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摘要

面板向量自回歸（VAR）模型在應(yīng)用研究中的應(yīng)用越來越多。雖然專門用于估計時間序列VAR模型的程序通常作為標(biāo)準(zhǔn)功能包含在大多數(shù)統(tǒng)計軟件包中，但面板VAR模型的估計和推斷通常用通用程序?qū)崿F(xiàn)，需要一些編程技巧。在本文中，我們簡要討論了廣義矩量法（GMM）框架下面板VAR模型的模型選擇、估計和推斷，并介紹了一套Stata程序來方便地執(zhí)行它們。

一、簡介

時間序列向量自回歸 (VAR) 模型起源于宏觀計量經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)，作為多元聯(lián)立方程模型的替代品 (Sims, 1980)。VAR 系統(tǒng)中的所有變量通常都被視為內(nèi)生變量，盡管可能會根據(jù)理論模型或統(tǒng)計程序來確定限制，以解決外生沖擊對系統(tǒng)的影響。隨著 VAR 在面板數(shù)據(jù)設(shè)置中的引入（Holtz-Eakin、Newey 和 Rosen，1988），面板 VAR 模型已在跨領(lǐng)域的多個應(yīng)用中使用。

在本文中，我們簡要概述了廣義矩量法 (GMM) 框架中面板 VAR 模型的選擇、估計和推理，并提供了一組 Stata 程序，我們使用國家縱向調(diào)查和投資、收入和消費(fèi)數(shù)據(jù)。包括實(shí)現(xiàn)Granger(1969)因果關(guān)系檢驗(yàn)的子程序，以及按照Andrews和Lu(2001)進(jìn)行的最佳時刻和模型選擇。

2.面板向量自回歸

我們考慮具有特定面板固定效應(yīng)的階數(shù) -變量面板 VAR，由以下線性方程組表示：

其中，是因變量的（1）向量；是外生協(xié)變量的（1）向量；以及分別是因變量特定的固定效應(yīng)和特異性誤差的（1）向量。矩陣和矩陣是要估計的參數(shù)。我們假設(shè)創(chuàng)新點(diǎn)具有以下特征。

上面的參數(shù)可以與固定效應(yīng)聯(lián)合估計，或者在一些轉(zhuǎn)換后獨(dú)立于固定效應(yīng)，使用普通最小二乘法 (OLS)。然而，由于方程組右側(cè)存在滯后因變量，即使是大的估計也會有偏差（尼克爾，1981）。盡管偏差隨著變大而趨近于零，但 Judson 和 Owen (1999) 的模擬發(fā)現(xiàn)即使在 = 30 時也存在顯著偏差。

2.1.GMM估計

已經(jīng)提出了基于 GMM 的各種估計器來計算上述方程的一致估計。4在我們假設(shè)誤差是連續(xù)不相關(guān)的情況下，一階差分變換可以通過用較早時期的差異和水平檢測滯后差異，如安德森和蕭 (1982) 所提出的那樣，逐個方程地一致估計。然而，這個估計會帶來一些問題。一階差分變換放大了不平衡面板中的間隙。例如，如果某些不可用，則時間和 ? 1 處的一階差分同樣缺失。此外，觀察每個面板的必要時間段隨著面板 VAR 的滯后順序而變大。例如，對于二階面板 VAR，

Arellano 和 Bover (1995) 提出前向正交偏差作為替代變換，它不具有一階差分變換的缺點(diǎn)。它不使用與過去實(shí)現(xiàn)的偏差，而是減去所有可用的未來觀察的平均值，從而最大限度地減少數(shù)據(jù)丟失?？赡苤挥凶罱挠^察不會用于估計。由于過去的實(shí)現(xiàn)不包括在這個轉(zhuǎn)換中，它們?nèi)匀皇怯行У墓ぞ?。例如，在二階面板 VAR 中，只有 ≥ 4 個實(shí)現(xiàn)才能在水平上使用工具。

雖然逐個方程的 GMM 估計會產(chǎn)生對面板 VAR 的一致估計，但將模型估計為方程組可能會導(dǎo)致效率增益（Holtz-Eakin、Newey 和 Rosen，1988 年）?？紤]以下基于等式 (1) 的變換面板 VAR 模型，但以更緊湊的形式表示：

其中星號表示原始變量的某種變換。如果我們把原始變量表示為 ，那么第一差分轉(zhuǎn)換意味著，而對于正向正交偏差 ，其中是面板在時間上的可用未來觀測值的數(shù)量，是其平均值。

假設(shè)我們隨著時間的推移將觀察疊加在面板上。GMM 估計量由下式給出

其中是一個 ( ) 加權(quán)矩陣，假定為非奇異、對稱和半正定。假設(shè)和 rank ，GMM 估計量是一致的?？梢赃x擇加權(quán)矩陣來最大化效率（Hansen，1982）。

