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張國(guó)川——基于直觀想象下的解三角形問題 “圓”來如此精彩

 昵稱54451547 2021-07-10

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   創(chuàng)設(shè)問題情境方能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與課堂學(xué)習(xí),才能讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地.如何創(chuàng)設(shè)問題情境?筆者認(rèn)為在課堂中嘗試以問題串的探索形式是不錯(cuò)的選擇,讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下,步步深入主動(dòng)參與,深刻體會(huì)圖形的逐步形成過程,而不是呈現(xiàn)結(jié)果性圖形.如果教師沒有創(chuàng)設(shè)一定的學(xué)習(xí)環(huán)境,核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就是一句空話.直觀想象的成功運(yùn)用是依托圖形的,所以學(xué)會(huì)構(gòu)圖才是王道,注重過程性教學(xué),創(chuàng)設(shè)直觀想象核心素養(yǎng)落地的學(xué)習(xí)情境是教學(xué)中形成學(xué)生素養(yǎng)的關(guān)鍵一環(huán).

同樣地,試題研究和學(xué)習(xí)過程本質(zhì)是一致的,都是在試圖通過解題培育一種數(shù)學(xué)思維,本文借助泉州市質(zhì)檢試題談?wù)勅绾瓮ㄟ^直觀想象解決三角形問題,當(dāng)三角形“遇上”圓,解題將變得如此精彩,給人回味無窮.

爪子型三角形的解三角形問題方法很多,通??梢圆捎谩班徰a(bǔ)角策略”、“算兩次”策略依據(jù)正余弦定理列方程求解;也可以采用作高、作平行線等手段利用初等幾何知識(shí)求解;亦可借助向量工具采用基底法對(duì)向量進(jìn)行分解后平方轉(zhuǎn)化成模長(zhǎng)和數(shù)量積問題求解;還可以建立坐標(biāo)系采用解析法求解等等.本文借助直觀想象核心素養(yǎng),探討如何“想圖”----“構(gòu)圖”----“解圖”,實(shí)現(xiàn)問題的有效解決.

  1(泉州2021屆高三5月質(zhì)檢18題)

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(2)解題分析 在△ABC中,可以判斷此問題是解三角形問題,初步斷定可以選擇正余弦定理解決;創(chuàng)設(shè)問題情境是使得數(shù)學(xué)問題顯性化的有效途徑.

問題1 基于條件“AB=2AC”,你能判斷點(diǎn)A的位置嗎?

答:點(diǎn)A到線段BC兩端點(diǎn)的距離比是常數(shù),所以當(dāng)線段BC長(zhǎng)度一定時(shí)點(diǎn)A的軌跡是“阿氏圓”,當(dāng)長(zhǎng)度不定時(shí),此時(shí)邊長(zhǎng)是按比例伸縮,此時(shí)可以假設(shè)AC=x,AB=2x.

問題2 基于條件“點(diǎn)D在BC邊上,AD平分∠BAC”,你能判斷點(diǎn)D的位置嗎?

答:AD平分∠BAC,所以AD是角平分線,根據(jù)角平分線定理,知道點(diǎn)D是線段BC的三等分點(diǎn).

問題3 基于條件“AD=AC”,你能聯(lián)想到哪個(gè)幾何圖形?

答:因?yàn)锳D=AC可看作是繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的兩相等線段AD,AC,即共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等線段問題,所以能夠聯(lián)想到“圓模型”.

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【解后反思】此解法成功的避開了二倍角公式、半角公式、以及利用正余弦定理所得的復(fù)雜二元二次方程,直接利用圖形的直觀,借助割線定理得到比例關(guān)系,利用勾股定理求得高的長(zhǎng)度,實(shí)現(xiàn)面積的有效轉(zhuǎn)化,可見直觀想象的引領(lǐng)可以幫助簡(jiǎn)化解三角形的計(jì)算問題,實(shí)現(xiàn)問題的圓滿解決.

2(泉州2019屆高三單科質(zhì)檢文科18題)

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【解后反思】本題構(gòu)圖的靈感啟發(fā)源自題干中的條件“AB=AD=1”,自然聯(lián)想到“圓模型”,搭建起解三角形與圓中定理的聯(lián)系(圓中定理包括:切線長(zhǎng)定理、切割線定理、割線定理、相交弦定理等),三角形中的一些線段長(zhǎng)度便能很快求出.本題要求的是等腰三角形面積,要求面積只需要求出底邊的長(zhǎng)度,利用勾股定理再求高便可解出;此處抓住圓的一個(gè)重要性質(zhì):直徑所對(duì)的圓周角是直角,搭建起直角三角形面積和等腰三角形面積的數(shù)量關(guān)系,也能很快求出面積.理論上講,利用正余弦定理解三角形本質(zhì)是一種代數(shù)解決幾何問題的辦法,借助方程思想搭建起邊角之間的等量關(guān)系,但有時(shí)二元方程對(duì)于學(xué)生來講并不容易,采用平面幾何知識(shí)能直觀的從圖形中尋找到隱藏于圖形背后的關(guān)系,也符合新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“多思少算”的核心理念.

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【作者簡(jiǎn)介】張國(guó)川,中共黨員,一級(jí)教師,泉州一中高中數(shù)學(xué)教師.中國(guó)教育學(xué)會(huì)會(huì)員、新青年數(shù)學(xué)教師工作室副秘書長(zhǎng)、泉州市高中數(shù)學(xué)林少安名師工作室成員.2015年參加福建省中學(xué)教師“說題”比賽《一道幾何題的拓展解析》榮獲一等獎(jiǎng);2015年在第二屆全國(guó)新青年數(shù)學(xué)發(fā)展論壇論文評(píng)比一等獎(jiǎng);泉州市2018年高中崗位練兵一等獎(jiǎng)、被泉州市人社局授予“教學(xué)能手”稱號(hào);先后在《福建中學(xué)數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)教學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》等CN刊物上發(fā)表或匯編論文近40篇;多次承擔(dān)省級(jí)培訓(xùn)研討課教學(xué),承擔(dān)省級(jí)、市級(jí)公開教學(xué),參與多個(gè)省級(jí)、市級(jí)課題研究;指導(dǎo)學(xué)生參加全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)論文寫作比賽榮獲二等獎(jiǎng).

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