吳正憲：改變學習方式促進“深度學習”

課程教學研究 2021-07-29

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老師們大家好，今天我和大家做這樣一個話題的交流——改變學習方式，促進“深度學習”。首先我們一起看一段很有意思的小錄像。

我們怎樣使兒童的成長更具有成長性？老師們可能也在想，剛才錄像中的男孩，爸爸媽媽一秒鐘就可以把他從床上抱下來，但是家長卻讓孩子自己試一試，他反復的嘗試，這個嘗試的過程就是他體驗的過程，就是他對外界世界感悟的過程，我以為，這個過程因為他的親自參與了，這樣的過程更具有成長性。從剛才的小視頻，我也想到我們的小學數學學習，我們面對兒童，怎樣讓他通過我們的數學學習，使它更具有成長性呢？

改變學習方式，促進深度學習，應該是我們努力探索的一條道路。不管怎樣改革，小學數學教學改革的正確方向，還是老生常談，必須堅守兒童立場，以兒童可持續(xù)的全面發(fā)展為根本目標，在“保護兒童成長利益”的前提下，來開展一切教學活動（包括課內的、課外的）。

我們要把眼光放的遠一點，不能過于只看眼前。如果只看眼前，一秒鐘把孩子從床上抱下來解決問題了，但是今后孩子他自己要活動，自己要成長，他必須要經過一次自己不斷地參與實踐、嘗試的這樣一個過程，失敗了再來，不斷的感悟、不斷積累經驗，這就是孩子的成長。我想這也是對孩子成長利益的一個重要的保護。

這幅圖橫坐標上寫的是數學，我們作為一個數學研究者，作為兒童的數學老師，我們的確要研究數學，研究數學的本質屬性，要走進數學。但是我們更要研究的是兒童，因為我們的定位是兒童的數學老師，我們要把兒童帶進數學世界，要讓兒童在數學世界里得到成長性的成長，那我們就要懂兒童，研究他的心理發(fā)展規(guī)律，研究他的認知規(guī)律，所以在縱軸上我書寫的是兒童，如何把兒童和數學教育有機地結合，我們看到第三個軸從頂點伸出來了是教育，教育是一個復雜的系統(tǒng)工程，教育的最重要的人物是教師，我們教師的理念、情懷、教師的能力、技術，都會對兒童產生深刻的影響。因此，作為教師要對兒童關愛、友善，讓孩子們能夠在數學世界中感受學習的魅力，學習的價值，學習的力量?！?strong>做心中有人的教育”，一定是我們必須堅守的兒童數學教育方向。

小學數學教學改革之路大概這么兩條途徑：一個是我們學科內部的一種整合，也就是我們一直強調的“深度學習”，我今天要圍繞深度學習這個話題，談一談我們學習方式的改變；另外一個途徑，就是“跨學科的融合”，就是我們怎樣以數學學科作為一個基礎學科跨出去與其他學科進行融合，讓孩子們在一個真實的任務解決中，在主題式的學習中，來培養(yǎng)他們的綜合的實踐能力、創(chuàng)新意識。

強調“整合”是從我們學科內部來說的，“深度學習”提出了要單元學習主題的建立，“單元學習主題”就是要進行有機的整合。也就是要把零散的、碎片化的數學知識來建立起整體化、系統(tǒng)化、邏輯化的數學知識結構，建好這個“承重墻”。這個“承重墻”，當然包括核心知識，也依然包括關鍵能力，這些都是孩子們成長的“承重墻”。根據核心的知識共同擁有的這種本質屬性和相同的邏輯關系，在深度學習理念下去確定好每個單元的學習主題，找準關鍵能力培育的這個發(fā)力點（就是我們要聚焦哪些核心素養(yǎng)進行培育），引發(fā)兒童的深度思考和主動探究，促進兒童思維進階的發(fā)展，來逐步實現“深度學習”，這是從數學學科內部的“整合”。

我們也強調“融合”（外部），就是數學學科與其他學科的融合，我們要打破學科壁壘，站在“育人”的高度來進行教學，使我們的兒童不被單一的學科的知識體系所束縛，能夠綜合的運用知識來解決實際生活中的真問題。在教學中我們可以“任務驅動”，開展這種主題式或者項目式的學習，小學階段更多的還是主題式的學習，到了初中、高中開展項目式的學習。開展這種跨學科綜合實踐活動，也就讓我們的兒童能夠經歷一個完整的解決問題的過程。在這個過程當中，他們會不斷的發(fā)現、提出問題，分析、解決問題，那在參與這種完整的解決問題過程中，他們還要學會與人合作，學會集體、小組來共同做好規(guī)劃，實施規(guī)劃和進行評價反思等等，那么這一系列的活動也就是從未來來適應社會發(fā)展的需要。

