哈嘍，大家好，我是寶刀君，很高興我們又見面了，希望我的出現(xiàn)，可以給大家的考研帶來好運(yùn)~

今天我們聊一聊極限的保號(hào)性，主要討論以下四個(gè)問題。

這個(gè)極限的保號(hào)性，常常被叫做極限的局部保號(hào)性，但由于極限本來就是在局部定義的，因此省略掉“局部”二字，叫極限的保號(hào)性也沒錯(cuò)。

保號(hào)性的定義是這樣的：

簡(jiǎn)單來講，就是在x趨于x0時(shí)，極限值存在且大于0（小于0），那么就存在一個(gè)delta鄰域，使得這個(gè)鄰域內(nèi)的函數(shù)值也是大于0（小于0）的。

這就被稱為極限的保號(hào)性。

這個(gè)定理，怎么證明呢？

那就需要用到極限的定義啦！

我們按照定義寫出極限的定義表達(dá)式后，然后對(duì)這個(gè)不等式的epsue進(jìn)行取值。理論上說，epsue是可以取任何值的，只要它大于0就行。

大于0的epsue，這個(gè)取法有很多了，比如你可以取2A，3A，4A等等，也可以取0.5A，0,3A，0.1A，到底取哪一種呢？

這取決于你的目的是為了干什么。

你現(xiàn)在的目的是：為了判斷當(dāng)極限值大于0時(shí)的函數(shù)值是大于0，還是小于0？也就是判斷A-epsue的正負(fù)。

epsue取A的整數(shù)倍時(shí)，A-epsue為負(fù)數(shù)，epsue取A的小數(shù)倍時(shí)，A-epsue為正數(shù)，f(x)在這兩種范圍下，按照不等式“同大取大”的原則，f(x)>0。

或者，也可以這樣理解，由于epsue一般取的是“比較小”的正數(shù)，那么在A的整數(shù)倍和A的小數(shù)倍之間，我們更習(xí)慣取A的小數(shù)倍的epsue，從而得到f(x)與0的大小關(guān)系判斷。

以上的內(nèi)容，是對(duì)知乎中一個(gè)讀者提出問題的補(bǔ)充解答，鏈接如下：

https://www.zhihu.com/question/268531860/answer/556312977

解決了上面兩個(gè)問題后，我們?cè)僖黄鸺?dòng)的學(xué)習(xí)后面2個(gè)問題，畢竟是考試中重要的考點(diǎn)??！

第一個(gè)是函數(shù)值保極限值 與 極限值保函數(shù)值的差異性。

哎呦！

重要的不得鳥??！

這個(gè)問題呢，好多剛開始復(fù)習(xí)考研的學(xué)生，在看到復(fù)習(xí)全書第一章知識(shí)點(diǎn)時(shí)，有些懵逼！

他們看不明白下圖的定理1.3的推論及例題1.1：

圖為李正元范培華復(fù)習(xí)全書

大多數(shù)學(xué)生初看這塊內(nèi)容時(shí)，第一反應(yīng)是：好家伙，極限值大于0時(shí)，函數(shù)值符號(hào)大于0，兩者同號(hào)，但是函數(shù)值大于0時(shí)，極限值卻是大于等于0！

大于等于0！

大于等于0！

為什么要多加個(gè)等號(hào)？

有木有搞錯(cuò)！兩者符號(hào)保持一致，豈不是更好嗎？等號(hào)為什么要出來從中作梗！

說起來，等號(hào)加進(jìn)去是有道理的，比如說常見的指數(shù)函數(shù)y=e^x，函數(shù)值是大于0的，但是當(dāng)取極限時(shí)，比如x趨于負(fù)無窮時(shí)，該函數(shù)的極限值等于0。

因此，極限值保函數(shù)值，兩者符號(hào)一致，極限值保函數(shù)值時(shí)，符號(hào)上面要多加一個(gè)等號(hào)，大家可以通過指數(shù)函數(shù)這個(gè)例子，方便記住這個(gè)結(jié)論。

最后一個(gè)問題是：極限的保號(hào)性，這家伙不潔身自好，常和誰勾搭在一起考？

沒錯(cuò)！

說的就是你！

函數(shù)的極值點(diǎn)、凹凸性，保號(hào)性常和這些知識(shí)點(diǎn)鬼混在一起，蹦跶著出選擇題、判斷題！

比如，簡(jiǎn)單一些的，一起來熱熱身！

就像下面這道題，讓你判斷x=0是不是極值點(diǎn)：

你可以很自如的運(yùn)用極限的保號(hào)性推出來這道題中，x=0是極小值點(diǎn)，具體怎么得到的，我想聰明的你，根據(jù)極限值的符號(hào)，分類討論x=0左右兩端的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，就能得到該結(jié)論啦！

但是考研里面，題目就沒有這么簡(jiǎn)單了，綜合性就比較高。

比如李正元范培華版的復(fù)習(xí)全書-第四章第二節(jié)里的一道例題：

像上面這道題，就綜合了導(dǎo)數(shù)的定義、極限的保號(hào)性、極值點(diǎn)的判斷、恒等變形等知識(shí)點(diǎn)，題目綜合性比較強(qiáng)，如果你熟悉了極限的保號(hào)性原理，以及極值點(diǎn)的判斷原則，那這道題還是可以很快做對(duì)的。

總之呢，極限的保號(hào)性是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，它是根據(jù)極限的定義推導(dǎo)的，在極限值和函數(shù)值的“互相保號(hào)”中，函數(shù)值保極限值時(shí)要多加一個(gè)等號(hào)，考試時(shí)，該知識(shí)點(diǎn)常和函數(shù)的性態(tài)結(jié)合在一塊考。

相信我，只要你認(rèn)真閱讀了寶刀君寫的這篇文章，完整的干倒了全書上配套的習(xí)題，對(duì)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，你是可以拿到滿分的哦！