簡諧振動是最簡單最基本的振動，它的典型例子是彈簧振子。

什么是彈簧振子呢？一個不考慮質(zhì)量的彈簧連接一個有質(zhì)量的小球或物塊，然后把它沿著彈簧的方向壓縮或者拉伸一定的距離（不要拉得太狠，悠著點兒）后松手，那么物塊就會只在彈簧彈力的作用下，周期性地往復振動。彈簧振子是一個理想物理模型。振子速度最大的位置回復力為零，此處稱之為平衡位置。

在高中我們就知道，彈簧振子的運動學方程可以表達為如下正弦或余弦函數(shù)形式：

它們都表述了振子偏離平衡位置的位移隨時間變化的關(guān)系。由中學數(shù)學可知這兩個函數(shù)是等價的。那么這個振動方程到底是怎么推導出來的呢？

我的書架上有四本書對這個振動方程有所描述，分別是漆安慎版《力學》、人教社的高中物理教材、《費曼物理學講義》、趙凱華版《新概念物理教程·力學》，外加知乎@烤羚羊的思路。他們面對同一件事雖然思路迥異，卻又殊途同歸，真真是各有各的特點，各有各的巧妙。我們一起來看看吧^_^

方式一 “易得”型

這種方式的典型代表是漆老的《力學》，在書中，振動方程來自于直接寫出微分方程的解，畫風是下面這這樣的：

為什么可以寫成這樣呢？當時的我左思右想也沒搞明白這個余弦函數(shù)是怎么來的。漆老可能覺得讀者基本都是大學生了，這等小菜，自己可以推出來?？磥砦液推崂蠈Υ髮W生的基本要求隔了一個地球周長。所以當時我只是把它當成基本結(jié)論去記的?，F(xiàn)在，這種處理方式著實不能滿足我對科學的渴望，必須深究下去。

方式二 科學探究型

這種方式的典型代表是現(xiàn)行高中物理人教版教材。從國家到地方都在大力開展新課程改革，要求在物理教學中要重視學生的物理探究過程，多多體驗一下科學家們發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、設(shè)計實驗、得出結(jié)論、討論驗證等的科學研究過程。所以人教版高中物理教材是按如下方式得出振動方程的。

首先，觀察彈簧振子的頻閃照片。

讓彈簧振子先振動起來，然后讓頻閃儀對著彈簧振子每隔 0.05s閃光一次，閃光的瞬間振子就會被照亮，從而得到閃光時小球的位置，相鄰兩個位置之間的時間相隔為0.05 s。拍攝時讓底片從左向右勻速運動，因此在底片上留下了小球和彈簧的一系列的像。

或者，在桌面上放一個彈簧振子（附一支描線筆），下面放上一條長長的寬紙帶，然后在彈簧振子振動的同時在一側(cè)把紙帶勻速卷起來，這樣就得到一條和頻閃照片類似的圖像。

然后，猜想圖像的函數(shù)并驗證。書上引導讀者猜想這是正弦函數(shù)。然后根據(jù)振幅和周期寫出正弦函數(shù)表達式，再從實驗中得到的圖像中選擇幾個點，得到不同時間所得到的位置值，把這個位置值和表達式中對應時間的函數(shù)值做個比較。如果符合得很好，說明振動圖像就是對應正弦函數(shù)。

接著，書上就直接給出了振動方程，如下圖所示。

人教版高中教材的這個方法簡單直觀，規(guī)避了嚴謹?shù)臄?shù)學推理。其中，把時間作為一個數(shù)軸，位移作為另一個數(shù)軸，從一維振動中拉一個二維圖像的方法是很奇妙的一個思路。

然而，彈簧振子的一維振動，怎么就跟三角函數(shù)扯上了關(guān)系呢？ 彈簧振子難道就有沒有什么內(nèi)在的、固有性質(zhì)使得它必然與三角函數(shù)有關(guān)系嗎？

