前言 PREFACE

姜勝昊老師  專注初中數(shù)學(xué)壓軸

定時更新最干貨的初中數(shù)學(xué)壓軸題型講解。如需要本堂內(nèi)容的word電子版本，請?zhí)砑游⑿牛篞GCZSXYZ（全國初中數(shù)學(xué)壓軸）

原理證明：

如圖：若直線FG與矩形交于DE兩點，與坐標(biāo)軸交于F，E點。則DF=EG，EF=DG

變式：若直線AD交反比例與A，D兩點，與坐標(biāo)軸交B，C兩點，則AB=DC

典型例題：

1．（2017·濟南）如圖1，?OABC的邊OC在y軸的正半軸上，OC＝3，A（2，1），反比例函數(shù)y＝k/x（x＞0）的圖象經(jīng)過的B．

（1）求點B的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）如圖2，直線MN分別與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點，若點O和點B關(guān)于直線MN成軸對稱，求線段ON的長；

（3）如圖3，將線段OA延長交y＝k/x（x＞0）的圖象于點D，過B，D的直線分別交x軸、y軸于E，F兩點，請?zhí)骄烤€段ED與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出點B的坐標(biāo)即可解決問題；

（2）根據(jù)兩直線垂直的條件，求出直線MN的解析式即可解決問題；

（3）結(jié)論：BF＝DE．如圖3中，延長BA交x軸于N，作DM⊥x軸于M，作NK∥EF交y軸于K．設(shè)ON＝n，OM＝m，ME＝a．則BN＝k/n，DM＝k/m．由△EDM∽△EBN，推出EM/EN=DM/BN,即a/(m+a-n)=(k/m)/(k/n)，可得a＝n，由△KNO≌△DEM，推出DE＝KN，再證明四邊形NKFB是平行四邊形，即可解決問題；

【解答】解：（1）如圖1中，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴AB＝OC＝3，

∵A（2，1），

∴B（2，4），

把B（2，4）代入y＝k/x中，得到k＝8，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝8/x．

（2）如圖2中，設(shè)K是OB的中點，則K（1，2）．

∵直線OB的解析式為y＝2x，

∴直線MN的解析式為y＝﹣1/2x+5/2，

∴N（0，5/2），

∴ON＝5/2．

（3）結(jié)論：BF＝DE．理由如下：

如圖3中，延長BA交x軸于N，作DM⊥x軸于M，作NK∥EF交y軸于K．設(shè)ON＝n，OM＝m，ME＝a．則BN＝k/n，DM＝k/m．

∵△EDM∽△EBN，

∴EM/EN=DM/BN，

∴a/(m+a-n)=(k/m)/(k/n),可得a＝n，

∵NK∥EF，

∴∠KNO＝∠DEM，∠KON＝∠DME＝90°，ON＝EM，

∴△KNO≌△DEM，

∴DE＝KN，

∵FK∥BN，NK∥FB，

∴四邊形NKFB是平行四邊形，

∴NK＝BF，

∴BF＝DE．

【點評】本題考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)、平行四邊形，全等三角形，相似三角形等幾何知識結(jié)合在一起，綜合性比較強，要求學(xué)生有較強的分析問題好解決問題的能力．

同步練習(xí)：

（2016·孝感）如圖，已知雙曲線y＝k/x與直線y＝﹣x+6相交于A，B兩點，過點A作x軸的垂線與過點B作y軸的垂線相交于點C，若△ABC的面積為8，則k的值為　5．

【分析】根據(jù)雙曲線和直線的解析式，求出點A、B的坐標(biāo)，繼而求出AC、BC的長度，然后根據(jù)△ABC的面積為8，代入求解k值．

【解答】解法一：

解： y=k/x  y=-x+6

解得：x₁=3-√(9-k)  y1=3+√(9-k)

x₂=3+√(9-k)   y2=3-√(9-k)

即點A的坐標(biāo)為（3-√(9-k)，3+√(9-k)，

點B的坐標(biāo)為（3+√(9-k)，3-√(9-k)），

則AC＝2√(9-k)，BC＝2√(9-k)

∵S_△ABC＝8，

∴1/2AC·BC＝8，

即2（9﹣k）＝8，

解得：k＝5．

解法二：

解：設(shè)點A（x₁，6﹣x₁），B（x₂，6﹣x₂）

∵雙曲線y＝k/x與直線y＝﹣x+6相交于A，B兩點，

∴方程k/x﹣（﹣x+6）＝0有解，

即：x²﹣6x+k＝0有2個不相同的實根，

∴x₁+x₂＝6，x₁x₂＝k，

∵AC⊥BC

∴C點坐標(biāo)為（x₁，6﹣x₂）

∴AC＝x₂﹣x₁BC＝x₂﹣x₁

∵S_△ABC＝8，

∴1/2AC·BC＝8

∴1/2（x₂﹣x₁）²＝8

整理得：（x₁+x₂）²﹣4x₁x₂＝16，

∴36﹣4k＝16

解得k＝5，

故答案為：5．

解法三：根據(jù)對稱性設(shè)A（a，b），B（b，a），

由題意：S_△ABC＝1/2（a﹣b）²＝8，

∴a﹣b＝﹣4．

又∵a+b＝6，

∴a＝1，b＝5，

∴k＝5．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解答本題的關(guān)鍵是把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求出交點，然后根據(jù)三角形的面積公式求解．

姜老師關(guān)于中考數(shù)學(xué)壓軸知識點——關(guān)于反比例函數(shù)相關(guān)題型講解內(nèi)容（感興趣的同學(xué)可以關(guān)注一下）：