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Logistic回歸，也稱為L(zhǎng)ogit模型，用于對(duì)二元結(jié)果變量進(jìn)行建模。在Logit模型中，結(jié)果的對(duì)數(shù)概率被建模為預(yù)測(cè)變量的線性組合。

例子

例1. 假設(shè)我們對(duì)影響一個(gè)政治候選人是否贏得選舉的因素感興趣。結(jié)果（因）變量是二元的（0/1）；贏或輸。我們感興趣的預(yù)測(cè)變量是花在競(jìng)選上的錢，花在競(jìng)選上的時(shí)間，以及候選人是否是現(xiàn)任者。

例2. 一個(gè)研究者對(duì)GRE（研究生入學(xué)考試成績(jī)）、GPA（平均分）和本科院校的聲望等變量如何影響研究生院的錄取感興趣。因變量，錄取/不錄取，是一個(gè)二元變量。

數(shù)據(jù)的描述

對(duì)于我們下面的數(shù)據(jù)分析，我們將在例2的基礎(chǔ)上展開(kāi)關(guān)于進(jìn)入研究生院的分析。我們生成了假設(shè)的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)可以在R中從我們的網(wǎng)站上獲得。請(qǐng)注意，R在指定文件位置時(shí)需要正斜杠（/）而不是反斜杠（），該文件在你的硬盤上。

這個(gè)數(shù)據(jù)集有一個(gè)二元因（結(jié)果，因果）變量，叫做錄取。有三個(gè)預(yù)測(cè)變量：gre、gpa和rank。我們將把gre和gpa這兩個(gè)變量視為連續(xù)變量。變量rank的值為1到4。排名為1的院校有最高的聲望，而排名為4的院校有最低的聲望。我們可以通過(guò)使用總結(jié)來(lái)獲得整個(gè)數(shù)據(jù)集的基本描述。為了得到標(biāo)準(zhǔn)差，我們使用sapply對(duì)數(shù)據(jù)集中的每個(gè)變量應(yīng)用sd函數(shù)。

你可能考慮的分析方法

以下是你可能遇到過(guò)的一些分析方法的清單。所列的一些方法是相當(dāng)合理的，而其他的方法可能有局限性。

• Logistic回歸，是本文的重點(diǎn)。

• Probit回歸。Probit分析會(huì)產(chǎn)生類似Logistic回歸的結(jié)果。選擇probit還是logit，主要取決于個(gè)人的偏好。

• OLS回歸。當(dāng)與二元因變量一起使用時(shí)，這個(gè)模型被稱為線性概率模型，可以作為描述條件概率的一種方式。然而，線性概率模型的誤差（即殘差）違反了OLS回歸的同方差和誤差的正態(tài)性假設(shè)，導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)誤差和假設(shè)檢驗(yàn)無(wú)效。

• 雙組判別函數(shù)分析。一種用于二分結(jié)果變量的多變量方法。

使用logit模型

下面的代碼使用glm（廣義線性模型）函數(shù)估計(jì)一個(gè)邏輯回歸模型。首先，我們將等級(jí)轉(zhuǎn)換為一個(gè)因子變量，以表明等級(jí)應(yīng)被視為一個(gè)分類變量。

由于我們給我們的模型起了個(gè)名字（mylogit），R不會(huì)從我們的回歸中產(chǎn)生任何輸出。為了得到結(jié)果，我們使用summary命令。 

• 在上面的輸出中，我們首先看到的是調(diào)用，這是R提醒我們所運(yùn)行的模型是什么，我們指定了哪些選項(xiàng)，等等。

• 接下來(lái)我們看到偏差殘差，這是衡量模型擬合度的一個(gè)指標(biāo)。這部分輸出顯示了模型中使用的各個(gè)案例的偏差殘差的分布。下面我們討論如何使用偏差統(tǒng)計(jì)的摘要來(lái)評(píng)估模型的擬合度。

• 輸出的下一部分顯示了系數(shù)、它們的標(biāo)準(zhǔn)誤差、z統(tǒng)計(jì)量（有時(shí)稱為Wald z統(tǒng)計(jì)量）以及相關(guān)的p值。gre和gpa都有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，三個(gè)等級(jí)項(xiàng)也是如此。邏輯回歸系數(shù)給出了預(yù)測(cè)變量增加一個(gè)單位時(shí)結(jié)果的對(duì)數(shù)幾率變化。

• gre每增加一個(gè)單位，錄?。ㄅc未錄?。┑膶?duì)數(shù)幾率增加0.002。

• gpa增加一個(gè)單位，被研究生院錄取的對(duì)數(shù)幾率就會(huì)增加0.804。

• 級(jí)別的指標(biāo)變量有一個(gè)稍微不同的解釋。例如，就讀于排名為2的本科院校與排名為1的院校相比，被錄取的對(duì)數(shù)幾率會(huì)改變?yōu)?0.675。

