在過(guò)去的一個(gè)世紀(jì)里，量子場(chǎng)論被證明是有史以來(lái)最全面、最成功的物理理論。它是一個(gè)涵蓋了許多具體量子理論的總括性術(shù)語(yǔ)——就像“形狀”涵蓋了特定的例子，如正方形和圓形。這些理論中最著名的被稱為標(biāo)準(zhǔn)模型。

它可以從基本層面解釋我們做過(guò)的每一個(gè)實(shí)驗(yàn)，劍橋大學(xué)物理學(xué)家戴維·唐（David Tong）說(shuō)。

但量子場(chǎng)論（QFT）無(wú)疑是不完整的。物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家都不知道是什么讓量子場(chǎng)論成為量子場(chǎng)論。

數(shù)學(xué)，需要內(nèi)在的一致性和對(duì)每一個(gè)細(xì)節(jié)的關(guān)注，是可能使量子場(chǎng)論完整的語(yǔ)言。如果數(shù)學(xué)能夠嚴(yán)格地描述量子場(chǎng)論，一個(gè)更完整的物理世界的圖景可能就會(huì)隨之而來(lái)。

如果你真的以恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方式理解量子場(chǎng)論，這將給我們?cè)S多開(kāi)放物理問(wèn)題的答案，甚至可能包括引力的量子化，高等研究所主任羅伯特·迪杰格拉夫說(shuō)。

千百年來(lái)，物理世界一直是數(shù)學(xué)最偉大的靈感源泉。古希臘人發(fā)明了三角學(xué)來(lái)研究恒星的運(yùn)動(dòng)。大約2000年后，艾薩克·牛頓想要理解開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律，并試圖找到一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞絹?lái)思考無(wú)窮小的變化。這種沖動(dòng)催生了微積分領(lǐng)域，數(shù)學(xué)借鑒并改進(jìn)了這一領(lǐng)域。

現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們想要對(duì)量子場(chǎng)論做同樣的事情，利用物理學(xué)家們?yōu)檠芯炕玖Ｗ佣l(fā)展的思想和技術(shù)，并將它們納入數(shù)學(xué)的主體。這意味著可以定義量子場(chǎng)論的基本特征，這樣未來(lái)的數(shù)學(xué)家就不必考慮該理論最初出現(xiàn)的物理環(huán)境。

回報(bào)很可能是巨大的：當(dāng)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)新的探索對(duì)象和捕捉到一些最重要的關(guān)系（數(shù)字、方程和形狀之間的關(guān)系）的新結(jié)構(gòu)時(shí)，它就會(huì)有所發(fā)展。

至少40年來(lái)，量子場(chǎng)論一直吸引著有想法的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯俊＝陙?lái)，他們終于開(kāi)始理解量子場(chǎng)論本身的一些基本對(duì)象——將它們從粒子物理世界中抽象出來(lái)，并將它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)對(duì)象。

然而，這一努力仍處于早期階段。如果數(shù)學(xué)家們真的理解量子場(chǎng)論，那將導(dǎo)致數(shù)學(xué)的深刻進(jìn)步。

場(chǎng)

人們通常認(rèn)為宇宙是由基本粒子構(gòu)成的：電子、夸克、光子等等。但物理學(xué)很久以前就超越了這一觀點(diǎn)。物理學(xué)家現(xiàn)在談?wù)摰牟皇橇Ｗ樱撬^的“量子場(chǎng)”。

這些場(chǎng)貫穿宇宙的時(shí)空。它們有很多種類(lèi)，像起伏的海洋一樣波動(dòng)。當(dāng)電場(chǎng)波動(dòng)并相互作用時(shí)，粒子從電場(chǎng)中出現(xiàn)，然后又消失在電場(chǎng)中，就像短暫的波峰一樣。

粒子不是永遠(yuǎn)存在的物體

要理解量子場(chǎng)，最簡(jiǎn)單的方法是從一個(gè)普通的或經(jīng)典的場(chǎng)開(kāi)始。想象一下，例如，測(cè)量地球表面每一點(diǎn)的溫度。將可以進(jìn)行這些測(cè)量的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，形成一個(gè)幾何物體，稱為場(chǎng)，它將所有的溫度信息打包在一起。

