整體性教學(xué)設(shè)計(jì)就是按照“總—分—總”的原則進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

第一個(gè)“總”，就是先作粗淺的梗概介紹，它在一定程度上為整個(gè)學(xué)習(xí)起著導(dǎo)航和定位作用，使學(xué)生學(xué)習(xí)始終保持著正確的路徑和明確的方向。“分”就是“由薄到厚”，它是對(duì)具體知識(shí)的研究。教師要從“研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象”的角度思考和設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，在研究對(duì)象的抽象、研究?jī)?nèi)容的確定、研究思路的構(gòu)建、研究方法的引導(dǎo)等方面整體規(guī)劃教學(xué)思路，幫助學(xué)生遷移相似問(wèn)題研究策略。通過(guò)對(duì)教材知識(shí)的“深度理解”，將同一個(gè)結(jié)構(gòu)單元或者是不同單元但結(jié)構(gòu)類(lèi)同的內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程分為“學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)”和“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”兩大階段。在“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”階段，類(lèi)比“學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)”階段的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)獲得研究對(duì)象，再利用類(lèi)比學(xué)習(xí)方法研究各分支內(nèi)容。第二個(gè)“總”就是“由厚到薄”，作精練而深刻的總結(jié)，它是在具體學(xué)習(xí)內(nèi)容掌握的基礎(chǔ)上的再次深度融合與升華，因而更為具體、深入。為此，要重視對(duì)章后“小結(jié)”的教學(xué)。在期終復(fù)習(xí)和學(xué)段總復(fù)習(xí)時(shí)，要構(gòu)建每本教材和整套教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)、溝通每本教材和整套教材的知識(shí)聯(lián)系。

初中代數(shù)內(nèi)容有4條線索：

初中代數(shù)內(nèi)容的具體知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1

用字母表示數(shù)，就可以把數(shù)進(jìn)行抽象得到代數(shù)式，因此，完全可以類(lèi)比研究數(shù)的基本套路得到研究代數(shù)式的方法。用等號(hào)把代數(shù)式連接起來(lái)就得到方程。方程與函數(shù)都是由代數(shù)式組成的。布列方程與不等式，在設(shè)定未知數(shù)之后，首先就要依據(jù)題意列出關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式，進(jìn)而找出溝通已知數(shù)與未知數(shù)的等量關(guān)系或不等關(guān)系，建立方程與不等式。解方程或不等式的過(guò)程，要用到去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等變形，實(shí)際上就是實(shí)施數(shù)與式的運(yùn)算。幾何意義上函數(shù)與方程存著聯(lián)系，令函數(shù)值等于零，從幾何角度看，對(duì)應(yīng)的自變量是圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；從代數(shù)角度看，對(duì)應(yīng)的自變量是方程的解。研究一個(gè)代數(shù)概念的基本套路是：現(xiàn)實(shí)背景→定義→表示→分類(lèi)→性質(zhì)→運(yùn)算。教師在講授每一個(gè)代數(shù)概念時(shí)，應(yīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào)這種研究套路，以便學(xué)生逐步掌握這種研究代數(shù)概念的“大觀念”。圖2給出了4條線索的關(guān)系圖，從中可以看出：4條線索對(duì)應(yīng)4個(gè)結(jié)構(gòu)模式，而它們是相似的。

圖2

在義務(wù)教育階段，數(shù)系的擴(kuò)充經(jīng)歷了如圖3所示的過(guò)程，這是一個(gè)不斷從下位到上位的學(xué)習(xí)過(guò)程。數(shù)系擴(kuò)充的根本原因是實(shí)踐的需要，而反映在數(shù)系的理論上則是發(fā)展并解決數(shù)集與數(shù)的某種運(yùn)算封閉性的矛盾。

圖3

從初中階段“數(shù)”概念的學(xué)習(xí)來(lái)看，“有理數(shù)”是“學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)”階段，“實(shí)數(shù)”是“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”階段?！爱?dāng)然，初中的‘有理數(shù)’學(xué)習(xí)不是憑空的，而是基于小學(xué)的知識(shí)與方法，如果往前推，小學(xué)的‘整數(shù)’的學(xué)習(xí)是‘學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)’階段，中學(xué)的‘?dāng)?shù)’學(xué)習(xí)是‘運(yùn)用結(jié)構(gòu)’階段，所以教師要系統(tǒng)理解教材，做好教學(xué)銜接，使知識(shí)有理想的‘生長(zhǎng)點(diǎn)’和‘延伸點(diǎn)’。”在“有理數(shù)”學(xué)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握研究一種新數(shù)的“基本套路”：背景——概念——性質(zhì)——運(yùn)算——應(yīng)用。具體來(lái)說(shuō)，“有理數(shù)”的研究過(guò)程為：引入負(fù)數(shù)（生產(chǎn)、生活的實(shí)際需求與數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需求）——有理數(shù)的概念（定義，符號(hào)表示，分類(lèi)及相關(guān)概念：相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值）——有理數(shù)的性質(zhì)（大小比較）——有理數(shù)的運(yùn)算（運(yùn)算法則）——有理數(shù)的應(yīng)用。在“有理數(shù)”學(xué)習(xí)階段，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生形成研究“數(shù)”概念的一般觀念，然后把這個(gè)一般觀念遷移到“實(shí)數(shù)”的學(xué)習(xí)中。把“實(shí)數(shù)”教學(xué)作為“數(shù)”概念教學(xué)的“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”階段，如圖4所示，在這一階段教師要善于引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比“有理數(shù)”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)建構(gòu)“實(shí)數(shù)”的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。[1]