• 系數(shù)表下面是擬合指數(shù)，包括無(wú)效和偏差殘差以及AIC。稍后我們將展示一個(gè)例子，說(shuō)明如何使用這些值來(lái)幫助評(píng)估模型的擬合。

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R語(yǔ)言泊松Poisson回歸模型分析案例

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我們可以使用confint函數(shù)來(lái)獲得系數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間。注意，對(duì)于logistic模型，置信區(qū)間是基于剖析的對(duì)數(shù)似然函數(shù)。我們也可以通過(guò)使用默認(rèn)的方法，只根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)獲得CI。

我們可以用wald.test函數(shù)來(lái)檢驗(yàn)等級(jí)的整體效應(yīng)。系數(shù)表中系數(shù)的順序與模型中項(xiàng)的順序相同。這一點(diǎn)很重要，因?yàn)閣ald.test函數(shù)是按照系數(shù)在模型中的順序來(lái)參考的。我們使用wald.test函數(shù)。b提供了系數(shù)，而Sigma提供了誤差項(xiàng)的方差協(xié)方差矩陣，最后Terms告訴R模型中哪些項(xiàng)要被測(cè)試，在本例中，4、5、6項(xiàng)是等級(jí)水平的三個(gè)項(xiàng)。

卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為20.9，有三個(gè)自由度，P值為0.00011，表明等級(jí)的總體影響在統(tǒng)計(jì)上是顯著的。

我們還可以檢驗(yàn)關(guān)于不同等級(jí)的系數(shù)差異的其他假設(shè)。下面我們測(cè)試等級(jí)=2的系數(shù)是否等于等級(jí)=3的系數(shù)。下面的第一行代碼創(chuàng)建了一個(gè)向量l，定義了我們要執(zhí)行的測(cè)試。在這種情況下，我們要測(cè)試等級(jí)=2的項(xiàng)和等級(jí)=3的項(xiàng)（即模型中的第4和第5項(xiàng)）的差異（減法）。為了對(duì)比這兩個(gè)項(xiàng)，我們把其中一個(gè)項(xiàng)乘以1，另一個(gè)項(xiàng)乘以-1。下面的第二行代碼使用L=l來(lái)告訴R，我們希望以向量l為基礎(chǔ)進(jìn)行測(cè)試（而不是像上面那樣使用Terms選項(xiàng)）。

1個(gè)自由度的卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為5.5，P值為0.019，表明等級(jí)=2的系數(shù)和等級(jí)=3的系數(shù)之間的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

你也可以對(duì)系數(shù)進(jìn)行指數(shù)化，并將其解釋為概率。為了得到指數(shù)化的系數(shù)，你要告訴R你要進(jìn)行指數(shù)化（exp），你要指數(shù)化的對(duì)象叫做coefficients，它是mylogit的一部分（coef(mylogit)）。我們可以使用同樣的邏輯，通過(guò)對(duì)之前的置信區(qū)間進(jìn)行指數(shù)化，得到概率及其置信區(qū)間。為了把這些都放在一個(gè)表中，我們用cbind把系數(shù)和置信區(qū)間按列綁定起來(lái)。

現(xiàn)在我們可以說(shuō)，gpa增加一個(gè)單位，被研究生院錄?。ㄅc未被錄?。┑膸茁示蜁?huì)增加2.23倍。請(qǐng)注意，截距的幾率一般不會(huì)被解釋。

你也可以使用預(yù)測(cè)概率來(lái)幫助你理解模型。預(yù)測(cè)概率可以針對(duì)分類和連續(xù)預(yù)測(cè)變量進(jìn)行計(jì)算。為了創(chuàng)建預(yù)測(cè)的概率，我們首先需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)新的數(shù)據(jù)框架，其中包含我們希望自變量采取的數(shù)值，來(lái)創(chuàng)建我們的預(yù)測(cè)。

我們將首先計(jì)算每個(gè)等級(jí)值的預(yù)測(cè)錄取概率，保持gre和gpa的平均值。首先，我們創(chuàng)建并查看數(shù)據(jù)框架。

這些對(duì)象的名稱必須與上述邏輯回歸中的變量相同（例如，在本例中，gre的平均值必須被命名為gre）。現(xiàn)在我們有了要用來(lái)計(jì)算預(yù)測(cè)概率的數(shù)據(jù)框，我們可以告訴R來(lái)創(chuàng)建預(yù)測(cè)概率。下面的第一行代碼非常緊湊，我們將把它拆開(kāi)來(lái)討論各個(gè)部分的作用。newdata1$rankP告訴R，我們要在數(shù)據(jù)集（數(shù)據(jù)框）newdata1中創(chuàng)建一個(gè)名為rankP的新變量，命令的其余部分告訴R，rankP的值應(yīng)該是使用predict（ ）函數(shù)進(jìn)行的預(yù)測(cè)。括號(hào)內(nèi)的選項(xiàng)告訴R，預(yù)測(cè)應(yīng)該基于mylogit分析，預(yù)測(cè)變量的值來(lái)自newdata1，預(yù)測(cè)的類型是預(yù)測(cè)的概率（type="response"）。代碼的第二行列出數(shù)據(jù)框newdata1中的值。這是預(yù)測(cè)概率的表格。

