為什么我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中會(huì)需要三重積分。我們要把它分解開(kāi)來(lái)。我們先來(lái)分析一下，為什么我們需要積分，然后是二重積分，最后是三重積分。如何理解積分對(duì)于簡(jiǎn)單的圖形，我們有現(xiàn)成的公式來(lái)求它們的面積。答案是，我們可以使用積分。描這里的積分就可以理解為曲線下面的面積。假設(shè)我們想求一條奇怪的曲線下面的面積，它看起來(lái)像這樣：用公式法求這樣的面積是很困難的。我們希望用更簡(jiǎn)單的形狀去近似或者代替它，比如矩形，面積公式是長(zhǎng)乘以寬。那我們?yōu)槭裁床辉谇€下畫(huà)一堆矩形，求這些矩形的面積，然后把所有的小矩形面積加起來(lái)，來(lái)近似計(jì)算曲線下的面積，就像這樣：這是個(gè)不錯(cuò)的近似值，值為所有綠色矩形的面積之和。每個(gè)矩形都有相同的寬度，以使計(jì)算更容易。寬度等于一個(gè)我們稱(chēng)之為Δx的量（概念上，Δx是x的變化）。每個(gè)矩形的高度是不同的，但它是由函數(shù)f(x)給出的，由圖中彎曲的黑線表示。為了體現(xiàn)高度是不同的，從左邊開(kāi)始的第一個(gè)矩形的高度是f(x?)，第二個(gè)矩形的高度是f(x?)，以此類(lèi)推。一般來(lái)說(shuō)，第i個(gè)矩形的高度為f（x?）。矩形的面積是高度乘以寬度，所以其中一個(gè)矩形的面積等于f（x?）*Δx。如果我們把所有的矩形面積加起來(lái)，我們就可以得到曲線下的近似面積。但是我們的近似值并不那么精確，我們可以通過(guò)增加矩形的數(shù)量使近似值更準(zhǔn)確，就像這樣：注意，Δx現(xiàn)在更小了。而且，這個(gè)和比上一個(gè)更準(zhǔn)確。我們可以繼續(xù)把圖形分成越來(lái)越小的矩形，使值更加精確。最終，隨著矩形的數(shù)量接近無(wú)窮大（每個(gè)矩形的寬度接近0），近似面積越來(lái)越接近實(shí)際面積。這個(gè)總和被稱(chēng)為積分。積分就是這樣寫(xiě)出來(lái)的。積分符號(hào)∫看起來(lái)像一個(gè)大的S。當(dāng)一個(gè)叫戈特弗里德-萊布尼茨的德國(guó)人發(fā)展微積分時(shí)，他認(rèn)為積分是一個(gè)無(wú)限的和。dx "代表Δx，即每個(gè)矩形的寬度，它現(xiàn)在是無(wú)限小的。這個(gè) "dx "被稱(chēng)為微分。這就是我們?nèi)绾问褂茫ㄒ恢兀┓e分的方法。我們對(duì)1個(gè)變量進(jìn)行積分，在這個(gè)例子中是x。當(dāng)沿著x軸移動(dòng)時(shí)，我們?nèi)∫欢褵o(wú)限小的長(zhǎng)方形的總和。寬度越小，近似值就越精確。如何理解雙重積分對(duì)于二維圖形我們求的是面積，對(duì)于三維圖形我們求的是體積。像以前一樣，我們對(duì)一些三維圖形的體積有漂亮、整齊的公式。我們應(yīng)該如何求出這些奇怪形狀的體積呢？為了求出體積，我們將使用雙重積分工具。比方說(shuō)，我想求出這個(gè)面包的體積。我們可以從近似的體積開(kāi)始。我們可以先把這個(gè)大塊的面包沿著Y軸分成很多片。每一片都有相同的寬度，我們把這個(gè)寬度稱(chēng)為Δy。如果我們把所有片的體積加起來(lái)，就可以得到這個(gè)面包的大致體積。當(dāng)我們把面包分成越來(lái)越薄的片時(shí)（Δy越來(lái)越接近于0），面包體積的近似值會(huì)越來(lái)越精確。所以我們只需將所有面包片的體積相加即可。唯一的問(wèn)題是，計(jì)算一個(gè)面包片的體積并不那么容易。如果我們看一下單個(gè)的面包片，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它本身還是一種奇怪的形狀。我們需要對(duì)這塊面包片的面積進(jìn)行近似計(jì)算，我們可以通過(guò)把它分成一堆矩形來(lái)實(shí)現(xiàn)。換句話說(shuō)，為了求出一片面包的面積，我們必須像上面那樣進(jìn)行一重積分。我們?cè)赬軸上進(jìn)行積分，把小矩形加起來(lái)。然后，回到面包上，我們?cè)赮軸上積分，把所有面包片的體積加起來(lái)。從本質(zhì)上講，要求出面包的體積，我們要求積分的積分：我們求面包片的和，每個(gè)面包片本身是矩形的和。當(dāng)然，"積分的積分 "寫(xiě)起來(lái)很麻煩，所以我們就叫它雙重積分，我們這樣寫(xiě)：“dy ”是面包片的寬度，"dx "是面包片中矩形的寬度。f(x,y)指的是面包的“頂部”。這是因?yàn)槊姘谀骋稽c(diǎn)的高度（又稱(chēng)z坐標(biāo)）是該點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)的函數(shù)，所以它是f(x,y)。如何理解三重積分到了本文的重點(diǎn)：三重積分。我們已經(jīng)講過(guò)了一重積分和二重積分。希望大家能明白為什么這些東西會(huì)有用處：雖然這不是它們的唯一用途，但它們可以幫助我們求出不規(guī)則的二維和三維圖形的面積和體積你可能會(huì)猜到，這里有一個(gè)規(guī)律，是這樣的：- 通過(guò)一維積分，我們?cè)谝粋€(gè)維度上進(jìn)行積分，得到到一個(gè)二維圖形的面積。
