撰文丨Tony Philips（石溪大學榮譽數(shù)學教授）

編譯丨Hadron

縫紉機是十九世紀機械發(fā)明的奇跡之一。據(jù)說，圣雄甘地曾經(jīng)稱它是“人類為數(shù)不多的有用發(fā)明之一”。這種自動化的工具與打印機或者點鈔機不同，應用它來處理的最終是實際的材料，而非呈現(xiàn)信息。在本文中我將從數(shù)學層面探索縫紉機和通常被同時提及的繞線器（bobbin winder）的原理：雙線連鎖縫紉法（Lockstich，也稱為鎖式線跡，是縫紉機上最常用的一種工藝）在拓撲層面上如何實現(xiàn)，以及阿基米德螺旋線形狀的凸輪是如何保證在長線軸上均勻繞線的。

最原始的縫紉機使用的是單線鏈式線跡：

鏈式縫法在拓撲學上不是個難題，因為線完全不打結(jié)——只需拉動上圖的右端線頭，就足以讓整個縫線瓦解。對于一些需要容易打開的情況，比如家里裝滿土豆或者狗糧的袋子，這種縫法是比較好用。但是，有的時候這個特性是災難性的，除非你那么想要一件一扯就壞的衣服。

最早實現(xiàn)鎖式縫法的縫紉機大約誕生于1830年至1850年間，這種縫紉機用兩股線來縫制。

一眼看上去，用機器縫出鎖式縫法從拓樸學上來說似乎是不可能的?？p紉機用兩股線來縫接縫，而每股線都來自一個線軸——上方的線來自位于機器頂端的線軸，下方的線則來自于隱藏在縫紉機內(nèi)部梭子里的線筒。那么問題來了，這兩股線是如何一圈一圈地纏繞在一起？

答案很簡單，線筒沒有固定在縫紉機上。在早期的縫紉機上，線筒裝在子彈形狀的梭子里，每縫一針，梭子就先前進穿過上線，當針抬起后，梭子退回，這樣就完整地繞了一圈。梭子在縫紉機中能夠自由地穿梭就是實現(xiàn)這種縫法的關(guān)鍵。在更現(xiàn)代的縫紉機中，線筒被卡在一個光滑的圓形金屬梭子中，它處于一個固定的位置，但不是被完全固定住，而是可以轉(zhuǎn)動。每縫一針，上方線都被掛到金屬梭子上，隨之轉(zhuǎn)動后剛好和下方線纏起來并被拉緊。

圖a

圖b

這些有意思的東西我是從前同事，也是好友Enrico Giusti（意大利數(shù)學家）那里得知的。他之前在威尼斯舉辦的“數(shù)學與文化（Matematica e Cultura）”會議的講座中提到了縫紉機和繞線器。這些內(nèi)容也可以在佛羅倫薩的數(shù)學博物館“阿基米德花園（The Garden of Archimedes）”里找到。另一位意大利數(shù)學家Franco Conti創(chuàng)建了這個展覽，想法源于他和Giusti在2000年時出版的Oltre il Compasso: la geometria delle curve（《超越圓規(guī)：曲線的幾何》）一書。博物館網(wǎng)站上還有這些繞線器的工作機制。

對于那些不熟悉雙線連鎖縫紉機的人來說，每臺機器都不相同，因為它們都有各自獨特的梭芯——一個嵌在梭子內(nèi)載著下方線的小線筒。為了更方便地將線繞在梭芯里的線筒上，每臺縫紉機上都有繞線器這樣的裝置，它們通常挨著縫紉機的主軸，距離縫紉操作較遠的地方。

子彈狀振蕩梭模型和繞線筒，展示的這款長約1.5英寸。

對于那種圓形旋轉(zhuǎn)梭里面較短的線筒，要保證線纏繞均勻通常不是問題，縫紉機上的繞線器能讓線均勻地抽出來（當然還是建議你盯著點繞線的過程，必要時用手調(diào)整一下）。但是像上圖中那種古老型號使用的又窄又長的線筒就不那么好辦了：在纏繞過程中，需要沿著線筒來回引導線。有種非常簡單的解決方法，即在繞線器上設計一個可動的結(jié)構(gòu)，來達到來回運動的效果。下圖展示了這種簡單的機制，線可以被引導通過一個轉(zhuǎn)動的、直徑與線筒長度相等的環(huán)上，然后通過固定點連到繞線器，但這會導致線在線筒兩端堆積。在右圖中，可以看到綠色區(qū)域的繞線量是相同長度紅色區(qū)域的兩倍。Conti解釋了這樣做為什么會讓線在線筒的兩端堆疊。 