一般來(lái)說(shuō)，只要你有一個(gè)量，可以在空間中以無(wú)限高的分辨率唯一地測(cè)量，場(chǎng)就會(huì)出現(xiàn)。當(dāng)你在空間和時(shí)間的每一點(diǎn)觀察量子現(xiàn)象，比如電子的能量時(shí)，量子場(chǎng)就產(chǎn)生了。但量子場(chǎng)與經(jīng)典場(chǎng)有本質(zhì)的不同。

地球上某一點(diǎn)的溫度就是它的溫度，不管你是否測(cè)量它，在你觀察到它們之前，電子都沒(méi)有確定的位置。在此之前，它們的位置只能用概率來(lái)描述，通過(guò)給量子場(chǎng)中的每個(gè)點(diǎn)賦值來(lái)獲得你在那里找到電子的可能性。在觀察之前，電子是無(wú)處不在。

物理學(xué)中的大多數(shù)東西不僅僅是物體;它們存在于空間和時(shí)間的每個(gè)點(diǎn)。

量子場(chǎng)論提出了一套稱為相關(guān)函數(shù)的規(guī)則，用來(lái)解釋場(chǎng)中某一點(diǎn)的測(cè)量如何與另一點(diǎn)的測(cè)量相關(guān)。

每種量子場(chǎng)論都以特定的維度來(lái)描述物理。二維量子場(chǎng)論通常用于描述材料的行為，如絕緣體；六維量子場(chǎng)論與弦理論相關(guān)；四維量子場(chǎng)論描述了我們實(shí)際四維宇宙中的物理。標(biāo)準(zhǔn)模型就是其中之一，它是最重要的量子場(chǎng)論，因?yàn)樗亲钅苊枋鲇钪娴睦碚摗?/span>

宇宙由12種已知的基本粒子組成。每一個(gè)都有自己獨(dú)特的量子場(chǎng)。在這12個(gè)粒子場(chǎng)的基礎(chǔ)上，標(biāo)準(zhǔn)模型增加了四個(gè)力場(chǎng)，代表了四種基本力：引力、電磁力、強(qiáng)核力和弱核力。它將這16個(gè)場(chǎng)合并成一個(gè)方程，用來(lái)描述它們?nèi)绾蜗嗷プ饔谩Ｍㄟ^(guò)這些相互作用，基本粒子被理解為它們各自量子場(chǎng)的漲落，物質(zhì)世界浮現(xiàn)在我們眼前。

這聽(tīng)起來(lái)可能很奇怪，但物理學(xué)家在20世紀(jì)30年代意識(shí)到，物理學(xué)基于場(chǎng)，而不是粒子，解決了一些最緊迫的矛盾，從因果關(guān)系到粒子不會(huì)永遠(yuǎn)存在的事實(shí)。它還解釋了物理世界中看似不可能的一致性。

宇宙中所有相同類(lèi)型的粒子都是一樣的，如果我們?nèi)ゴ笮蛷?qiáng)子對(duì)撞機(jī)制造一個(gè)新質(zhì)子，它與一個(gè)已經(jīng)運(yùn)動(dòng)了100億年的質(zhì)子一模一樣。這應(yīng)該得到一些解釋。量子場(chǎng)論提供了這樣的解釋：所有的質(zhì)子都是同一個(gè)潛在質(zhì)子場(chǎng)中的波動(dòng)。

但量子場(chǎng)論的解釋需要付出很高的數(shù)學(xué)代價(jià)。

到目前為止，量子場(chǎng)論是數(shù)學(xué)中最復(fù)雜的對(duì)象，以至于數(shù)學(xué)家們都不知道如何理解它們。

太多的無(wú)窮

是什么讓量子場(chǎng)論如此復(fù)雜？是無(wú)窮。

當(dāng)你在某一點(diǎn)測(cè)量量子場(chǎng)時(shí)，結(jié)果不是坐標(biāo)和溫度這樣的幾個(gè)數(shù)字。相反，它是一個(gè)矩陣，一個(gè)數(shù)字?jǐn)?shù)組。不是隨便什么矩陣，而是一個(gè)很大的矩陣，叫做算子，有無(wú)限多的列和行。這反映了一個(gè)量子場(chǎng)是如何包含一個(gè)從量子場(chǎng)中出現(xiàn)的粒子的所有可能性的。