一、兒童“深度學習“的學習樣態(tài)

“深度學習”是在教師指導下引領兒童，圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學習主題，使兒童全身心的參與體驗成功，獲得發(fā)展的有意義的學習過程。

這里特別談到了“教師指導下”教師的作用是什么，談到了“挑戰(zhàn)性的學習主題”，只有這樣我們的孩子才能有思考的樂趣，探究的欲望，能夠全身心的去體驗，我也給小學的數學的深度學習畫了這樣一個像：

1.深度學習是一個觸及兒童心靈的學習過程。在這樣的學習過程中，我們能夠看到孩子興趣的萌發(fā)和他們學習的自信，他們會在這個過程當中獲得一種積極的情感體驗，對后續(xù)的學習還有期待。

2.深度學習是引發(fā)兒童一個主動參與的學習過程。不是被動的去接受，應當是兒童一個主動參與的學習過程，孩子能夠自覺的想一些問題，有這種自主的意識。

3.深度學習是引發(fā)兒童持之以恒的追問和不斷的思考的學習過程。他會在一個“問題鏈”中不斷的來產生新的思考。

4.深度學習是一個理解性的學習過程。就是要把握住核心概念去理解數學的本質，能夠用這種聯(lián)系的觀點去分析所學的學習內容。

5.深度學習是單元學習主題的建構式的學習過程。通過單元學習主題的建構，來建好核心知識、關鍵能力的“承重墻”，同時溝通知識的關聯(lián)，打通“隔斷墻”來促進他們的深度的理解。

6.深度學習是跨學科綜合實踐的學習過程。以數學為出發(fā)點，將數學與其他學科進行融合，能夠在一個真實的問題解決中不斷地去探索、實踐來獲得發(fā)展，來提高孩子們的應用意識和創(chuàng)新意識。

二、把握整體結構，促進深度學習?！皵蹬c運算”主題教學

“深度學習”要“全身心的參與”，“要有挑戰(zhàn)性的問題”，要“有主題式的教學的建構”的過程，那么我們就要整體地建立知識結構，來促進學生對問題深入的理解。下面以“數與運算”這個主題教學來和大家做一點交流。

1.溝通不同數域之間的聯(lián)系，感悟數本質的一致性。

我們都知道數學是有聯(lián)系的，數學是有結構的，數學知識是系統(tǒng)的，那么這些繁雜的知識中一定會有一些核心的概念，統(tǒng)領著其他的一些小的知識點和概念。我們能不能抓住關鍵問題，舉一反三，觸類旁通，綱舉目張，通過對整個結構的建立，理解他們之間的這種關系？怎么去溝通不同數域之間的聯(lián)系，感悟數本質的一致性呢？

先說一說數。小學階段整數、小數、分數，不同的數域（或數集）所涉及的概念比較集中，像十進制、計數單位、數位、位值，能不能從不同的數域找到共同的數的本質意義呢？也就是說你不能小數只講小數的理，整數只講整數的理，分數講分數的理，數本身它是具有一致性的：數是對數量的抽象，數也是對計數單位多少的表達，這是他們的共性。

我們來看看整數、小數、分數：

324表示的是什么？在孩子們學到324的時候，在他的頭腦中馬上能反應100×3、2x10、×4，把這三個積合起來才是324的意義；那3.24呢？道理亦然，3個一，2個0.1，4個0.01之和。我們把個，十，百，千?，0.1，0.01，1/10 ，1/100?等統(tǒng)稱為計數單位，比如說3/4，1/4就是3/4的單位，它是3個1/4之和，所以說整數、小數、分數都是對數量的抽象，也是對計數單位多少的這樣一個表達。

我們來看小數，不管哪個版本的教材在“小數的意義”這個單元里，大致都涉及了六方面的內容，也就是6個知識點，我做了一個簡單的梳理。

那么這六個知識點能不能成為一個單元學習主題呢？如果能夠成為一個單元學習主題，又是怎樣的核心概念和關鍵能力統(tǒng)領小數整個單元的學習呢？這六個知識點有沒有更重要的核心概念呢？如果有，它一定是小數的意義。那小數的意義是什么？

