重慶市永川北山中學(xué)校 黃基云

橢圓在伸縮變換下變成了圓x′2+y′2=1，直線l：Ax+By+C=0(AB≠0)在伸縮變換下仍然變成直線l′：aAx′+bBy′+C=0(AB≠0)，其斜率用圓的性質(zhì)來(lái)解決直線與橢圓問(wèn)題，解法簡(jiǎn)便快捷.

一、直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題

例1 判定直線3x-2y+3=0與橢圓的位置關(guān)系.

解：作坐標(biāo)變換則在新坐標(biāo)系x′O′y′中，橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，直線的方程變?yōu)?x′-2y′+3=0.

因?yàn)閳A心O′(0，0)到直線6x′-2y′+3=0的距離(單位圓的半徑)，所以直線與單位圓相交，于是直線3x-2y+3=0與橢圓相交．

評(píng)注：利用單位圓中圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷橢圓和直線的位置關(guān)系.設(shè)直線為Ax+By+C=0(AB≠0)，橢圓為則直線與橢圓相交等價(jià)于a2A+b2B-C2>0；直線與橢圓相切等價(jià)于a2A+b2B-C2=0；直線與橢圓相離等價(jià)于a2A+b2B-C2<0.

二、直線與橢圓的最值問(wèn)題

例2 在橢圓上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到直線x+2y-10=0的距離最小，并求出最小距離.

解：作坐標(biāo)變換則在新坐標(biāo)系x′O′y′中，橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，直線的方程變?yōu)?x′+4y′-10=0.

所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：在單位圓上求一點(diǎn)M′，使點(diǎn)M′到直線3x′+4y′-10=0的距離最小，并求出最小距離.

因?yàn)檫^(guò)圓心O′(0，0)與直線3x′+4y′-10=0垂直的直線的方程為它與單位圓的交點(diǎn)為所以到直線3x′+4y′-10=0的距離最小，于是橢圓上的點(diǎn)到直線x+2y-10=0的距離最小，最小距離為

評(píng)注：這是人教版4-4上的一道例題，常規(guī)思路是用橢圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)求極值的方法求解，也可以用向量的方法求解.

三、直線與橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題

例3 已知橢圓+y2=1.

(1)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；

(2)過(guò)點(diǎn)A(2，1)的直線l與橢圓相交，求直線l被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；

(3)過(guò)點(diǎn)且被P平分的弦所在直線的方程.

解：(1)作坐標(biāo)變換則在新坐標(biāo)系x′O′y′中，橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，斜率為2的直線變?yōu)樾甭蕿?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/07/1022/226033282_21_20210710102306364' title="width=25,height=14,dpi=110" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" alt="圖片">的直線.

所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：在單位圓中求斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程.

設(shè)中點(diǎn)為P′(x′，y′).直線O′P′的斜率即所以所求軌跡方程為

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(2，1)的直線l的方程為y-1= k(x-2).

作坐標(biāo)變換則在新坐標(biāo)系x′O′y′中，橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，A(2，1)變?yōu)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/07/1022/226033282_25_20210710102307176' title="width=70,height=14,dpi=110" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" alt="圖片">直線l的方程變?yōu)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/07/1022/226033282_26_20210710102307223' title="width=153,height=15,dpi=110" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" alt="圖片">

所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：過(guò)點(diǎn)的直線l′與單位圓相交，求直線l′被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程.

設(shè)中點(diǎn)為P′(x′，y′).直線O′P′的斜率則過(guò)點(diǎn)的直線l′被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程為即所以所求軌跡方程為x2+2y2-2x-2y=0(夾在橢圓內(nèi)的部分).

(3)作坐標(biāo)變換則在新坐標(biāo)系x′O′y′中，橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，點(diǎn)變成點(diǎn)

所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：求在單位圓中過(guò)點(diǎn)且被P′平分的弦所在直線的方程.

直線O′P′的斜率過(guò)點(diǎn)且被P′平分的弦所在直線的方程為即所以所求直線方程為2x+4y-3=0.

評(píng)注：原來(lái)弦的中點(diǎn)，變換后仍然是弦的中點(diǎn)；過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(m，n)引動(dòng)弦的中點(diǎn)的軌跡方程為設(shè)P(m，n)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為(當(dāng)n≠0時(shí))或x=m(當(dāng)n=0時(shí)).

四、直線與橢圓的相交弦問(wèn)題

例4 已知橢圓直線是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.

解：作坐標(biāo)變換則在新坐標(biāo)系x′O′y′中，橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，直線l的方程變?yōu)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2021/07/1022/226033282_42_20210710102310145' title="width=81,height=37,dpi=110" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" alt="圖片">

因?yàn)樵谠鴺?biāo)系中有|OQ|·|OP|=|OR|2，所以在新的坐標(biāo)中|O′Q′|·|O′P′|=仍成立.

設(shè)以O(shè)′x′軸為始邊，O′P′為終邊的角為θ.令|O′P′|=r，則P′(rcosθ，rsinθ)，則而|O′R′|=1，所以

設(shè)Q′(x′，y′).

則

即

①2+②2可得點(diǎn)Q′的軌跡方程為(點(diǎn)Q′不與原點(diǎn)O′重合).

把代入上式即得點(diǎn)Q的軌跡方程為故點(diǎn)Q的軌跡是以(1，1)為中心，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為短半軸長(zhǎng)為且焦點(diǎn)在直線y=1上的橢圓(除去原點(diǎn))．

評(píng)注：上述給出的解法充分利用在新坐標(biāo)系下“|O′R′|=1”，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算.其實(shí)，點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)在伸縮變換下變?yōu)辄c(diǎn)P1′(x1′，y1′)和點(diǎn)P2′(x2′，y2′)，則其中k為直線P1P2的斜率.

五、直線與橢圓的相切問(wèn)題

例5 已知點(diǎn)P(x，y)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值.

解：作坐標(biāo)變換則在新坐標(biāo)系x′O′y′中，橢圓變成單位圓

所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：P′(x′，y′)是單位圓x′2+y′2=1上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.

設(shè)A(2，0)，則u即為直線AP′的斜率k.

設(shè)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線為AB、AC(B、C為切點(diǎn))，則

當(dāng)點(diǎn)P′和點(diǎn)C重合時(shí)，k取最大值即當(dāng)也即當(dāng)時(shí)，

評(píng)注：本題的常規(guī)解法是用橢圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)求極值的方法求解，或化為橢圓上的點(diǎn)和定點(diǎn)A(2，0)的連線的斜率的最值求解，但運(yùn)算相對(duì)比較復(fù)雜．

一般情況下，解決直線與橢圓問(wèn)題時(shí)，需要聯(lián)立求解，用韋達(dá)定理求解出x1+x2或x1x2，較為煩瑣，把橢圓變成圓以后，我們就可以利用圓的一些幾何性質(zhì)來(lái)解決直線(直線伸縮變換后仍為直線)與橢圓的相交或相切問(wèn)題，計(jì)算也會(huì)大大簡(jiǎn)化.值得注意的是伸縮變換后同一直線上或平行直線上的兩線段長(zhǎng)度比不發(fā)生改變.兩圖形經(jīng)伸縮變換后交點(diǎn)個(gè)數(shù)不變，也就是說(shuō)，原圖形若相交，則變換后仍相交；原圖形若相切，則變換后仍相切；原圖形中若是弦的中點(diǎn)，則變換后仍是弦的中點(diǎn).