方程組的聯(lián)合估計使交叉方程假設(shè)檢驗(yàn)變得簡單明了?？梢曰?nbsp;的 GMM 估計及其協(xié)方差矩陣來實(shí)現(xiàn)關(guān)于參數(shù)的 Wald 檢驗(yàn)。格蘭杰因果檢驗(yàn)，假設(shè)變量 的方程中變量滯后的所有系數(shù)共同為零，同樣可以使用該檢驗(yàn)進(jìn)行。

2.2.模型選擇

面板 VAR 分析的前提是在面板 VAR 規(guī)范和矩條件中選擇最佳滯后階數(shù)。Andrews和Lu(2001)提出了基于Hansen(1982)統(tǒng)計學(xué)的過度識別限制的GMM模型的一致時刻和模型選擇標(biāo)準(zhǔn)（MMSC）。他們提出的 MMSC 類似于各種常用的基于最大似然的模型選擇標(biāo)準(zhǔn)，即 Akaike 信息標(biāo)準(zhǔn) (AIC) (Akaike, 1969)、貝葉斯信息標(biāo)準(zhǔn) (BIC) (Schwarz, 1978; Rissanen, 1978; Akaike, 1977 )，以及 Hannan-Quinn 信息標(biāo)準(zhǔn) (HQIC)（Hannan 和 Quinn，1979）。

將 Andrews 和 Lu 的 MMSC 應(yīng)用 GMM 估計，他們提出的標(biāo)準(zhǔn)選擇最小化的向量對

其中是基于樣本大小為 的因變量滯后的階次和矩條件的變量面板 VAR 的過度識別限制的統(tǒng)計量。

通過構(gòu)造，上述 MMSC 僅在時可用。作為替代標(biāo)準(zhǔn)，即使使用剛剛識別的 GMM 模型，也可以計算整體確定系數(shù) (CD)。假設(shè)我們用 表示因變量的 無約束協(xié)方差矩陣。CD 為面板 VAR 模型解釋的變異比例，可以計算為

2.3.脈沖響應(yīng)

我們刪除外生變量，并專注于方程（1）中面板 VAR 的自回歸結(jié)構(gòu)。Lutkepohl (2005) 和 Hamilton (1994) 都表明，如果伴隨矩陣的所有模都嚴(yán)格小于 1，則 VAR 模型是穩(wěn)定的，其中伴隨矩陣由

穩(wěn)定性意味著面板 VAR 是可逆的，并且具有無限階向量移動平均 (VMA) 表示，為估計的脈沖響應(yīng)函數(shù)和預(yù)測誤差方差分解提供已知的解釋?？梢酝ㄟ^將模型重寫為無限向量移動平均來計算簡單的脈沖響應(yīng)函數(shù)，其中 是 VMA 參數(shù)。

然而，簡單的 IRF 沒有因果解釋。由于創(chuàng)新是同時相關(guān)的，一個變量的沖擊很可能伴隨著其他變量的沖擊。假設(shè)我們有一個矩陣 ，使得。然后可用于將創(chuàng)新點(diǎn)正交化，并將 VMA 參數(shù)轉(zhuǎn)換為正交化的脈沖響應(yīng)。矩陣有效地對動態(tài)方程組施加了識別限制。Sims (1980) 提出了 的 Cholesky 分解以在 VAR 上強(qiáng)加遞歸結(jié)構(gòu)。然而，分解不是唯一的，而是取決于 中變量的順序。

脈沖響應(yīng)函數(shù)置信區(qū)間可以基于面板 VAR 參數(shù)的漸近分布和交叉方程誤差方差-協(xié)方差矩陣分析導(dǎo)出?；蛘?，也可以使用蒙特卡羅模擬和自舉重采樣方法來估計置信區(qū)間。

2.4.預(yù)測誤差方差分解

?步提前預(yù)測誤差可以表示為

其中 是在時間 + ? 處的觀察向量，是在時間 ? 預(yù)測的提前 ? 步預(yù)測向量。與脈沖響應(yīng)函數(shù)類似，我們使用矩陣將沖擊正交化，以隔離每個變量對預(yù)測誤差方差的貢獻(xiàn)。正交化沖擊有一個協(xié)方差矩陣 ，可以直接分解預(yù)測誤差方差。更具體地說，m變量對變量n的?步預(yù)測誤差方差的貢獻(xiàn)可以計算為