大家都很熟悉，分母是10、100、1000等的分數可以用小數來表示，小數的計數單位是0.1，0.01 ，0.001等，它也是一個十進制。小數是怎么產生的呢？我們上課的時候老師會舉很多生活中的案例，也會改變學習方式，讓孩子們自己動手操作來體會小數產生的過程，不斷的對單位進行細化，不斷的產生新小數。當然我們還可以再開一個口，反過來還可以從單位的累加來理解小數的意義。小數的讀寫法、小數點的移動、小數的性質和大小的比較、小數與單位的換算，他們都與計數單位有關系。

我們怎么讓學生去體會小數的產生，感受到小數學習的需要，又通過對小數的深入的理解來感受小數的本質意義呢？教學中有的老師用了這樣的案例，你能說說小明的身高嗎？1米不到怎么辦呢？我們怎么樣來表達他的準確的身高？看來用這個單位來測量這個小朋友不大合適了，因此要把它細化成10個小一點的單位，一個單位占整個一米的1/10，就是1/10米，也就是0.1米，以此類推。在這個過程中，孩子們體會著十進制，也體會了單位的細化。

我們再繼續(xù)看小朋友長高了，現在10等份不能夠精確的表達他的身高，怎么辦？又把它繼續(xù)分，分成了100等份，在不斷的細化單位的過程當中引發(fā)孩子們不斷的思考。

當然我們還可以讓孩子們自己分一分，改變學習方式就是我們的課堂要讓孩子活動起來，在動手活動中不斷的去分、去思考、去討論，去真正地體驗不斷的細分單位的過程。

再如，在除法的計算中，1÷2不能用整數表示了，也會用小數來表示。教學中老師們常常用不同的方式，把這個1分成10等份、分成100等份、分成1000等份，還可以繼續(xù)分下去；反過來看，擴大10倍變成一個0.01，0.01擴大10倍變成一個0.1 ；0.1擴大10倍變成了1，1再擴大10倍就變成了10，相鄰的兩個計數單位間的進率是10。通過這種直觀的圖讓孩子體會數與數之間，單位與單位之間的關系，那么它的背后是什么呢？不就是對單位的細化嗎？細化成10等份、100等份、1000等份、10000等份。

我們學習的一位小數，兩位小數等，一定在這一群數中有最重要的數與眾不同，0.1、0.01 、0.001?等就是這一群數中的一個“特殊人物”。如，0.6就是由6個0.1組成的，0.66就是由66個0.01組成的。當0.66、0.999出現的時候，我們該不該停下來讓學生進行交流和討論呢？兩個6和三個9長得都一樣，那他們表示的意義一樣嗎？讓學生從位值、計數單位的意義來深入的理解數的本質。

再如，1很重要，它是整個自然數的計數單位，一而十，十而百，十倍十倍的去翻倍。在這個過程當中無窮無盡，世界上只有10個數字，卻可以通過十進制演繹成無窮無盡的數，今天又為學生打開了一扇窗：從整數到小數依然是對“十進制”這個核心概念的再理解，把1分成10等份又有了0.1，以此類推，0.01 、0.001等等沒有盡頭，這是怎樣的一個數列？

那么，在老師們的腦子里是不是應該有1不斷的累加，不斷的細分，把數進行不斷的延展，無限的延展的過程？整數、小數都是十進制，渾然一體。這樣的學習主題抓住了核心的要素——“十進制、計數單位”。

讓孩子們能夠圍繞著不同的內容，多層次、多角度的進行探究，加深對數本質的理解；而在這個過程當中，讓學生自己動手操作，讓學生多活動，畫一畫、分一分，當然也離不開學生的觀察，老師啟發(fā)式地講解，從而建好這個知識結構的“承重墻”，溝通不同的內容之間的內在聯(lián)系，來打通小數和整數之間的這個“隔斷墻”。