在上面的輸出中，我們看到，在保持gre和gpa的平均值的情況下，來(lái)自最高聲望的本科院校（排名=1）的學(xué)生被研究生課程錄取的預(yù)測(cè)概率為0.52，而來(lái)自排名最低的院校（排名=4）的學(xué)生為0.18。我們可以做一些非常類似的事情，創(chuàng)建一個(gè)預(yù)測(cè)概率的表格，改變gre和排名的值。我們將繪制這些圖表，因此我們將在每個(gè)等級(jí)值（即1、2、3和4）上創(chuàng)建100個(gè)200至800的gre值。

生成預(yù)測(cè)概率的代碼（下面第一行）與之前的相同，只是我們還要提供標(biāo)準(zhǔn)誤差，這樣我們就可以繪制一個(gè)置信區(qū)間。我們?cè)阪溄訕?biāo)度上得到估計(jì)值，并將預(yù)測(cè)值和置信區(qū)間都反過(guò)來(lái)轉(zhuǎn)化為概率。

使用預(yù)測(cè)概率的圖表來(lái)理解和/或展示模型也是有幫助的。我們將使用ggplot2軟件包來(lái)繪制圖表。下面我們用預(yù)測(cè)的概率和95%的置信區(qū)間做一個(gè)圖。

我們也可能希望看到我們的模型擬合程度的方法。在比較相互比較的模型時(shí)，這可能特別有用。summary(mylogit)產(chǎn)生的輸出包括擬合指數(shù)（顯示在系數(shù)下面），包括無(wú)效和偏差殘差以及AIC。衡量模型擬合度的一個(gè)指標(biāo)是整個(gè)模型的顯著性。這個(gè)測(cè)試問(wèn)的是有預(yù)測(cè)因子的模型是否比只有截距的模型（即空模型）明顯更適合。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是帶有預(yù)測(cè)因子的模型與無(wú)效模型的殘差。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是分布式的卡方，自由度等于當(dāng)前模型和無(wú)效模型之間的自由度差異（即模型中預(yù)測(cè)變量的數(shù)量）。為了找到兩個(gè)模型的偏差差異（即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量），我們可以使用以下命令。

兩個(gè)模型之間差異的自由度等于模式中預(yù)測(cè)變量的數(shù)量，可以用以下方法得到。

最后，可以用P值得到。

5個(gè)自由度的卡方為41.46，相關(guān)的P值小于0.001，這告訴我們，我們的模型作為一個(gè)整體的擬合度明顯好于一個(gè)空模型。這有時(shí)被稱為似然比檢驗(yàn)（偏差殘差為-2*對(duì)數(shù)似然）。要查看模型的對(duì)數(shù)似然，我們可以輸入。

需要考慮的事項(xiàng)

• 空單元格或小單元格。你應(yīng)該通過(guò)分類預(yù)測(cè)因子和結(jié)果變量之間的交叉分析來(lái)檢查空單元或小單元。如果一個(gè)單元的案例很少（小單元），模型可能會(huì)變得不穩(wěn)定或根本無(wú)法運(yùn)行。

• 樣本量。logit和probit模型都需要比OLS回歸更多的案例，因?yàn)樗鼈兪褂米畲笏迫还烙?jì)技術(shù)。在只有少量案例的數(shù)據(jù)集中，有時(shí)可以用精確的Logistic回歸來(lái)估計(jì)二元結(jié)果的模型。同樣重要的是要記住，當(dāng)結(jié)果是罕見(jiàn)的，即使整個(gè)數(shù)據(jù)集很大，也很難估計(jì)出一個(gè)Logit模型。

• 偽R平方。存在許多不同的偽R平方的測(cè)量方法。它們都試圖提供類似于OLS回歸中R平方所提供的信息；然而，它們都不能完全按照OLS回歸中R平方的解釋來(lái)解釋。

• 診斷法。邏輯回歸的診斷方法與OLS回歸的診斷方法不同，對(duì)邏輯回歸的診斷與對(duì)probit回歸的診斷相似。

參考文獻(xiàn)

Hosmer, D. & Lemeshow, S. (2000). Applied Logistic Regression (Second Edition). New York: John Wiley & Sons, Inc.

Long, J. Scott (1997). Regression Models for Categorical and Limited Dependent Variables. Thousand Oaks, CA: Sage Publications.