答案顯示不是。一定是彈簧振子的某些固有屬性使得它與三角函數(shù)有關(guān)系。那么我們首先就得找找，彈簧振子到底有哪些固有的屬性和規(guī)律呢。

彈簧振子的常微分方程

（如果你是中學生，當你看到常微分方程這五個字時也許會比較納悶，先不管它，我們來一步步把它給逼出來）

彈簧振子的固有屬性

彈簧振子有哪些固有屬性會影響到它的振動呢？

首先想到的性質(zhì)一定有物塊的質(zhì)量，我們可以想想，在彈簧的拉伸長度一定的前提下，如果物塊越重，振子就應該越“懶”，運動狀態(tài)就越難得改變，也就是振動得越慢。所以質(zhì)量可能會在振動方程中體現(xiàn)出來。

接著，我們還應該想到彈簧的勁度系數(shù) 也會影響到振動的快慢。如果彈簧越是“硬邦邦”，在彈簧被拉長相同的長度時所具有的拉力就越大，物塊受到更大的拉力就應該會更快地回到平衡位置。所以勁度系數(shù)也可能會在振動方程中體現(xiàn)出來。

有了質(zhì)量和勁度系數(shù)，這只是我們尋找振動方程的一小步，還需要從彈簧振子必須滿足的內(nèi)在規(guī)律上找。

振子的牛頓第二定律

最先想到的應該是牛頓運動定律。

讀高中時書上就講，牛頓牛爵爺把力和運動通過牛頓第二定律結(jié)合起來，小到灰塵，大到天體都可以用，可以說是相當?shù)膮柡?。彈簧振子自然也不例外。也就是說，彈簧振子一定滿足 ，其中， 就是彈簧受到的彈力，是振子的加速度。

但是，這和我們尋找的振動方程有什么關(guān)系呢？牛二定律里面并沒有出現(xiàn)時間、也沒有出現(xiàn)位移呀。其實，這里需要一丟丟的微積分知識，利用微積分，加速度可以表達為位置矢量的二階導數(shù)。即可以把牛頓第二定律表達為如下形式：

如果你沒有微積分方面的數(shù)學儲備，推薦你參閱長尾科技的文章你也能懂的微積分。

這樣一操作，和 就立馬出現(xiàn)了，似乎答案以經(jīng)找到了。仔細一想，其實還沒有。你想想看，在振子振動的過程中，彈力總是保持不變的嗎？顯然不是。換句話說，彈力也會隨著時間，或者說隨著位移發(fā)生變化。如果力不隨位移變化還好，我們直接積分就可以得到位移和時間的關(guān)系了。可是現(xiàn)在并不單純，它里面還藏著 或 沒有露出來，要想直接積分就比較麻煩。

胡克定律

下一步，我們自然要再去找找與 之間的關(guān)系。想必你已經(jīng)知道了，就是牛頓的死對頭胡克發(fā)現(xiàn)的胡克定律。胡克定律表達為如下形式：

胡克定律中有兩點需要注意，一是它表達了振子離開平衡位置的位移與所受彈力成正比，二是彈力方向始終與位移的方向相反（前提是我們把振子的平衡位置定義為原點，即位移為0的位置）。

牛頓與胡克的“聯(lián)姻”——常微分方程

接下來，讓人尷尬的一步就出現(xiàn)了。如果我們把胡克定律中表達的帶進牛頓第二定律中去，再把常數(shù)放在一起，就得到了下面這貨：

在數(shù)學中為了更一般的討論，常常把它寫成下面這種形式：

在數(shù)學中，第2個方程被稱為二階常微分方程。叫“微分方程”是因為方程中有自變量的微商；叫二階是因為微商的階數(shù)最高是二階的；叫“?！笔且驗楹瘮?shù)的自變量只有一個，即時間t。

為什么說尷尬呢？你瞧瞧，有著恩恩怨怨的牛頓和胡克雖然吵了一輩子，但是他們在科學上的成就卻彼此左手拉右手，至少在描述簡諧振動這件事兒上，別提它們有多甜蜜。

那么該如何求解這個二階常微分方程，來得到位移 關(guān)于時間的表達式呢？解法其實有很多，真真是八仙過海，各顯神通了。在這里，我介紹兩種求解方式，一個用的是費曼的推理手法，另一個用復數(shù)和指數(shù)求解的思路。我們一個個地看。