- 用二重積分，我們?cè)趦蓚€(gè)維度上進(jìn)行積分，得到一個(gè)三維形狀的體積。
- 用三重積分，我們?cè)谌齻€(gè)維度上進(jìn)行積分，以得到到......一個(gè)四維形狀的體積？
你是對(duì)的！三重積分是用來(lái)求一個(gè)四維形狀的體積的。這聽(tīng)起來(lái)不可能。你可能會(huì)說(shuō)："我們并不生活在四維空間，四維形狀不存在"。我可以解釋三重積分在現(xiàn)實(shí)世界中是如何使用的。要明白這一點(diǎn)，我們需要改變我們對(duì)維度的思考方式。一張照片里有多少個(gè)維度？讓我們回到二重積分的話題上來(lái)。你見(jiàn)過(guò)熱成像嗎是用熱像儀拍攝的照片，不同的顏色代表不同的溫度。照片是二維的，但熱成像照片上的每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)與之相關(guān)的 "熱量"。由于熱量是用數(shù)值表示的，我們可說(shuō)，熱成像照片上的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)與之相關(guān)的數(shù)字。從右邊的圖例可以看出，藍(lán)色斑點(diǎn)的熱值可能是 "15"，而較紅的斑點(diǎn)的熱值可能是 "28"。我們甚至可以把這張照片變成三維圖，其中高度（z坐標(biāo)）與熱量相對(duì)應(yīng)。那么，這里有一個(gè)問(wèn)題：我如何求出這整張照片的總熱量？答案是我們用二重積分。我們?cè)趚軸和y軸上積分，然后把整個(gè)照片的溫度加起來(lái)?？偀崃康扔谏厦嫒S圖的體積。這似乎令人困惑，因?yàn)檫@張照片是二維的，而如前所述，雙積分是用來(lái)求三維形狀的體積的。但我們需要改變對(duì) "維度 "的思考方式。我們通常認(rèn)為維度是空間維度。然而，一個(gè) "維度 "實(shí)際上只是指與一個(gè)點(diǎn)相關(guān)的數(shù)值。一個(gè)維度不一定是空間中的一個(gè)方向。現(xiàn)實(shí)世界中的三重積分回到三重積分的話題。比方說(shuō)，你有一間形狀像盒子的臥室。暖氣口可能只在房間的一個(gè)角落，所以熱量并沒(méi)有均勻地分布在整個(gè)房間。溫度在通風(fēng)口附近會(huì)很高，在與通風(fēng)口相對(duì)的角落會(huì)很低，以此類(lèi)推。房間里任何一個(gè)點(diǎn)的熱量都由某個(gè)函數(shù)f(x,y,z)給出。如果我想把房間里的所有熱量加起來(lái)，我該怎么做？很明顯，房間里有三個(gè)空間維度。但同樣，溫度也算作一個(gè)維度，因?yàn)樗且粋€(gè)與點(diǎn)相關(guān)的數(shù)字。所以這個(gè)問(wèn)題發(fā)生在4個(gè)維度上：寬度、長(zhǎng)度、高度和溫度。讓我們先把房間可視化。這就是一個(gè)三維房間的熱量圖。如前所述，如果你看這個(gè)房間，溫度是盒子內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的x、y和z坐標(biāo)的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)是f(x,y,z)。我們將從Z軸上的積分開(kāi)始，把盒子分成許多平行于地面的“切片”。乍看起來(lái)，我好像把房間分成了一堆二維的切片，但請(qǐng)記住，溫度也是一個(gè)維度。我實(shí)際上是把房間切成了一堆二維的溫度圖。而正如我們所討論的，二維溫度圖有三個(gè)維度。接下來(lái)，我們要對(duì)y積分，把熱圖分成許多小片，就像我們對(duì)面包做的那樣：最后，我們將把每一個(gè)切片沿著X軸劃分成許多小矩形。這樣，我們可以準(zhǔn)確地把這個(gè)房間里的所有熱量加起來(lái)。我們沿Z軸將房間分成熱圖，然后沿Y軸將熱圖分成片狀，再沿X軸將片狀分成矩形。我們把這稱(chēng)為三重積分。它是這樣寫(xiě)的：“dz” 是z的變化，"dy "是y的變化，而 "dx "是x的變化。使用這個(gè)三重積分，我們可以求出3維房間里的總熱量。如果一個(gè) "維度 "可以指空間維度以外的東西，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)三重積分有很多應(yīng)用。我們可以求出一些三維物體的總慣性，或者籃球的引力。結(jié)論簡(jiǎn)而言之。就數(shù)學(xué)而言，一個(gè)維度不一定是指空間。它可以指任何數(shù)值，如溫度、慣性、或濕度。- 在一重積分中，我們對(duì)一個(gè)變量進(jìn)行積分，以求得一個(gè)二維圖形的面積。
- 在二重分中，我們通過(guò)對(duì)兩個(gè)變量的積分來(lái)求得一個(gè)三維形狀的體積。
- 在三重積分中，我們對(duì)3個(gè)變量進(jìn)行積分，以求得一個(gè)四維圖形的體積。
所以，我們用三重積分來(lái)尋找四維圖形的體積，這乍聽(tīng)起來(lái)沒(méi)什么用。但是，只要我們轉(zhuǎn)變一下對(duì) "維度 "的思考方式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)四維圖形比看起來(lái)更常見(jiàn)。三重積分幫助我們認(rèn)識(shí)和理解這些形狀。
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