可樂數(shù)學按：我們將陸續(xù)刊登張博士的高數(shù)札記系列文章，其中記錄了他教高等數(shù)學的一些感悟。第一篇中他介紹了求解一、二階常系數(shù)線性常微分方程的方法。

高數(shù)札記1

@21世紀學習數(shù)學的

人

這學期第一次教高等數(shù)學這門課，偶爾會有一些感悟，零零總總，匯聚于此，作一個記錄。

        忍不住先來一點吐槽……我一直覺得高等數(shù)學作為一門課的名稱有很大的問題。按照我粗淺的理解，高等數(shù)學是相對于初等數(shù)學而言的。中小學我們學習了初等數(shù)學，到了大學繼續(xù)學習高等數(shù)學，因而高等數(shù)學應該是大學數(shù)學的同義詞，所以應該包含微積分、線性代數(shù)、概率論、簡單的常微分方程，甚至一些復變函數(shù)。我大一的時候曾在圖書館借過一本《高等數(shù)學習題指導》，里邊就包含了微積分、線性代數(shù)還有概率論，也就是目前考研數(shù)學涉及到的全部內(nèi)容。但目前國內(nèi)很多高校開設(shè)的高數(shù)課僅僅指微積分而已（加上一章常微初步），所以我覺得不如改為“微積分”更加合適。

吐槽完畢，說出來心理暢快多了。其實我這次教高數(shù)是半路出家，直接教的高數(shù)下，接了另一個老師的大班（他這學期有太多專業(yè)課要上）。不用從極限、連續(xù)這些基本的概念講起，也讓我省心不少。這學期一開篇就是線性常微分方程，我自覺在這方面有一些心得，所以今天就寫一寫如何解常系數(shù)的線性常微分方程。

1. 首先，講一個最簡單的一階方程。假設(shè)y是x的可微函數(shù)，滿足

我們都知道這個方程的解是

我想再說一下得到這個解的方法（因為后面還會反復用到 ），這個方法被稱為積分因子法，具體過程如下：

我們都知道一個結(jié)論：如果函數(shù) f 的導數(shù)恒為零，那么 f 一定是常數(shù)。 很多人都覺得這個結(jié)論顯而易見，其實它的證明需要用到拉格朗日中值定理。我們用一下這個結(jié)論

好，這個一階方程終于講完了。

2. 下面我們開始講二階的方程，我們希望求解下面的方程

大部分高數(shù)書上都會告訴你，拿個指數(shù)函數(shù)試一試，然后就會得到特征方程，blablabla...實際上，有個更簡單也更直接的方法。我們可以把解上面的二階方程轉(zhuǎn)化為解兩次一階方程，具體的方法如下：

（1）首先我們對p,q做一點變形

這樣寫有什么好處呢？好處在于，原來的微分方程可以改寫為

這里，我們解了一次一階微分方程，即用了1的結(jié)論。

（2）接下去怎么辦呢？很簡單，我們繼續(xù)解一階方程

這個時候，我們遇到一個狀況，就是a, b是否相等的問題。

這是兩個特征根相等的情況。不等的情況也很簡單：

總結(jié)起來，我們通過解兩次一階方程，得到了如下的結(jié)果

3. 這個求解過程不需要任何高深的數(shù)學知識，也不必用到線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，唯一的要求就是會用積分因子法來求解一階方程。這個方法的另一個優(yōu)點在于，即使我們面對的是非齊次的方程

把解二階方程轉(zhuǎn)化為解兩次一階方程的方法仍然奏效，而且自動會給出特解。通常，猜特解長什么樣是很困難的事情，因為規(guī)則特別復雜，很難記清楚。而這里講的方法，自動就會把特解求出來。