方式三 費曼的推理

費曼是一位擅長通過簡單的例子去說明高深問題的大師。比如，1986年，挑戰(zhàn)者號失事后，費曼只用一杯冰水和一只橡皮環(huán)，就在國會向公眾揭示了挑戰(zhàn)者失事的根本原因——低溫下橡膠失去彈性。而在彈簧振子的問題上，費曼體現(xiàn)了他的另一個能力——面對一個一般的問題，先從簡單的情況入手，抓住事物規(guī)律的核心，再去考慮補充其他的細節(jié)。

接下來，就讓我們一起，看看費曼是如何推導出振子位移隨時間變化的振動方程的。

1. 考慮特殊情況，化簡微分方程

上面的二階常微分方程中有兩個常數(shù)和，為分析的方便，我們不妨把和 放到一塊兒，并令,即假設(shè)有這樣一個彈簧振子，它的勁度系數(shù)的數(shù)值和物塊的質(zhì)量的比值等于1，這個假設(shè)顯然是允許的。這樣，沒有常數(shù)干擾的微分方程就寫成了

至于不等于1的情況，我們先放一邊兒，過一會兒再考慮它。

2. 抓住微分方程的關(guān)鍵性質(zhì)嘗試構(gòu)造函數(shù)

不知你發(fā)現(xiàn)了沒有，方程(3)其實表達了這么一個意思：關(guān)于時間的函數(shù)，在經(jīng)過兩次求導 (即) 后居然變回了它自己，還是，只不過多了一個負號。

到底是什么樣的函數(shù)具有這樣的性質(zhì)呢？此處迅速在頭腦里回憶一下初等函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)或余弦函數(shù)都行。不妨設(shè)

3. 根據(jù)物理意義優(yōu)化函數(shù)的表達

我們知道，時間的單位是'秒'，而余弦cos的括號里裝著的應該是以'度'為單位的角度量。因此括號里面不單單有時間，還應該乘上一個量，使得它與時間的乘積是一個角度。

我知道你一定想到了圓周運動的角速度，因為它乘以時間就是角度。不過，這里需要提醒一下，我們需要的量雖然與角速度在單位上相同，但它并不是物體旋轉(zhuǎn)時的角速度，因為這里的振子并沒有體現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)的意思。但是我們依然可以借用這個符號，把這個量寫成  。這樣，振動方程進一步被優(yōu)化成了下面這個樣子：

這個函數(shù)離我們的目標以經(jīng)很近了，可是那個到底是個啥？它有什么物理意義呢？我們還需要進一步探索。

4.把函數(shù)嘗試代入微分方程

為了理解的物理意義，我們把猜測的帶入二階常微分方程中，去看看將會有什么表現(xiàn)。代入后的結(jié)果如下：

通過比較(1)、(5)這兩個式子我們發(fā)現(xiàn)，只要令，即這兩個式子就相同了。那么。

可以看出，這個的確跟彈簧的固有屬性有關(guān)系，那么這個關(guān)系體現(xiàn)在什么方面呢？

結(jié)合物理情景分析意義

對函數(shù)，我們結(jié)合實際振動來分析看看。

1. 首先振子的位移一定在一個區(qū)間內(nèi)變化，最大值有正負之分，有對稱性，而且最小值為0，余弦函數(shù)的取值范圍是  ，也具有對稱性；
2. 當時間時，取最大值，這表示振子是從最大位移處開始運動的；
3. 振子振動具有周期性，而正好是周期函數(shù)。

函數(shù)的性質(zhì)與振子的物理性質(zhì)符合得很好，所以我們有理由相信，彈簧振子的運動學方程一定具有余弦函數(shù)的內(nèi)核。

但是還有個問題，振子的振動周期，到底等于多少呢？

這個問題其實很好回答。我們知道，所謂周期，其實就是物體經(jīng)過一個時間段之后，正好回到出發(fā)點。而在余弦函數(shù)中，周期是。也就是說，當振子運動了的時間后， 括號中所謂的'角度',就將等于。這樣我們就有，這樣就求得了周期的表達式為：

這個表達式說明什么意思呢？

1. 表明了當振子質(zhì)量越大，振動的周期越大，即振子振動得越慢；
2. 表明了當彈簧勁度系數(shù)越大，振子得周期越小，即振子振動得越快。這和我們上面得討論和實驗規(guī)律相吻合。