2.以“加法”為核心，感悟運算本質的一致性。

剛才我講的是數本質的一致性，那我們來看看運算本質的一致性。

以“加法”為核心，在數的運算當中，我們老師不能只是按照一個知識點一個知識點的去教，孩子按照一個知識點一個知識點的去學，這樣的教學會把這些零散的、碎片化的知識點存在兒童頭腦中，它沒有結構、沒有系統(tǒng)、沒有邏輯，會導致什么問題呢？這些碎片化的知識不成系統(tǒng)、凌亂的在孩子們的腦子中，當他在陌生的新情境下要解決問題的時候，不能很快的產生關聯(lián)，不能快速的提取腦子中的主要知識、概念去解決問題，所以孩子心中加是加，減是減，乘是乘，除是除。

馬芯蘭教授曾經對整個加、減、乘、除的運算做了有益的嘗試，她提出以“和”的概念統(tǒng)領整個運算過程，馬芯蘭教學法也獲得了國家級教學成果一等獎，前輩們的這些好的經驗是值得我們很好的分享和學習。那么，我們在數與運算的教學中，如何促進有效的理解和遷移呢？如何改變原有的教學方式、學習方式來幫助學生進行深度的思考呢？

馬芯蘭教授在講加、減、乘、除意義的時候就提出來了，我們不僅僅要知道加、減、乘、除分別的意義是什么，還要把它們建立聯(lián)系。我們的孩子現在能夠列式：“2只小鴨子在河里游，又游來了3只，一共是5只”，能理解加法的意義是什么，這是他一個現實水平。但是我們希望能夠把加、減、乘、除的關系幫助學生講清楚，讓學生感悟到他們之間的關聯(lián)。在感悟關聯(lián)的時候，我們一切運算又可以從“加法”推演。馬芯蘭教授就講到了以“加法”為核心，推出了減法，因為減法就是加法的逆運算；又引出了乘法，因為乘法就是加法的簡便運算；那么除法呢？除法它是乘法的逆運算，做除法的過程也在做的是什么？做的就是減法。我們所期待的水平是不僅僅要建好加、減、乘、除的“承重墻”，更希望能夠打通加、減、乘、除之間的關系，讓這個承重墻更有力。

數學是有邏輯的，我們今天所說的改變學習方式，就是要把老師教的邏輯改變成學的邏輯，也就是說，多給孩子一些機會。比如，我們入學不久的兒童將要學習簡單的加法“7 3”，我們可以在這個數線模型上讓學生自己動手去數一數，一個一個的單位的往上加；“7-2”呢，一個一個單位的往回減。一個一個的向前數，這不就是“1”這個單位的不斷的累加過程嗎？一個一個的往回數，也是這個單位不斷的往回減的過程。那么乘法呢？“4×3”不就是一群一群的往前數嗎？4個1為一群。那么反過去除法呢？18÷5是5個5個的往回減，最后剩了3。在這個數線模型上，我們看到了加法和減法的“互逆”的關系，乘法和除法呢，依然有這樣的“逆運算”的關系。

像這些能不能讓孩子自己體驗體驗呢？讓孩子講“7 3”的故事、“7-2”的故事、“4×3”的故事、“18÷5”的故事，在故事中去理解到加、減、乘、除之間重要的關系，以“加法”為核心，引發(fā)出加、減、乘、除之間的關系。有了這種單元學習主題，你的教學方法就要不斷的改變，我覺得應當給學生一些探索的空間，讓學生不僅僅分別清楚他們的本質意義，更要打通這個隔斷墻，知道他們的逆運算的關系，知道他們之間的重要的關聯(lián)，這樣的學習可以讓學生深刻的理解他們的本質意義。

談到關系，我們來看。加法模型：部分部分=整體；乘法模型：每份數x份數=總數。當然在乘法模型里，我們現在主要講的是單價，數量和總價這個模型，還有速度、時間和路程這個模型。有了這樣的一個基本的框架，你再帶領孩子們不斷探索：若干個不同的部分合成一個整體，從整體減去一部分不就等于另一部分嗎？若干個相同的部分也可以走向整體，就是一群一群地往上累加，有了乘法；往回走，又有了除法。過去我們講的11種簡單類型的應用題，實際上是我們今天作為數量關系的一個主題，我們不是在題型上的訓練，而是讓學生能夠有這樣的結構：從“和”出發(fā)，把這一組組的關系，通過讓孩子們在解決真實的問題當中把它總結出來，在這個過程當中理解數量之間的關系，以核心概念形成一個比較完整的數學知識體系，建立一種結構化的數學思維，這樣對學生未來的數學發(fā)展很重要。這個過程其實就是一個兒童“結構化的思維”的培養(yǎng)過程。