一個(gè)粒子可以有無(wú)限多個(gè)位置，這導(dǎo)致了這樣一個(gè)事實(shí)，即描述位置和動(dòng)量測(cè)量的矩陣也必須是無(wú)限維的。

當(dāng)理論產(chǎn)生無(wú)窮時(shí)，它就會(huì)對(duì)其物理相關(guān)性提出質(zhì)疑，因?yàn)闊o(wú)窮作為一個(gè)概念而存在，而不是任何實(shí)驗(yàn)可以測(cè)量的東西。這也使得理論難以用數(shù)學(xué)方法來(lái)處理。

當(dāng)物理學(xué)家開(kāi)始思考兩個(gè)量子場(chǎng)如何相互作用時(shí)，無(wú)窮大的問(wèn)題就變得更棘手了。在經(jīng)典力學(xué)中，這類(lèi)計(jì)算很容易：要模擬兩個(gè)臺(tái)球碰撞時(shí)發(fā)生的情況，只需指定每個(gè)球在碰撞點(diǎn)的動(dòng)量。

當(dāng)兩個(gè)量子場(chǎng)相互作用時(shí)，你會(huì)想做類(lèi)似的事情：將一個(gè)場(chǎng)的無(wú)限維算子乘以另一個(gè)場(chǎng)的無(wú)限維算子，正好在它們相遇的時(shí)空點(diǎn)上。但是這種計(jì)算——將兩個(gè)無(wú)限維度的物體相乘——是很困難的。

變通方法

物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家不能使用無(wú)窮大進(jìn)行計(jì)算，但是他們已經(jīng)開(kāi)發(fā)了一些變通方法來(lái)回避這個(gè)問(wèn)題。這些變通方法產(chǎn)生了近似的預(yù)測(cè)，這已經(jīng)足夠好了，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)也不是無(wú)限精確的。

我們可以做實(shí)驗(yàn)，測(cè)量到小數(shù)點(diǎn)后13位，結(jié)果一致。這是科學(xué)界最令人震驚的事情。

一種變通方法是從想象你有一個(gè)什么都沒(méi)有發(fā)生的量子場(chǎng)開(kāi)始的。在這種情況下——稱為“自由”理論，因?yàn)樗鼪](méi)有相互作用——你不必?fù)?dān)心無(wú)限維矩陣相乘，因?yàn)闆](méi)有物體在運(yùn)動(dòng)，也沒(méi)有物體碰撞。這種情況很容易用完整的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)來(lái)描述，盡管這種描述沒(méi)有多大價(jià)值。

物理學(xué)家們創(chuàng)造相互作用，試圖在使相互作用更強(qiáng)的同時(shí)保持對(duì)圖像的數(shù)學(xué)控制。

這種方法被稱為擾動(dòng)量子場(chǎng)論，在這個(gè)意義上，你允許在自由場(chǎng)中有微小的變化或擾動(dòng)。但是如果你讓相互作用更強(qiáng)，微擾方法最終會(huì)失敗。這表明，雖然微擾方法是實(shí)驗(yàn)的有用指南，但最終它不是嘗試和描述宇宙的正確方法，它在實(shí)際中有用，但在理論上不可靠。

另一種近似方案試圖通過(guò)其他方法接近成熟的量子場(chǎng)理論。從理論上講，量子場(chǎng)包含無(wú)限細(xì)粒度的信息。為了創(chuàng)造這些場(chǎng)，物理學(xué)家從網(wǎng)格或晶格開(kāi)始，并將測(cè)量限制在晶格線彼此交叉的地方。所以我們不能到處測(cè)量量子場(chǎng)，首先，我們只能在選定的位置，一個(gè)固定的距離上測(cè)量它。

從那里，物理學(xué)家提高了晶格的分辨率，把線拉得更近，創(chuàng)造出越來(lái)越精細(xì)的網(wǎng)格。當(dāng)它變緊湊時(shí)，你可以測(cè)量的點(diǎn)的數(shù)量會(huì)增加。點(diǎn)之間的距離變得非常小，這樣的東西就變成了一個(gè)連續(xù)的場(chǎng)。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，連續(xù)量子場(chǎng)是緊湊化晶格的極限。

