等腰三角形、等邊三角形、直角三角形是初中數(shù)學(xué)重點考察內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)的難點。

一、等腰三角形的概念

1. 定義

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。兩條相等的邊叫做腰，所夾的角叫做頂角，另一邊叫做底邊，底邊與腰形成的兩個角叫做底角。

2. 性質(zhì)

（1） 等腰三角形是軸對稱圖形，底邊中線是對稱軸（底邊的高、頂角的角的角平分線都是對稱軸）

（2） 等腰三角形兩個底角相等，簡稱等邊對等角。

（3） 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，簡稱三線合一。

3. 判定

（1） 兩內(nèi)角相等的三角形叫做等腰三角形

（2） 兩個邊相等的三角形叫做等腰三角形

二、等邊三角形

1. 定義

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

2. 性質(zhì)

（1） 等邊三角形有三條對稱軸，中線是對稱軸

（2） 等邊三角形三個角相等，每個角都為60o

（3） 等邊三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，簡稱三線合一。

3. 判定

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形

（2）三個角都相等的三角形叫做等邊三角形

（3）有一個內(nèi)角是60o的等腰三角形是等邊三角形。

三、直角三角形

1. 定義

有一個角是直角的三角形叫做直角三角形

2. 性質(zhì)

（1） 直角三角形兩個銳角互余

（2） 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

（3） 直角三角形中，30o角所對的直角邊等于斜邊的一半

（4） 勾股定理：a2+b2=c2（a、b為直角邊，c為斜邊）

3. 判定

（1） 有一個角是直角的三角形，或者兩個銳角和為90o的三角形為直角三角形。

（2） 一邊的中線等于這條邊的一半，這個三角形是直角三角形。

（3） 勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c為三角形的三個邊），則三角行為直角三角形

四、基礎(chǔ)題型

1. 例題1

如圖，邊長為4的等邊ΔABC中，D、E分別為AB、BC的中點，EF⊥AC于點F，G為EF的中點，連接DG，則DG的長為？

解：連接DE，

因為：EF⊥AC，∠C=60o

所以∠FEC=30o,

因為：ΔABC為等邊三角形，DE為中位線

所以有：

2. 考察知識點

（1）等邊三角形及內(nèi)角為60o

（2）三角形中位線

（3）直角三角形30度內(nèi)角所對直角邊等于斜邊的一半

（4）直角三角形勾股定理

3. 解題思路和技巧

DG是非常孤立的，既不是中位線，也不平行某一邊，即不是三角形的某一邊，也不是規(guī)則四邊形的邊，很難下手，因此必須畫輔助線把DG融入某個三角形內(nèi)，因為D、E分別是所在邊的中點，連接起來是三角形的中位線，因此連接DE，嘗試解題。

因為目前只學(xué)了等腰、等邊、直角三角形，因此要解出一個線段DG的長度需要以下知識

（1） 等腰三角形

（2） 等邊三角形

（3） 直角三角形

（4） 直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半

（5）直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半

最后通過分析角的關(guān)系，可以得出DG在直角三角形內(nèi)

總結(jié)：構(gòu)筑輔助線是解決一些問題的關(guān)鍵

五、綜合題型

1. 解法1

（1） 求解過程

把ΔAEC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60度，AC與AB重合AE與AF重合，連接FD，做FG⊥BC，交BC于G點,AH⊥BC，交BC于G點。

因為： ，∠BAC=120o,AB=AC

所以∠ABC=∠ACB=30o

因為：ΔAFB≌ΔAEC

所以：AF=AE，∠ABC=∠ABF=30o，∠FBG=60o,∠FAD =60o

因為 ：

AF=AE,，AD=AD，∠FAD==∠DAE= 60o

所以ΔADF≌ΔADE

所以： DF=DE

設(shè)FB=EC=2X

則BG=X BD=4X

（2）考察知識點

1) 等腰三角形

2) 圖像的旋轉(zhuǎn)

3) 直角三角形及勾股定理

4) 直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半

5) 直角三角形勾股定理

6) 三角形全等

（3）解題思路和技巧

DE在ΔADE中，但是三邊關(guān)系無法確定，題目中給出了角度的關(guān)系，因此利用角度關(guān)系重組三角形是思路，然后再利用三角形全等，直角三角形等解出線段DE的長度。

通過旋轉(zhuǎn)圖形、移動圖形、折疊圖形是最常用的圖形組合方法，我們嘗試用旋轉(zhuǎn)圖形法解決問題，

總結(jié)：通過移動圖形、旋轉(zhuǎn)圖形、折疊圖形進行圖形組合，從而解決問題是常用的方法，應(yīng)該熟練掌握。

2. 解法2

旋轉(zhuǎn)ΔABD進行解題

3.解法3

沿AD折疊ΔABD解題

上述兩種方法請讀者自行嘗試解題，不再敘述。