圖4

數(shù)系擴(kuò)充的基本思想是使得在原來(lái)范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。于是，要在“保持自然數(shù)系的運(yùn)算律普遍成立”的思想指導(dǎo)下定義運(yùn)算法則，從而解決“如何算”的問(wèn)題。對(duì)有理數(shù)的學(xué)習(xí)，其中的難點(diǎn)是“符號(hào)法則”，如“負(fù)負(fù)得正”。為什么“負(fù)負(fù)得正”？因?yàn)槿绻弧柏?fù)負(fù)得正”，那么自然數(shù)系的運(yùn)算律將不再成立。

在“數(shù)”的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該講清每類(lèi)數(shù)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)律，為后面“式”的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。例如講授“有理數(shù)”時(shí)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生理解“有理數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的商”，并為“無(wú)理數(shù)”的學(xué)習(xí)埋下伏筆：還有不能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)商的數(shù)。

字母代表數(shù)，代數(shù)式是數(shù)及其運(yùn)算的抽象化、一般化產(chǎn)物，在“式”的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生與“數(shù)”的相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行類(lèi)比學(xué)習(xí)，把“式”教學(xué)作為“數(shù)”概念教學(xué)的“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”階段，引導(dǎo)學(xué)生思考：對(duì)于代數(shù)式這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，你認(rèn)為可以研究那些問(wèn)題？如何構(gòu)建研究框架？研究的具體內(nèi)容有哪些？如何找到研究方法？讓學(xué)生展開(kāi)自主探索，獲得各種代數(shù)式的定義、性質(zhì)、運(yùn)算法則，熟練進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算和代數(shù)推理。代數(shù)式及其運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)借助現(xiàn)實(shí)情境和簡(jiǎn)單問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系的分析，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義，先后形成代數(shù)式、整式、分式和根式的一系列概念，并重點(diǎn)掌握整式、分式和根式的運(yùn)算法則、運(yùn)算律和相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，能熟練并準(zhǔn)確地實(shí)施各種運(yùn)算，提升運(yùn)算能力，建立數(shù)感與符號(hào)意識(shí)。

例如，可以類(lèi)比分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)行分式的教學(xué)?！胺质健钡膬?nèi)容相對(duì)“單薄”，但在教學(xué)時(shí)要讓它變得“厚重”，至少要讓學(xué)生理解如下兩個(gè)問(wèn)題：

回答這個(gè)問(wèn)題，可創(chuàng)設(shè)如下情境：從小學(xué)到現(xiàn)在，數(shù)系經(jīng)歷了一個(gè)怎樣的擴(kuò)張過(guò)程？用字母表示數(shù)就有了代數(shù)式，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些種類(lèi)的代數(shù)式？類(lèi)似數(shù)系請(qǐng)展望一下代數(shù)式未來(lái)的擴(kuò)張方向。

師生共同回顧展望數(shù)與式的擴(kuò)張過(guò)程，逐步形成如圖5所示的板書(shū)：

圖5

回答這個(gè)問(wèn)題，可引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比分?jǐn)?shù)，設(shè)想分式將要研究哪些內(nèi)容；再類(lèi)比整式，設(shè)想分式將要研究哪些內(nèi)容。通過(guò)類(lèi)比嘗試展望一下分式研究的路線圖。

教師引導(dǎo)學(xué)生分別類(lèi)比分?jǐn)?shù)和整式展望分式研究的內(nèi)容，逐步投影呈現(xiàn)如圖6所示的內(nèi)容，共同“繪制”分式研究的路線圖：分式概念、分式基本性質(zhì)、分式運(yùn)算、分式方程。

圖6

這種整體性教學(xué)設(shè)計(jì)非常重視知識(shí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，既有向外——把分式置于“數(shù)與式”整體中的宏觀知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生體會(huì)分式與其他知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別；也有向內(nèi)——展望分式研究?jī)?nèi)容的微觀知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生了解分式內(nèi)部知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系。這樣教學(xué)，通過(guò)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)顯本質(zhì)，有助于學(xué)生用宏觀視野對(duì)數(shù)與式的基本框架和本章的研究脈絡(luò)有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。[2]

