種分而治之的策略發(fā)揮到了極致，也就是無窮的程度。它不是把一個大問題切分成有限的幾小塊，而是無休無止地切分下去，直到這個問題被切分成無窮多個最微小并且可以想象的部分。

因此，微積分可分為兩個步驟：切分和重組。用數(shù)學(xué)術(shù)語來說，切分過程叫作微分學(xué)。重組過程叫作積分學(xué)。

現(xiàn)在，我們終于可以闡明這個偉大的理念了。

而這一切的難點就在于，我們需要和無窮打交道，但無窮是微積分中最令人頭疼的問題，它往往會掙脫主人的控制，不可避免地會攻擊創(chuàng)造出它們的人。

微積分的創(chuàng)造者意識到了這種危險，但仍然發(fā)現(xiàn)無窮的魅力不可抗拒。當(dāng)然，它偶爾也會發(fā)狂，帶來悖論、困惑和哲學(xué)災(zāi)難。不過，數(shù)學(xué)家每次都能成功地征服無窮怪物，理順?biāo)男袨?，讓它重回正軌。駕馭無窮并利用它的力量，這種欲望是一條貫穿微積分的2500年歷史的敘事線索。

無窮原則圍繞著方法論主題構(gòu)建了微積分的故事。但微積分既與方法論有關(guān)，也與謎題有關(guān)。最重要的是，有三個謎題促進(jìn)了微積分的發(fā)展，它們分別是曲線之謎、運動之謎和變化之謎。

一切都始于曲線之謎。

沒有人能算出一個球體的表面積或體積有多大，即使是求圓的周長和面積，在古代也是一個難題。人們既不知道該從何處著手，也找不到便于理解的平直部件。總之，所有彎曲的東西都難以捉摸。

微積分就是在這樣的背景下誕生的，它萌生于幾何學(xué)家對圓度的好奇心和挫敗感。圓、球體和其他曲線形狀是他們那個時代的“喜馬拉雅山脈”，它們激發(fā)了人類的冒險精神。就像攀登珠穆朗瑪峰的探險家一樣， 幾何學(xué)家之所以想解決曲線問題，是因為它們就在那里。

有些幾何學(xué)家堅持認(rèn)為“曲線事實上是由平直部件構(gòu)成的”，這種觀點帶來了突破性進(jìn)展。盡管這不是事實，但我們可以假裝它是真的。那么，唯一的問題就在于，這些部件必須無窮小，而且數(shù)量無窮多。通過這個巧妙的構(gòu)思，積分學(xué)誕生了，這是人們對無窮原則的最早應(yīng)用。多個世紀(jì)以來，世界上最偉大的數(shù)學(xué)家都在努力探究這個難題的解決辦法。不過，通過共同的努力（有時還伴有激烈的競爭），他們終于在破解曲線之謎上取得了進(jìn)展。

用微積分原理繪制的需下頜手術(shù)的患者面部模型（左二）和預(yù)測術(shù)后效果模型（右二）

之后，人們開始解決第二大謎題，也就是地球上和太陽系中的運動之謎。

我們將在本書的中間章節(jié)里看到，微積分的下一次重大進(jìn)步源于對運動之謎的探索。就像在破解曲線之謎時一樣，無窮原則再次挺身而出。這一次，我們的創(chuàng)造性假設(shè)是，速度不停變化的運動是由無窮多個無限短暫的勻速運動組成的。

17 世紀(jì)中期，微積分的發(fā)展時斷時續(xù)，非常緩慢，代數(shù)一部分?jǐn)?shù)學(xué)家當(dāng)作笑話，漸漸失去話語權(quán)。

這時有一個孩子在圣誕節(jié)那天出生了——早產(chǎn)兒，沒有父親，3 歲時又被母親遺棄了。想法消沉的孤寂男孩就這樣長成了沉默寡言、猜疑心重的年輕人，不過，名叫艾薩克·牛頓的他日后會在世界上留下空前絕后的印記。

艾薩克·牛頓

他先是通過把代數(shù)的符號與無窮的力量結(jié)合起來，他找到了一種方法，可以把任何曲線都表示成無窮多條簡單曲線（用變量x 的冪來描述，比如x2、x3、x4 等）的和。僅用這些“食材”，通過加一點兒x、少許x2 和滿滿一湯匙x3，他就可以“烹飪”出他想要的任何曲線。有了它，牛頓就能解決關(guān)于形狀或運動的任何問題了。

之后，他破解了宇宙密碼。他僅用幾個微分方程（他的運動和萬有引力定律），就能解釋包括炮彈的飛行軌跡和行星的運行軌道在內(nèi)的所有現(xiàn)象。牛頓的驚人的“世界體系”統(tǒng)一了天和地，掀起了啟蒙運動，改變了西方文化， 對歐洲的哲學(xué)家和詩人產(chǎn)生了巨大的影響。他甚至影響了托馬斯·杰斐遜和《獨立宣言》的起草。

 在破解了曲線之謎和運動之謎后，微積分轉(zhuǎn)向了它的第三個由來已久的謎題——變化之謎。

在執(zhí)行這項宏大計劃的過程中，微積分一直在與其他科技領(lǐng)域合作，為實現(xiàn)世界的現(xiàn)代化做出了貢獻(xiàn)。1917 年，阿爾伯特·愛因斯坦將微積分應(yīng)用于一個簡單的原子躍遷模型，從而預(yù)測出一種被稱為受激發(fā)射的神奇效應(yīng)。幾十年后，這個預(yù)測被證明是正確的。第一臺可運行的激光器在20世紀(jì)60年代初建成，從那時起，光盤播放機、激光制導(dǎo)武器、超市的條形碼掃描儀和醫(yī)用激光器等設(shè)備都離不開激光。

變化定律在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域并不像在物理學(xué)領(lǐng)域那樣為人熟知。然而，即便被應(yīng)用于基本模型，微積分也能對挽救生命做出貢獻(xiàn)。比如，在微積分提供的對病毒繁殖速度的新認(rèn)識的幫助下，HIV感染已經(jīng)從幾乎被判了死刑的疾病轉(zhuǎn)變?yōu)榭煽刂频穆约膊　?/span>

不可否認(rèn)的是，我們身處一個不斷變化的世界之中，它的某些方面超出了無窮原則固有的近似性和出自主觀愿望的想法，比如量子力學(xué)不再遵循牛頓運動定律?？杉词乖谂ｎD的物理學(xué)行不通的亞原子領(lǐng)域，他的微積分也依然有效。事實上，它的表現(xiàn)相當(dāng)出色。

現(xiàn)在是時候去更深入地了解宇宙的語言了，當(dāng)然，我們這趟旅程的起點是“無窮”站。