學生學習方法怎么去改變，老師設計一些問題，也讓學生提出一些問題，比如說讓他們產生一些問題之后進行辯論、反思，來明確數學的本質，來理解體會運算本質具有一致性的，他們之間是有關聯(lián)的，從而培養(yǎng)孩子一種推理能力、運算能力、創(chuàng)新能力等。

再看整數加減法，小數加減法，分數加減法，我們在做豎式的時候，形式是不一樣的，整數強調“末尾對齊”，小數強調“小數點對齊”，分數強調要先“通分”，它們有共同的本質特征嗎？

它們的運算本質是一致的，都是要找到相同的單位進行累加。那么找到了相同的單位進行加或者減，就要讓學生去理解他們的關系。正確的理解運算之間的關系，是學習四則運算的重要基礎，同時更是以數量關系這樣的主題來進行解決問題的重要的依據。

我們再看，整數乘除法、小數乘除法、分數乘除法之間有關聯(lián)嗎？改變學習方式，就要讓學生在這樣的學習主題當中獲得結構化的思維，能夠整體的去看這些零散的、碎片化的知識。我們來看看這個例子：

不管是整數、小數、還是分數，他們都與計數單位有關。整數除法中9個10平均分成4份，每份是兩個10，那么剩下一個10怎么辦？得不到整十了，就把它細化成10個一繼續(xù)分呀。但是在整數的除法學習中，我們就到這兒止住了。有經驗的老師會在這里再開一扇窗：不知道未來的學習中，我們能不能對這個“1”繼續(xù)分呢？拓展到后續(xù)學習的聯(lián)系，就到了小數除法了。大家看一看小數除法中“17-16”余的這個1怎么辦？化成了10個0.1，繼續(xù)分；分4個0.2后還余下2個0.1，又繼續(xù)分。整數除法和小數除法道理完全是一樣的，本質特征都是“十進制”，都是把單位不斷的在進行等分，當得不到整個的這樣多少個單位的時候，我們就細化成下一個等份繼續(xù)分。分數除法也依然，舉一個最簡單的例子，1/2÷3，不就是求它的1/3嗎？我們看看1/2的1/3，讓學生自己動手畫一畫，通過畫圖、折紙，讓他們進行討論、質疑，得到的是多少呢？是1/6，把1/2張長方形紙平均分成3份，每份就是這張長方形紙的1/6。

從最簡單的除法開始都與計數單位是有關系的，特別是整數除法和小數除法“十進制”之間的這樣一種關系。在小數意義中我們對“數位”、“位值”、“計數單位”這些核心概念的深入理解。如果在當時，有些同學對小數的意義理解還不夠，程度上還不夠深入，那么你在講小數加減法的時候，再等一等這些小朋友，讓他們在這里再一次理解小數的意義，知道數意義和數運算是相輔相成，相互依賴的，打通數與運算之間的“隔斷墻”，建好數意義與數運算的“承重墻”。

整數、小數、分數具體的豎式的計算形式不完全一樣，本質也是一樣的，也都是要調相同的單位上的那個數去相加或相減，同時我們看到運算與小數意義、整數意義也是有關聯(lián)的，整數除法和小數除法是有關聯(lián)的，運算和解決問題又是有關聯(lián)的，這一個個核心知識，通過他們的核心的概念組建成了知識群、知識團，構建了一個完整的知識網，這樣的學習有助于孩子們的理解。

我們有了這些觀點之后，我們就要有這種單元學習主題建構的教學方式，讓孩子們在這種方式當中獲得思考和學習。有了這種整體的把握，學生獲得的知識不是散點，而是有聯(lián)系的知識網。

建立了這樣的知識的結構，能夠以單元學習主題的視角去思考兒童的學習，它是圍繞著核心概念、關鍵能力組建成了知識團、知識群的探索的過程，它的知識的整體結構是相互融通的，所以我們經常說舉一反三，觸類旁通，綱舉目張就是這個道理。這樣的學習能夠更長久地幫助學生記憶信息，還可以更深入的理解數學概念，更有效的解決問題。

因為他頭腦中的概念是有序的排列，在面對陌生問題的時候，他可以有序地提取數學知識的概念而進行快速的進行問題解決。通過這樣的學習，不斷的促進孩子們的理解性的學習、結構性思維的培養(yǎng)，這種結構彰顯了數學知識的豐富的聯(lián)系。