數(shù)學(xué)家們習(xí)慣于處理極限，并且知道如何確定某些極限確實(shí)存在。但目前還不清楚如何計(jì)算這個(gè)極限，以及它在數(shù)學(xué)上意味著什么。

物理學(xué)家并不懷疑，緊湊化晶格正朝著量子場(chǎng)的理想概念發(fā)展。量子場(chǎng)論的預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的緊密吻合有力地說(shuō)明了這一點(diǎn)。

“毫無(wú)疑問(wèn)，所有這些限制都確實(shí)存在，因?yàn)榱孔訄?chǎng)理論的成功是非常驚人的，”塞伯格說(shuō)。但是有強(qiáng)有力的證據(jù)證明某事是正確的和最終證明某事是正確的是兩碼事。

艾薩克·牛頓的運(yùn)動(dòng)定律、量子力學(xué)、阿爾伯特·愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論——它們都只是量子場(chǎng)論的一部分，但與量子場(chǎng)論不同的是，它們都可以用精確的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)寫(xiě)下來(lái)。

量子場(chǎng)理論作為一種幾乎通用的物理現(xiàn)象語(yǔ)言出現(xiàn)，但它在數(shù)學(xué)上卻處于糟糕的狀態(tài)。對(duì)一些物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，這是停滯不前的原因。

數(shù)學(xué)類(lèi)比

即使在這種不完整的狀態(tài)下，量子場(chǎng)論也促成了許多重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。相互作用的一般模式是，使用量子場(chǎng)論的物理學(xué)家偶然發(fā)現(xiàn)了令人驚訝的計(jì)算，然后數(shù)學(xué)家試圖解釋。

在基本層面上，物理現(xiàn)象與幾何有著密切的關(guān)系。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如果你讓一個(gè)球在一個(gè)光滑的表面上運(yùn)動(dòng)，它的軌跡將“照亮”任何兩點(diǎn)之間的最短路徑，這被稱為測(cè)地線。通過(guò)這種方式，物理現(xiàn)象可以檢測(cè)出一個(gè)形狀的幾何特征。

現(xiàn)在把臺(tái)球換成一個(gè)電子。電子概率地存在于表面的每一個(gè)地方。通過(guò)研究捕獲這些概率的量子場(chǎng)，你可以了解這個(gè)表面的總體性質(zhì)，比如它有多少洞。這是幾何學(xué)和相關(guān)拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家們想要回答的一個(gè)基本問(wèn)題。

20世紀(jì)70年代末，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家開(kāi)始應(yīng)用這種觀點(diǎn)來(lái)解決幾何中的基本問(wèn)題。到20世紀(jì)90年代早期，塞伯格（Seiberg）和他的合作者愛(ài)德華威滕（Edward Witten）想出了如何使用它來(lái)創(chuàng)造一種新的數(shù)學(xué)工具——現(xiàn)在稱為塞伯格-威滕不變量——將量子現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為一個(gè)形狀的純數(shù)學(xué)特征的指標(biāo)：計(jì)算量子粒子以某種方式運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，你就能有效地計(jì)算出一個(gè)形狀中的洞的數(shù)量。

威滕證明了量子場(chǎng)論能給幾何問(wèn)題提供完全意想不到但又完全精確的洞見(jiàn)，使棘手的問(wèn)題得以解決。

這種轉(zhuǎn)換的另一個(gè)例子也發(fā)生在20世紀(jì)90年代初，當(dāng)時(shí)物理學(xué)家正在進(jìn)行與弦理論有關(guān)的計(jì)算。他們根據(jù)完全不同的數(shù)學(xué)規(guī)則在兩個(gè)不同的幾何空間中進(jìn)行運(yùn)算，并不斷生成一長(zhǎng)串彼此完全匹配的數(shù)字。數(shù)學(xué)家們撿起了這條主線，并將其細(xì)化為一個(gè)全新的研究領(lǐng)域，稱為鏡像對(duì)稱。

但是，盡管量子場(chǎng)論成功地為數(shù)學(xué)創(chuàng)造了可遵循的線索，但它的核心思想仍然幾乎完全存在于數(shù)學(xué)之外。量子場(chǎng)論并不是數(shù)學(xué)家們理解得足夠好的對(duì)象，不能像他們使用多項(xiàng)式、群、流形和該學(xué)科的其他支柱那樣使用它們。

