 在學習相似的過程中，我們會碰到這樣的一個例題，很基礎。 如圖所示，添加下列哪個條件不能得到△ACD∽△ABC（ ）   這個題目選擇項C是無法證明△ACD∽△ABC的，但是這個圖形卻是相似中很重要的一個基本圖形，在很多綜合題中都有所體現(xiàn)，特別的是這個相似中存在一組比例中項，即 我們提煉出這個基本圖形和它的兩個變式。  基本圖形二：  以及將CD進行平移造成的下面兩幅圖 有些老師稱為“母子”相似  例題：如圖所示，△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，點P為AC中點，過點P的一條直線交邊BC于點Q，且△CPQ與△ABC相似，求CQ的長。
分析： 此題中對△CPQ與△ABC相似并未用符號限定對應關系，所以我們只能確定點C和點C對應，其他兩個頂點的對應要分情況討論，也就是說分△CPQ∽△CAB和△CPQ∽△CBA兩種情況來討論。 解答：
引申一： 若點Q在AB上，且△APQ與△ABC相似，這樣的點Q存在嗎？試求出所有存在的AQ的長。 解答：
通過剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)當點P是AC中點時，過點P的一條直線將△ABC所截，若截得的三角形和原△ABC相似，這樣的直線有4條。如果點P不是AC中點，僅僅時AC邊上任意一點呢？ 引申二： 如圖所示，△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，點P為AC邊上異于A、C的任意一點，過點P的一條直線將△ABC截為兩半，且和△ABC的另一邊相交于點Q，截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線有幾條？ 分析： 這個問題其實是剛才兩個問題的綜合，所以我們只需要試著畫出剛才的相似就行了。 解答：
如圖所示，無論P在AC上哪個位置，必然存在PQ1∥AB，PQ3∥BC兩種狀況，由于∠B是△ABC中最小的角，所以∠CPQ1＞∠B、∠APQ3＞∠B，所以必然存在直線PQ2、PQ4，所以這樣的直線永遠有4條。 我們發(fā)現(xiàn)這樣的直線仍然有4條，由于點P在△ABC最短的邊AC上，我們思考如果點P在另外的邊上呢？ 引申三： 如圖所示，△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，點P為AB邊上異于A、C的任意一點，過點P的一條直線將△ABC截為兩半，且和△ABC的另一邊相交于點Q，截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線有幾條？
分析： 通過剛才的思考，我們發(fā)現(xiàn)和另外兩邊平行的線是顯然存在的（如下圖所示），我們主要需要考慮的是形如上面的基本圖形的是否存在。在圖（5）和圖（6）中，當P點在P1左側時，點Q3也是存在的，在P1右側時，點Q3不存在；同理，當P點在P2右側時，點Q4也是存在的，在P2左側時，點Q4不存在。
綜上考慮，我們得到： 如下圖所示， 當點P在AP2段時，這樣的直線有3條； 當點P在P2P1段時，這樣的直線有4條； 當點P在P1B段時，這樣的直線有3條。
解答：
剛才我們思考的都是銳角三角形的情況，如果△ABC是一個直角三角形，甚至是一個鈍角三角形，那結論又該如何呢？ 引申四： 如圖所示，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點P為AB邊上異于A、C的任意一點，過點P的一條直線將△ABC截為兩半，且和△ABC的另一邊相交于點Q，截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線有幾條？
分析： 按照剛才的思考方式，我們主要考慮不平行的相似基本圖形。如下圖所示。
解答： 無論點P在AB上何處，這樣的直線都只有3條。 引申五： 如圖所示，△ABC中，AC=4，BC=5，AB=8，點P為AB邊上異于A、C的任意一點，過點P的一條直線將△ABC截為兩半，且和△ABC的另一邊相交于點Q，截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線有幾條？
分析： 和前面的類似，如下圖所示的兩個平行時顯然存在的，主要考慮的是另外的情況，如圖（7）圖（8），我們只需要求出此時的AP1和AP2的長就行了。
解答：
通過剛才的分析，我相信大家會對這個基本圖形有更深刻的理解。類似的圖形在中考中也非常的多，下面我就給出兩道中考題，我們一起體會一下這個相似基本圖形（第一題可以直接找到，第二題需要構造） 1.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D是弧BC的中點，BC與AD、OD分別交于點E、F． （1）求證：DO∥AC； （2）求證：DE·DA=DC2 （3）若tan∠CAD＝
2.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上一點，以CD為直徑的⊙O交BC于點E，連接AE交CD于點P，交⊙O于點F，連接DF，∠CAE=∠ADF． （1）判斷AB與⊙O的位置關系，并說明理由； （2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的長．
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在很多的解答證明中都需要用到，一是利用相似得比例中項去求解線段的長，二是利用比例中項證明相似。