在應(yīng)用中，貢獻(xiàn)通常相對于變量的?步超前預(yù)測誤差方差進(jìn)行歸一化。

與脈沖響應(yīng)函數(shù)類似，置信區(qū)間可以通過分析得出或使用各種重采樣技術(shù)進(jìn)行估計

4. 例子

我們通過分析年工作時間和小時收入之間的關(guān)系來說明 pvar使用，Holtz-Eakin、Newey 和 Rosen（1988）之前在他們關(guān)于面板向量自回歸的開創(chuàng)性論文中對此進(jìn)行了分析。為了將我們的新程序與 Stata 的內(nèi)置 var 命令套件進(jìn)行比較，我們還將新的 pvar 應(yīng)用于投資、收入和消費(fèi)數(shù)據(jù)時間序列數(shù)據(jù)。

我們通過分析年工作時間和小時收入之間的關(guān)系來說明pvar使用，Holtz-Eakin、Newey和Rosen（1988）曾在他們關(guān)于面板向量自回歸的開創(chuàng)性論文中分析過這種關(guān)系。我們還將pvar應(yīng)用于Lutkephol（1993）的時間序列數(shù)據(jù)。

4.1.全國縱向調(diào)查數(shù)據(jù)

我們使用來自 1968 年至 1978 年國家縱向調(diào)查的 1968 年 14-26 歲女性子樣本。我們的子樣本由 2,039 名女性組成，她們在至少三輪調(diào)查中報告了工資（wage）和年工作時數(shù)（hours），其中兩輪是連續(xù)年份。使用相同的調(diào)查，但具有不同的時間段和不同的工人子樣本，因此結(jié)果可能不具有直接可比性。

下面是使用模型選擇，用于以工時和工資的前四個滯后期為工具的一到三階面板VARs。

基于 Andrews 和 Lu (2001) 的三個模型選擇標(biāo)準(zhǔn)和整體決定系數(shù)，一階面板 VAR 是首選模型，因?yàn)樗哂凶钚〉?MBIC、MAIC 和 MQIC。雖然我們也想最小化 Hansen 的 J 統(tǒng)計量，但它并沒有像 Andrews 和 Lu 的模型和矩選擇標(biāo)準(zhǔn)那樣修正模型中的自由度?；谶x擇標(biāo)準(zhǔn)，我們使用由 pvar 實(shí)現(xiàn)的 GMM 估計擬合具有與上述相同的一階面板 VAR 模型。

請注意，估計中包括的506名婦女明顯少于數(shù)據(jù)中的全部婦女子樣本。默認(rèn)情況下，pvar會從估計中刪除任何缺失數(shù)據(jù)的觀察。由于子樣本中的所有婦女的工作時間和工資并不是在所有年份都被觀察到的，所以被剔除的觀察值的數(shù)量會隨著作為工具變量的滯后階數(shù)而增加。我們可以通過使用Holtz-Eakin等人提出的 "GMM式 "工具來改善估計。這增加了估計樣本，從而使估計更加有效。

盡管可以從上面的 var 輸出推斷出一階面板 VAR 的格蘭杰因果關(guān)系，但我們?nèi)匀皇褂?granger 作為說明進(jìn)行檢驗(yàn)。下面格蘭杰因果檢驗(yàn)的結(jié)果表明，在通常的置信水平下，工資格蘭杰導(dǎo)致工時和工時格蘭杰導(dǎo)致工資，這與 Holtz-Eakin 等人的發(fā)現(xiàn)相似。

面板向量自回歸模型估計很少由其自身解釋。在實(shí)踐中，研究人員通常對面板 VAR 系統(tǒng)中每個內(nèi)生變量的外生變化對其他變量的影響感興趣。然而，在估計脈沖響應(yīng)函數(shù) (IRF) 和預(yù)測誤差方差分解 (FEVD) 之前，我們首先檢查估計面板 VAR 的穩(wěn)定性條件。生成的特征值表和圖證實(shí)了估計是穩(wěn)定的。

我們認(rèn)為工資水平的沖擊對同期的工作時間有直接影響，而當(dāng)前的工作努力只影響未來的工資。使用這種因果順序，我們使用 fevd 計算了隱含的 IRF，使用 fevd 計算了隱含的 FEVD。IRF 置信區(qū)間是根據(jù)估計模型使用 200 次蒙特卡羅繪制計算的。FEVD 估計值的標(biāo)準(zhǔn)誤差和置信區(qū)間同樣可用。

根據(jù)FEVD的估計，我們看到，在我們的例子中，多達(dá)40%的婦女工作時間的變化可以由她們的工資來解釋。另一方面，工作時間只解釋了婦女未來工資變化的5%。就水平而言，IRF圖顯示，實(shí)際工資的正沖擊導(dǎo)致工作努力的減少，這意味著樣本中婦女的勞動供給向后彎曲。同樣值得注意的是，當(dāng)前工作強(qiáng)度的沖擊對工作時間和工資都有積極但短暫的影響。另一方面，當(dāng)前沖擊對工資的影響對未來工資有持續(xù)的積極影響。