對(duì)物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，這種與數(shù)學(xué)的遙遠(yuǎn)聯(lián)系表明，對(duì)于他們誕生的理論，還有很多東西需要理解。塞伯格說(shuō)：“在過(guò)去的幾個(gè)世紀(jì)里，物理學(xué)中使用的所有其他想法在數(shù)學(xué)中都有其天然的位置，量子場(chǎng)論顯然不是這樣的。”

對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，似乎量子場(chǎng)論和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系應(yīng)該比偶爾的互動(dòng)更深刻。這是因?yàn)榱孔訄?chǎng)論包含了許多對(duì)稱，或潛在的結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)規(guī)定了場(chǎng)的不同部分的點(diǎn)如何相互關(guān)聯(lián)。這些對(duì)稱性具有物理意義——它們體現(xiàn)了隨著量子場(chǎng)的演化，能量等量是如何守恒的。但它們本身在數(shù)學(xué)上也是很有趣的東西。

數(shù)學(xué)家可能關(guān)心某種對(duì)稱性，我們可以把它放在物理環(huán)境中。它在這兩個(gè)領(lǐng)域之間創(chuàng)造了一座美麗的橋梁。

數(shù)學(xué)家已經(jīng)使用對(duì)稱性和幾何學(xué)的其他方面來(lái)研究從解不同類(lèi)型的方程到素?cái)?shù)的分布的一切。量子場(chǎng)論為數(shù)學(xué)家們提供了一種豐富的新型幾何對(duì)象。

為量子場(chǎng)論讓路

數(shù)學(xué)不會(huì)輕易接納新學(xué)科。許多基本概念都經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)時(shí)間的考驗(yàn)，才在這個(gè)領(lǐng)域中找到了合適的、規(guī)范的位置。

取實(shí)數(shù)——數(shù)軸上無(wú)限多個(gè)刻度。數(shù)學(xué)花了近2000年的實(shí)踐才在定義它們的方法上達(dá)成一致。最后，在19世紀(jì)50年代，數(shù)學(xué)家們確定了一個(gè)精確的三個(gè)詞的描述，將實(shí)數(shù)描述為“完全有序域”。它們是完整的，因?yàn)樗鼈儧](méi)有間隙，它們是有序的，因?yàn)榭傆幸环N方法來(lái)確定一個(gè)實(shí)數(shù)是否大于或小于另一個(gè)實(shí)數(shù)，它們形成了一個(gè)“域”，這對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)意味著它們遵循算術(shù)規(guī)則。

• 圓周研究所的凱文·科斯特洛正在創(chuàng)建一個(gè)框架，這個(gè)框架可能最終會(huì)使量子場(chǎng)論建立在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上。

圓周研究所（Perimeter Institute）的數(shù)學(xué)家凱文·科斯特洛（Kevin Costello）做了大量將量子場(chǎng)論轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的工作。2016年，他與人合著了一本教科書(shū)，將微擾量子場(chǎng)論建立在堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，包括將如何處理隨著交互次數(shù)的增加而出現(xiàn)的無(wú)限量正式化。這項(xiàng)研究是在21世紀(jì)初的代數(shù)量子場(chǎng)理論之后進(jìn)行的，該理論尋求類(lèi)似的目的。所以現(xiàn)在，雖然攝動(dòng)QFT仍然不能真正描述宇宙，數(shù)學(xué)家們知道如何處理它產(chǎn)生的物理上的非意義無(wú)窮大。

通過(guò)詳細(xì)說(shuō)明微擾理論原理，科斯特洛創(chuàng)造了一個(gè)基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家可以構(gòu)建新的量子場(chǎng)理論，滿足他的微擾方法的要求。它很快就被該領(lǐng)域的其他人所接受。

科斯特洛也一直致力于定義什么是量子場(chǎng)理論。在簡(jiǎn)化的形式下，量子場(chǎng)論需要一個(gè)幾何空間，在這個(gè)空間中你可以對(duì)每一點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，并結(jié)合相關(guān)函數(shù)來(lái)表示不同點(diǎn)的觀測(cè)如何相互關(guān)聯(lián)?？扑固芈宓墓ぷ髅枋隽艘唤M相關(guān)函數(shù)需要具備的特性，以便為量子場(chǎng)論提供一個(gè)可行的基礎(chǔ)。