說到這里，對于振子的運動方程，我們不僅把它的蓋頭掀開了一大半，還順帶求出了彈簧振子的振動周期，還進一步發(fā)現(xiàn)了是一個跟周期有關(guān)的量，表達了振動的固有屬性。

由特殊到一般，得到通解

通過剛才的分析我們知道， 僅僅表達了振子從最大位移處開始運動的情況，此時振子的速度為0，然而，振子的運動初速度可以不為0啊。比如本來振子靜止在平衡位置，現(xiàn)在讓一顆子彈射入振子內(nèi)部，并從此刻開始計時，那么振子的運動方程就不再是余弦，而要用正弦。

更進一步想想下這個場景，你正在用秒表去記錄振子的運動，讓秒表指零時為計時起點，此時振子在最大位移處，振動方程正好是余弦。然后牛頓也帶著秒表走進來，他剛令秒表從零開始計時（假設(shè)你的秒表已經(jīng)走過了的時間），就發(fā)現(xiàn)振子在最大位移的一半處。這個時候，對牛頓而言，他在零時刻看到的振子的位置，應該跟你經(jīng)過了時刻看到的位置是一樣的。因此，振動方程應該寫作：

由于是一個任意的數(shù)，此時令，它也是一個任意的數(shù)，這樣，方程可以進一步改成。

還有最后一個事兒沒處理干凈，就是振子的振幅，在上面的表達式中，余弦函數(shù)的最大值只是1，對應著我們僅僅把振子拉開離平衡位置一個單位長度，可是我們可以把振子拉開到任意長度后松手，也就是振幅可以是1的倍數(shù)，也就是說，我們只需要把振幅  乘到余弦函數(shù)前面即可。最終，振子的運動學方程就變成了：

這就是以彈簧振子為代表的簡諧振動的通解。

方式四 用復變函數(shù)的思路

這個思路要感謝知乎大佬@烤羚羊，他也是從二階常微分方程入手，在他給出的求解過程中一開始和費曼是一樣的，都是先猜想解的形式。只不過，費曼猜想的是余弦函數(shù)，而@烤羚羊猜想的是指數(shù)，即，它和余弦函數(shù)一樣，也可以在經(jīng)歷兩次求導后得到于原函數(shù)類似的形式。經(jīng)過一通推導后，得到了簡諧振動方程的復數(shù)形式如下：

有興趣的同學可以跳轉(zhuǎn)到知乎@烤羚羊的文章（https://zhuanlan.zhihu.com/p/133809744）去看看。

在下一篇文章中，我將從簡諧振動的復數(shù)形式出發(fā)，去看看怎么在GeoGebra中把簡諧振動與圓周運動直觀地聯(lián)系起來。

方式五 能量守恒大法好

上面的做法總結(jié)起來無外乎兩種，一種是從振子的實驗數(shù)據(jù)出發(fā)，去猜余弦函數(shù)（高中教材的做法），一種是從振子的動力學方程出發(fā)，去猜常微分方程的解的可能形式（費曼的做法和知乎@烤羚羊的做法）。都是靠猜。

那有沒有什么辦法可以不用靠猜，直接通過嚴謹?shù)臄?shù)學推導就能得出振動方程呢？有的，就是利用機械能守恒定律。這和上面的思路完全不同，《新概念物理學教程·力學》中用的就是這種辦法。我們一起看看吧^_^

彈簧振子具有的能量

為了討論振子的運動學方程，我們先看看振子運動過程中的不變量——總能量。

對于宏觀的彈簧振子而言，總能量無外乎兩種，一種是振子的動能,我們在中學就已經(jīng)知道它的計算式為，顯然它和振子的速度有關(guān)系，而速度是位置的一階導數(shù)。另一種是系統(tǒng)的彈性勢能，那么彈性勢能的具體表達式又是什么呢？我么一起把它搞出來。

彈性勢能的泰勒級數(shù)

我以前被泰勒級數(shù)這四個字嚇住過，不知道是個什么玩意兒，隨著認識的加深，我逐漸明白了它的意義——用來近似的。部分讀者可能還蒙在鼓里。接下來請允許我對它多嘮叨幾句。