三、重視深度理解，促進融會貫通。

學習方式的改變，如果我們還是老師講、學生聽，一個知識點的這樣去講完，學生不可能融會貫通。

以“統(tǒng)計與概率”為例：“統(tǒng)計與概率”是小學數學學習的學習領域之一，我認為它屬于核心知識，尤其是在大數據的時代，統(tǒng)計與概率的學習價值更加凸顯出來。主要內容無非是這幾種：分類、統(tǒng)計圖表，統(tǒng)計量，概率，過去只是把平均數作為統(tǒng)計量，現在通過和專家們的討論，這些專家們站在數學本質的角度，把百分數也是作為一個重要的統(tǒng)計量。

數據的收集、整理和表達包括了這么多的內容，要干什么？就是要讓學生去感受現實生活中存在著大量的數據，其中蘊含著很有價值的信息，我們能不能有效的提取，知道這些統(tǒng)計圖表、統(tǒng)計量都是可以呈現和刻畫這些信息的重要的數據，來形成數據的意識。如果我們還是坐在那里出一個統(tǒng)計圖，怎么畫，怎么做，做的很精致，甚至老師講學生就在那兒不斷的各種各樣的涂出來，這是不行的。

我們必須要改變學習方式，讓孩子們真正的去做一些調研，要想發(fā)展孩子的數據意識，這個過程是漫長的，我們不指著一節(jié)課或者幾節(jié)課把整個統(tǒng)計的教學完成，那是不可能的。收集數據你不改變學習方式行嗎？這些數據不是老師拿來放在黑板上我們分析分析就得了，許多的事情是需要孩子們自己在生活中去完成的，需要解決什么問題，他們自己要找到真實的任務情境，找到這個真實的任務，然后根據這個任務來設計解決問題的方案和規(guī)劃，在規(guī)劃中他們必須要親自調查研究、收集數據、整理數據，在整理的過程當中來對數據產生新的認識，這些老師和家長都是不能替代的。比如說數據，在分析數據的時候，它的趨勢、關系、預測、推斷及如何進行問題解決，都是需要孩子們在真實情境中去體驗的。所以統(tǒng)計與概率，我們不能僅僅是在課堂上一塊黑板、一只粉筆，甚至加幾個演示文稿就解決的問題，改變學習方式，就是要讓孩子們在真實的任務當中去經歷一個收集、整理數據的真實的過程，來培養(yǎng)學生的綜合能力。

在這里我重點講我們怎么進行“平均數”和“百分數”的教學。

平均數的教學：

對平均數的教學，我們要多維一點的理解。孩子們說平均數就是除法，不對嗎？平均數的本質是除法呀，我們把一個一個的數整合在一起，然后去除以相對應的份數，它就是除法。平均數的本質具有代表性，它是一種集中趨勢的刻畫；平均數具有取值范圍，它會在最大值和最小值之間；平均數容易受極值的影響，具有敏感性；平均數還可以通過小樣本來推測大樣本，像這些平均數豐富的意義，具有統(tǒng)計價值的統(tǒng)計量。我們怎么讓孩子在學習中得到感悟呢？

比如說學生學習平均數的產生，小組比賽跳繩也好，拍球也好，哪個組水平高？人數不一樣了，還用總數來進行比較顯然不合適，因此有了平均數。再如平均數具有代表性，第1組2號同學，他跳了92個，平均也是92，這兩個92一樣嗎？這個問題孩子挺扎心的，明明都是92，為什么它代表的意義不一樣呢？

我們就是通過這樣讓他去感受平均數具有代表性，一個是代表個人的，一個是代表整體的（這個小組的），是多的少的均勻之后得到的，雖然都是92分，它的意義是不同的。我們再通過對平均數的分析來感受它的趨中性（就是它是一種集中趨勢的表達刻畫），它在最大和最小值之間。如，這個92，一定有人跳的比92多，也有的低于92，是均勻以后得到了它。

怎么去感受平均數也具有這樣一種隨機性呢？比如說，把第2組再增加一位同學，這時候的平均成績會不會一定比第1組的平均成績高呢？這個數是隨機性的，如果他跳的很多，平均數也可以繼續(xù)提升，如果他跳的比較少，平均數就會降下來。