最常見(jiàn)的量子場(chǎng)論，比如標(biāo)準(zhǔn)模型，包含了可能不是所有量子場(chǎng)論都有的額外特征。缺乏這些特征的量子場(chǎng)論可能描述了其他尚未被發(fā)現(xiàn)的特性，這些特性可以幫助物理學(xué)家解釋標(biāo)準(zhǔn)模型無(wú)法解釋的物理現(xiàn)象。如果你對(duì)量子場(chǎng)論的想法與我們已經(jīng)知道的版本過(guò)于接近，你甚至?xí)茈y想象其他必要的可能性。

科斯特洛用他對(duì)量子場(chǎng)的定義闡明了其中的一些黑暗空間。從這些定義中，他發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)令人驚訝的新量子場(chǎng)理論。它們都不能描述我們的四維宇宙，但它們確實(shí)滿足了配備相關(guān)函數(shù)的幾何空間的核心要求。他們通過(guò)純粹思維的發(fā)現(xiàn)與你在物理世界中發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)形狀類(lèi)似，但一旦你有了一個(gè)形狀的一般定義，你就可以通過(guò)思考找到與物理無(wú)關(guān)的例子。

如果數(shù)學(xué)可以確定整個(gè)空間量子場(chǎng)理論的可能性，物理學(xué)家們可以用它來(lái)找到具體的理論解釋他們最關(guān)心的重要物理問(wèn)題。

一個(gè)持久的挑戰(zhàn)

還有很長(zhǎng)的路要走。到目前為止，所有用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)描述的量子場(chǎng)理論都依賴于各種各樣的簡(jiǎn)化，這使得它們?cè)跀?shù)學(xué)上更容易處理。

幾十年前，簡(jiǎn)化這個(gè)問(wèn)題的一種方法是研究更簡(jiǎn)單的二維量子場(chǎng)論，而不是四維量子場(chǎng)論。法國(guó)的一個(gè)研究小組最近確定了一個(gè)著名的二維量子場(chǎng)論的所有數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)。

其他的簡(jiǎn)化假設(shè)量子場(chǎng)是對(duì)稱的，不符合物理現(xiàn)實(shí)，但從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，這使它們更容易處理。這包括“超對(duì)稱”和“拓?fù)洹绷孔訄?chǎng)論。

下一步，也是更困難的一步，為量子場(chǎng)理論提供一個(gè)數(shù)學(xué)描述，使其更適合物理學(xué)家們最希望描述的物理世界：一個(gè)四維連續(xù)的宇宙，在這個(gè)宇宙中，所有相互作用都可能同時(shí)發(fā)生。

對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，量子場(chǎng)論是他們所希望的最豐富的對(duì)象類(lèi)型。要定義所有量子場(chǎng)理論所共有的特性，幾乎肯定需要合并數(shù)學(xué)的兩大支柱：解釋如何控制無(wú)窮大的分析和提供討論對(duì)稱性的語(yǔ)言的幾何。

就數(shù)學(xué)本身而言，這是一個(gè)令人著迷的問(wèn)題，因?yàn)樗Y(jié)合了兩個(gè)偉大的想法。

如果數(shù)學(xué)家們能夠理解量子場(chǎng)論，那就無(wú)法預(yù)測(cè)在它的解中會(huì)有什么數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。很久以前，數(shù)學(xué)家定義了其他物體的特性，比如流形和群，而這些物體現(xiàn)在幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每個(gè)角落。當(dāng)它們最初被定義時(shí)，是不可能預(yù)測(cè)所有的數(shù)學(xué)分支的。量子場(chǎng)論至少對(duì)數(shù)學(xué)有同樣的前景。

對(duì)于物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，量子場(chǎng)論的完整數(shù)學(xué)描述是他們領(lǐng)域最重要目標(biāo)的另一面：對(duì)物理現(xiàn)實(shí)的完整描述。

我覺(jué)得有一種知識(shí)結(jié)構(gòu)可以涵蓋所有的物理，現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們只需要發(fā)現(xiàn)它。