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確規(guī)定實(shí)施二次根式的四則運(yùn)算時(shí)，根號(hào)下僅限于數(shù)，義務(wù)教育階段并未研究真正意義下的根式，因此，整式和分式是初中階段有關(guān)“式”的主要內(nèi)容。整式和分式的學(xué)習(xí)過(guò)程分為三個(gè)階段進(jìn)行：整式的加減（緊跟其后的是一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式（組）、一次函數(shù)等內(nèi)容）、整式的乘除與因式分解、分式。

引入最簡(jiǎn)二次根式的概念和分母有理化的運(yùn)算，完善有關(guān)二次根式的知識(shí)體系，深化了對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)，充實(shí)了二次根式的運(yùn)算，較好地解決了與高中數(shù)學(xué)的銜接問(wèn)題。

方程是刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，初中階段方程的內(nèi)容由三部分組成：一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程。二元一次方程是一元一次方程的拓展，而二元一次方程又要通過(guò)“消元”，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。一元二次方程是一元一次方程的拓展，而一元二次方程又可以采用開(kāi)方和配方等方法，通過(guò)“降次”，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。如圖7是方程知識(shí)結(jié)構(gòu)，圖中的箭頭表明了解方程的基本思想——“轉(zhuǎn)化”：無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程；分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程；多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程。

圖7

“相等”與“不等”是數(shù)學(xué)中兩種基本的數(shù)量關(guān)系，二者相輔相成，形成對(duì)數(shù)量關(guān)系的完整認(rèn)識(shí)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可缺少的基礎(chǔ)知識(shí)和有效工具，也是分析和解決實(shí)際問(wèn)題的重要方法?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》弱化了不等式組的內(nèi)容和要求，把學(xué)習(xí)要求定位于“會(huì)用數(shù)軸確定由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集”。方程與不等式具有揭示數(shù)量關(guān)系的共同本質(zhì)，而區(qū)別只在于相等與不等，表現(xiàn)為用“＝”連接與用“＞”或“＜”連接。如圖8所示，去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等變形，既是解方程的主要步驟，也是解不等式的主要步驟，而區(qū)別只在于兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)時(shí)有所不同。

圖8

應(yīng)把方程的教學(xué)作為“學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)”階段，把不等式的教學(xué)作為“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”階段，類(lèi)比方程的學(xué)習(xí)，得出不等式的研究思路（如圖9所示）。

圖9

列方程解應(yīng)用題本質(zhì)上是數(shù)學(xué)模型方法的基本應(yīng)用，它的基本模式如圖10所示。通過(guò)列方程解應(yīng)用題的教學(xué)，應(yīng)該使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型方法的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本能力，使學(xué)生遇到一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠直覺(jué)地嘗試應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)予以解決。大千世界是千變?nèi)f化的，實(shí)際問(wèn)題層出不窮。因此，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的選材和呈現(xiàn)方式應(yīng)多樣化。應(yīng)該淡化人為編制的應(yīng)用題及其解題分析。

圖10

函數(shù)是一種具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型，在分析和解決一些實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。同時(shí)，函數(shù)與方程、不等式又有著密切的聯(lián)系，作為一條主線它是初中階段數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的核心。函數(shù)的內(nèi)容主要包括：常量和變量；函數(shù)的概念和三種表示法；正比列函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；一次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)等。

函數(shù)圖象的教學(xué)主要存在三個(gè)“時(shí)間窗口”，需要順序漸進(jìn)。

這是一個(gè)有“長(zhǎng)度”的教學(xué)，三個(gè)“時(shí)間窗口”節(jié)點(diǎn)上的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)。如果只是一味強(qiáng)調(diào)通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線來(lái)作圖，無(wú)非就是給學(xué)生一個(gè)畫(huà)函數(shù)圖象的技能，無(wú)助于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，更不能形成數(shù)學(xué)思想。[3]

把一次函數(shù)的教學(xué)作為“學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)”階段，在這個(gè)階段要給學(xué)生講清楚函數(shù)的研究思路。類(lèi)比一次函數(shù)的教學(xué)展開(kāi)二次函數(shù)的教學(xué)，把二次函數(shù)的教學(xué)作為“運(yùn)用結(jié)構(gòu)”階段。因此，如圖11，類(lèi)比研究一次函數(shù)的方法，可以得出得出研究二次函數(shù)的方法。[4]

圖11

[1] 朱先東.指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)整體性教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（5）：33-36.

[2] 石樹(shù)偉．揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)：變“單薄”為“厚重”[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2015（7）：30-31.

[3] 殷容儀．順序漸進(jìn)的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2017（1）：14-16.

[4] 鮑聰曉.對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題設(shè)置的思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（7）：43-48.