首先，我們給出彈性勢能的泰勒級數(shù)展示式。為了討論的方便，我們把平衡位置記為0點，那么偏離平衡位置的位移和振子的位置在數(shù)值上相等，這樣，振子的泰勒級數(shù)可以表達為如下形式：

大家不要被這么一長串公式給嚇著，怎么理解它的意義呢？我們通過分析一副石膏像的素描過程來理解它。

在上圖的素描畫中，第一步先畫出人物的輪廓，雖然它和真實的照片差距很遠，但仍然可以知道這畫了一個人，我把它稱為對真實照片的模擬加入了一階近似；

接著第二步，對人像的五官進行深入勾勒，這時我們發(fā)現(xiàn)摩西的感覺已經(jīng)出來了，但還是和真實照片有差距，我把它稱為對真實照片的模擬加入了二階近似；

然后到了第三步，畫家開始對照片中的光影明暗進行深入分析和表現(xiàn)，使得素描畫更加立體豐滿，此時的畫作和真實照片的差距已經(jīng)很小了。我把這稱為對真實照片的模擬加入了三階近似；

現(xiàn)在你應該明白了，只要我們不斷地近似下去，讓近似項越來越多，我們對原始對象地表現(xiàn)將會越來越逼真。

回到泰勒級數(shù)上去，它干的活兒和上面的素描過程其實是一樣的。就相當于那一張白紙， 就是對彈性勢能加了一階近似， 就是對彈性勢能加了二階近似，依此類推。

這么做有什么好處呢？它可以幫助我們得到彈性勢能的表達式。接下來我們分析一下這些近似項蘊含的意義。

1.首先看，它表示振子在平衡位置時的彈性勢能。根據(jù)對稱性的方便，我們令平衡位置時的彈性勢能為0，即

2.再看一級近似。這里有個一階導數(shù)，它表示什么意思呢？嘿嘿，在中學我們就學過，彈簧彈力做的功等于彈性勢能變化量的負值，把這句話寫成微分形式就是 。然后把它變個形，就得到了彈性勢能一階導數(shù)的表達式：

再根據(jù)胡克定律，彈簧彈力大小，所以最終我們得到了彈性勢能一階導數(shù)為

而當時，振子處于平衡位置時的彈力為零，把帶入上式就得到彈性勢能的一階導數(shù)為0。

3.再看彈性勢能的二階導數(shù)。有了一階導數(shù)的表達式，二階導數(shù)自然就可以輕松得到，即

4.最后看高階項。由于二階導數(shù)已經(jīng)為一個常數(shù) （即彈簧的勁度系數(shù)）了，那么三階以上的各項就只好都等于0了。

終于，彈性勢能的表達式就被我們搞出來了,即

換元積分求解

有了動能和勢能的表達式，我們就可以得到總的機械能表達式

為了等會兒便于積分，把它再改寫成

因為振子的振動過程中總能量守恒，所以是一個常數(shù)。為了求解隨時間變化的函數(shù)，我們寫出速度的導數(shù)形式，那么有

接下來就是一些積分技巧，我們通過換元法，令,這樣分母

而且有

經(jīng)過這么一折騰，上面框框中的式子就被改成下面這個容易積分的形式

兩邊積分，得

再把  換回到，就得到

終于大功告成，這個表達式和我們常見的表達式在意思上是一樣的。其中的就是振幅 , 就是我們之前定義那個。

最后的話

洋洋灑灑六千多字，不算多但也不算少，經(jīng)過這么一通分析，我主要感受到以下兩點：

1. 要想認真學懂一個知識，少不了旁征博引，博覽群書，不要囿于一家之言。因為一本書有一本書的觀點，它往往會受作者的意圖、篇幅、定位等方面的考慮，不一定面面俱到。

2. 把學到的知識寫下來，講給大家聽，會加深、鞏固和檢驗你對知識了解，還能結(jié)交優(yōu)秀的人。我以前很自卑，很少跟人交流，加上之前視野不開闊，學習不夠深入，對很多知識的認識只是浮于表面。在長尾君的引導下，我逐漸學著去學習，學著寫點東西，把學到的東西再講出來。這么做不僅利己，還能利人，何樂而不為呢？