再如平均數的統(tǒng)計意義。在今年的2021年1月18日的《人民日報》報道了這樣一個事件，就是“300顆星的故事”，把300顆星做一個分段統(tǒng)計的時候，我們清晰的發(fā)現第3個100顆星只用了3年的時間，那平均一年就能發(fā)射30多顆星，把這三個平均數再進行比較分析的時候，我們可以更加直觀的理解到數據的變化趨勢與程度，來感悟我國航天事業(yè)的加速發(fā)展。

通過分段的平均數和把50年發(fā)射的300顆星求個平均數，這個意義價值的比較進一步感受到平均數的統(tǒng)計意義。

決定平均數值大小的是兩個因素：總數量和總份數，當總數量和總份數不相同的時候，我們不能只看其中的一個因素。如，中國的淡水資源是全世界的第4位，但是一到人均水資源，我們一下子跑到了121位，什么是人均水資源？怎么去體會這個平均數的意義呢？我想都可以讓孩子們通過閱讀資料來理解。

百分數的教學：

大家知道生活中的百分數，包括稅率、利率等等，原有的百分數意義我們保留，這里我重點講百分數的統(tǒng)計意義。

百分數是對隨機現象刻畫和表達，怎么讓學生去理解？

我舉這樣一個案例：1號2號兩位同學套圈，誰套圈的水平高？我們要經過比一比，我們只給出套中的次數，你是9，我是5，無法比。我們再給出套圈的總次數，有了它就可以通過通分去比較出他們誰套圈的套中率高。這個過程通過通分來找到統(tǒng)一的標準，從無法比較到尋求新的數量（套圈總次數）找到他們之間的關系進行比較。

再給出一些數據（3號、4號），現在你還能統(tǒng)一到分母是20進行比較嗎？

顯然不合適，那這一次又進行了通分，又找到了比較的辦法，通過自主嘗試，感受到單位統(tǒng)一的重要，不斷的去討論，最終找到這個百分數（以分母100）來作為一個標準更合適。現在他們已經有了一個基本的排位，如果這4人再重新組織一次這樣的套圈比賽，名次會有變化嗎？你能繼續(xù)來關注他們的比賽結果嗎？體會百分數是對隨機現象刻畫的過程。

在百分數的學習過程中，我們還可以像降水概率、手機的充電量等生活中多個這樣的實例來體會百分數這4個重要的節(jié)點對判斷事物的決策作用，這些都可以在生活中去體驗、去感受。

另外，我們還可以通過設計學生參與的實踐活動，比如說二年級學生定踢鍵子標準，怎么就達標呢？

100個人也好，200個人也好，讓他們自己去收集數據，自己去實踐，然后看一看多數的人能達到一個什么水平來定好這個標準，如果75%左右的人都能達到一定數量的標準，那可不可以把這個數量作為二年級學生踢鍵子的一個基本標準呢？那25%沒達到，我想他通過努力也是可以達到的。就是通過來制定一些標準，通過這樣的小樣本來推算來推測這些大樣本，體現百分數的統(tǒng)計價值，

百分數是數量之間的倍比關系的。今天我們從統(tǒng)計意義這個角度來說，就是從統(tǒng)計量、統(tǒng)計價值的思考，它能夠體現對隨機數據之間的關系。最典型的是GDP，GDP的年增長是隨機的，對于一個國家增長情況的判斷，不能只用一個簡單的數量來進行表達，因為每個國家的體量大小不一樣，它就要找到它們之間的重要的比的關系，那么百分數在這里發(fā)揮了重要的作用，它可以有一個這樣的標準，這樣的一把尺子來進行比較。

改變學習方式，促進孩子們的深度學習，在“統(tǒng)計”教學當中我們需要學生做一些真實的調研，需要他們對數據進行分析整理；在“數與代數”的學習當中，他們可以讓他們自己親自畫一畫，來做一些小組的合作學習、對話交流，通過這種學習方式的改變，讓他們能夠對數學的本質理解；通過在挑戰(zhàn)性的學習活動中，讓他們不斷的發(fā)現、提出問題并進而積極的解決問題，在這個過程中去感受數學的魅力，數學的價值，數學的力量，那么從而喚起學生學習的興趣、信心和積極的情感體驗，讓他們對未來的學習更有期待，從而更加熱愛數學學習，不斷的實現每個孩子自身的成長性的成長。

感謝：

中國教育學會小學數學教學專業(yè)委員會

人民教育出版社

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