我們都知道自然數(shù)的平方和公式，利用數(shù)學(xué)歸納法也很容易證明。

連續(xù)自然數(shù)的平方和

但它是怎么推導(dǎo)出來(lái)的呢，恐怕很多人就不知道了。推導(dǎo)方法有很多，我們來(lái)看看國(guó)外某位大神的方法，居然利用三角形的重心，可謂是匠心獨(dú)運(yùn)。

假設(shè)平面上有1+2+……+n個(gè)小球，每個(gè)小球的質(zhì)量都是1，它們均勻排列成一個(gè)倒置的等邊三角形，如下圖所示。為了計(jì)算方便，我們把最下方的小球放在坐標(biāo)（0，1）處。

等邊三角形陣列

將整個(gè)三角形陣列作為一個(gè)整體，考慮其重心位置的y坐標(biāo)，有兩種計(jì)算方法。

第一種方法，直接求出所有小球的y坐標(biāo)的平均值，計(jì)算過(guò)程如下：

平均坐標(biāo)法求重心位置

第二種方法，我們知道三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)，并且這個(gè)交點(diǎn)把每條中線都分成了1：2的兩段。

重心在高度的2/3位置

而整個(gè)三角形的高度是n-1，所以其重心的y坐標(biāo)為：

利用幾何定理求重心位置

兩種計(jì)算方法得到的結(jié)果必然相等，于是我們得到：

自然數(shù)平方和公式推導(dǎo)

這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程精彩絕倫，數(shù)學(xué)真是奇妙啊！