解決方案由這類縫紉機的發(fā)明者和后續(xù)發(fā)展者提出，就是在類似于上圖的旋轉(zhuǎn)圓盤上安裝一個心形的凸輪，就像兩條阿基米德螺旋拼起來一樣。（在極坐標軸可以表示為當 0≤θ≤π，r=θ，當 ?π≤θ≤0，r=?θ)。與之連接的臂桿可以調(diào)整以匹配繞線器的長度。

為了觀察實際過程中的繞線器，可見Lizzie Lenard的視頻

1868年出版的507 Mechanical Movements 收錄了這種利用阿基米德螺旋把圓周運動轉(zhuǎn)換成均勻線性運動的裝置。（507 Mechanical Movements，《507種機械運動》，作者Henry T. Brown是The American Artisan雜志的編輯，這份刊物專門刊登工業(yè)革命時期機械工程領域的新內(nèi)容，最終Brown將其集合成書，出版了21版。現(xiàn)在這本書可以在網(wǎng)上查到，并有動圖。）這個縫紉機上的巧妙裝置是第96個，書中還給出了解釋。

阿基米德螺線

507種機械運動書中記錄的心形凸輪

心形凸輪。心形凸輪的旋轉(zhuǎn)可以使臂桿得到均勻的橫向運動。虛線擬合出了心形凸輪的運動軌跡。臂桿裝置被等分成任意個部分，從這些點確定了一系列的同心圓。從外圈的最左邊的點開始，每向中心走一小格的時候，同時需要轉(zhuǎn)動等間距的角度，逐漸走向中心。那么，這些同心圓和向外輻射線的交點就是我們希望擬合出來的曲線。

早些年比較火的光盤，實際上是由載有信息的條狀介質(zhì)（厚1.6微米）繞制而成的，它也是一條阿基米德螺旋線。這樣做的好處是，當光盤勻速旋轉(zhuǎn)時，讀取信息的激光頭只需要勻速地沿光盤做徑向運動，就可以均勻地讀取刻錄在條狀介質(zhì)上的信息，而且不會間斷。更古老的留聲機的黑膠唱片也是類似的原理，它表面的信息載體——刻槽就形成了一條完美的阿基米德螺旋線。

阿基米德螺線是既作勻速轉(zhuǎn)動又作勻速直線運動而形成的軌跡。不同的是，有的是垂直旋轉(zhuǎn)軸勻速直線運動，如前面提到的凸輪和光盤；有的是平行于轉(zhuǎn)軸的勻速直線運動，如阿基米德?lián)P水器。據(jù)說，公元前3世紀，阿基米德為了解決用尼羅河水灌溉土地的難題，發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚水器，后人稱它為“阿基米德螺旋”。阿基米德螺旋揚水器是最古老的水泵，借著螺旋曲面繞著旋轉(zhuǎn)軸做旋轉(zhuǎn)運動，將水從低處傳輸至高處，用于農(nóng)田灌溉。憑著它操作簡單、結(jié)構(gòu)維修簡便，流速平穩(wěn)等優(yōu)點，至今在工業(yè)應用中仍有阿基米德螺旋泵的身影。

應該注意的是，阿基米德螺旋經(jīng)常與另一種常見螺線——等角螺線（或稱對數(shù)螺線）混弄，它們的區(qū)別在于后者旋轉(zhuǎn)是以指數(shù)遞增，而阿基米德螺線是恒定的。大數(shù)學家雅各布·伯努利對這種曲線頗為癡迷，相傳他要求死后把等角螺線刻在墓碑上，結(jié)果最終工匠刻成了阿基米德螺線。

等角螺線

阿基米德螺線，這種簡潔且深邃的曲線也出現(xiàn)在今天各類工程應用里，小到螺絲，大到通訊天線。技術(shù)的魅力在于為人類帶來了切實的應用，而背后的原理更顯自然界的神奇。或許你再翻出仍在儲藏間角落的縫紉機，還能發(fā)現(xiàn)過去沒注意到的科學道理。