必備知識(shí)

1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分；

2、圓的性質(zhì)：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。

3、等圓相交：如圖，圓O和圓G為兩個(gè)相等的圓，圓O和圓G相交，相交形成的弦為AB，則弦AB為整個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸：圓心O和圓心G關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)；弧ACB和弧ADB為等弧，且關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)。

4、弧翻折，即等圓相交：如圖，以弦BC為對(duì)稱(chēng)軸，將弧BC翻折后交弦AB于點(diǎn)D，那么弧CDB所在的圓圓G與圓O是相等的圓，且兩個(gè)圓關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，故圓心O、G也關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)。

模型分析：弧翻折，出等腰

如圖，以圓O的一條弦BC為對(duì)稱(chēng)軸將弧BC折疊后與弦AB交于點(diǎn)D，則CD＝CA。

策略一：翻折的性質(zhì)結(jié)合圓的性質(zhì)

如圖，在弧BC上取點(diǎn)D關(guān)于弦BC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)G，連接CG、BG；由翻折性質(zhì)可知：CD＝CG，

∠ABC＝∠GBC，∵在同圓中，相等的圓周角所所對(duì)的弦相等，且∠ABC＝∠GBC，∴CA＝CG，又∵CD＝CG，∴CA＝CD，即△CAD是等腰三角形

策略二：弧翻折，即等圓相交

如圖，弧CDB所在的圓即圓G，且圓O和圓G是等圓，∵在圓G中，∠1所對(duì)的弦是CD，在圓O中，∠1所對(duì)的弦是CA，且圓O和圓G是等圓，∴CA＝CD，即△CAD是等腰三角形

典例分析：2018·武漢

總結(jié)：本題關(guān)鍵在于確定CA＝CD；計(jì)算線段時(shí)還利用了垂徑定理，三線合一和勾股定理。

典例分析：長(zhǎng)沙自主招生

總結(jié)：本題和題1類(lèi)似，關(guān)鍵在于證明CA＝CD；和題1不同的是，此題的弦AB是直徑，因此可用射影定理求CE，考試時(shí)射影定理的結(jié)論需結(jié)合相似證明。綜合以上兩題，我們應(yīng)知道處理弧翻折問(wèn)題時(shí)，要有“弧翻折即等圓相交”和“弧翻折出等腰”的意識(shí)，這兩種意識(shí)是解題的關(guān)鍵。

典例分析：贛州模擬

總結(jié)：對(duì)于此題要有確定圓心的意識(shí)，弧翻折，即等圓相交，兩圓心關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，因此作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，再以GA為半徑作圓G，圓G即為弧ACB所在圓；OC相切于圓G，自然想到連半徑GC，且GC⊥OC，最后利用勾股定理計(jì)算OC長(zhǎng)度。

典例分析：2020·浙江自主招生

總結(jié)：本題和題3類(lèi)似，關(guān)鍵在確定弧EDB所在的圓，即圓G，遇到相切連半徑證垂直。值得一提的是，遇到弧翻折時(shí)，不僅要知道其本質(zhì)是等圓相交，還要知道兩個(gè)等圓的圓心是關(guān)于折痕對(duì)稱(chēng)的，這樣才能畫(huà)出翻折后的弧所在的圓，也為計(jì)算兩圓心之間的距離作鋪墊。另外對(duì)比題1題2會(huì)發(fā)現(xiàn)，題1題2中折痕和弦有公共端點(diǎn)，而題3和題4沒(méi)有交點(diǎn)，即EF和AB沒(méi)有公共端點(diǎn)，故題3題4沒(méi)有用到“弧翻折，出等腰”。

變式訓(xùn)練