● 泰勒中值定理與泰勒公式：

定理(泰勒中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在含有x₀的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一x∈(a,b)，至少存在介于x₀與x之間的一點(diǎn)ξ，使得

該公式也稱為帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式. 其中ξ也可以表示成

● 帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式：

假設(shè)函數(shù)f(x)在含有x₀的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一x∈(a,b)，有

此公式稱為帶皮亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式.

【注】以上兩個(gè)公式當(dāng)x₀=0時(shí)，分別稱為n階帶拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式和帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式，即有

【注】有關(guān)于泰勒多項(xiàng)式、泰勒中值定理、泰勒公式以及相應(yīng)的麥克勞林公式詳細(xì)內(nèi)容以及使用過(guò)程中的注意事項(xiàng)，可以參見已經(jīng)發(fā)布的內(nèi)容“題型解析：泰勒中值定理與泰勒公式計(jì)算”(直接點(diǎn)擊閱讀).

使用泰勒中值定理及公式證明題型分析：

若討論的問(wèn)題已知條件、結(jié)論中包含了一系列的函數(shù)值和（或）導(dǎo)數(shù)值，或涉及到二階或二階以上的高階導(dǎo)數(shù)，則一般都可以嘗試性地使用函數(shù)的泰勒公式或麥克勞林公式來(lái)探索其求解思路與過(guò)程.

使用泰勒中值定理求解問(wèn)題的思路及使用原則分析：

第一種情況：帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式也稱為泰勒中值定理，一般用于證明已知或結(jié)論中含有二階及二階以上導(dǎo)數(shù)、函數(shù)值、自變量值等項(xiàng)的等式或不等式命題.

●對(duì)中值命題一般嘗試性地在區(qū)間端點(diǎn)、中點(diǎn)或其他已知點(diǎn)展開，求端點(diǎn)、中點(diǎn)或已知點(diǎn)的函數(shù)值. 一般有中點(diǎn)已知條件的，一般首先考慮在中點(diǎn)展開.

●對(duì)于函數(shù)結(jié)論命題，則一般在動(dòng)點(diǎn)展開，即在區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)展開，然后求端點(diǎn)或中間點(diǎn)或其他已知點(diǎn)的函數(shù)值.

在以上基礎(chǔ)上，然后對(duì)得到的各可能的等式，進(jìn)行加減等運(yùn)算，消去無(wú)關(guān)項(xiàng)，得到可能的，應(yīng)用于驗(yàn)證命題的結(jié)論. 

第二種情況：對(duì)于計(jì)算問(wèn)題，或者已知函數(shù)可導(dǎo)的階數(shù)正好就是條件、結(jié)論中需要用到的函數(shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)時(shí)，則一般使用帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式或麥克勞林公式.

比如使用泰勒公式證明極值判定的第二判別法，即用駐點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)值判斷駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)時(shí)；驗(yàn)證或計(jì)算函數(shù)極限的問(wèn)題時(shí)，就使用帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式或麥克勞林公式.

【注】在求極限時(shí)，一般首先將極限式變量的變化過(guò)程轉(zhuǎn)換為x趨于0的變化過(guò)程，然后使用帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式來(lái)計(jì)算.

【理論依據(jù)與題型分析】

這個(gè)考題中有函數(shù)的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)值，三階導(dǎo)數(shù)，并且已知函數(shù)三階可導(dǎo)，而證明的結(jié)論為一個(gè)中值等式，符合第一種情況的中值命題類型，所以考慮使用泰勒中值定理的結(jié)論來(lái)探索它的驗(yàn)證思路與方法.

【解題步驟分析】由于有中點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值已知條件，并且只已知了函數(shù)3階可導(dǎo)，所以考慮在中點(diǎn)，即x₀=0處寫出它的兩階帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式，在這里也即為麥克勞林公式，并且由于f’(0)=0，所以有

其中η介于0和x之間，x∈[-1,1].

已知中還有兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值已知條件，所以使用以上公式分別計(jì)算函數(shù)值，有

由于f(0),f’’(0)為未知，所以兩式相減消去，得

由于結(jié)論中要考察的就是存在一點(diǎn)使得三階導(dǎo)函數(shù)值等于3. 該命題就等價(jià)于已知函數(shù)f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)和一個(gè)常數(shù)M，證明存在一點(diǎn)c∈[a,b]使得函數(shù)值f(c)=A. 這樣，由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的介值定理，只要驗(yàn)證M點(diǎn)在函數(shù)的最大值M與最小值m之間就可以了.

于是由f’’’(x)在[-1,1]上連續(xù)，所以其必定在閉區(qū)間[η₁,η₂]上連續(xù)，從而有

所以在[η₁,η₂]?[-1,1]上使用介值定理，可知結(jié)論成立.

【注】具體解題過(guò)程自己整理、完善. 

例2(2001年數(shù)學(xué)一)設(shè)f(x)在(-1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f’’(x)≠0，試證：

(I) 對(duì)于(-1,1)內(nèi)的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0,1)，使得

成立.

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【理論依據(jù)與題型分析】

該考題牽涉到函數(shù)值、一階、二階導(dǎo)數(shù)值，可以考慮泰勒公式來(lái)解決，在只用到一階導(dǎo)數(shù)的結(jié)論時(shí)，則考慮0階泰勒公式，即拉格朗日中值定理；僅有二階導(dǎo)數(shù)，則最多只能寫出它的一階帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式，或者二階帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，至于具體使用哪個(gè)，可以探索性的逐步嘗試.

【解題步驟分析】(I) 由第一個(gè)結(jié)論的形式，可以直接看出，它應(yīng)該就為0階泰勒公式，即拉格朗日中值定理的結(jié)論，所以由泰勒公式，有

其中ξ介于0和x之間，x∈(-1,1)，所以ξ可以描述為

ξ=0+θ(x-0)，即ξ=θx(0<θ<1)，

其中θ隨x取值的變化而變化，即有ξ=θ(x)x，所以

要證明θ(x)唯一，也即ξ唯一，即

即一階導(dǎo)函數(shù)有唯一的點(diǎn)的值等于確定的右邊項(xiàng)的值，這個(gè)唯一性，由已知條件二階導(dǎo)數(shù)f’’(x)≠0，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)可以直接得到. 所以這樣就完成了第一問(wèn)的證明.

【注】其中唯一性也可以使用反證法，假設(shè)有兩個(gè)值等于右邊項(xiàng)，從而推出與二階導(dǎo)數(shù)非零矛盾驗(yàn)證.

(II)對(duì)于這樣一個(gè)抽象函數(shù)，如何出現(xiàn)結(jié)果中的1/2？f(x)一階麥克勞林公式，即

其中ξ介于0和x之間，x∈(-1,1). 利用第一問(wèn)的結(jié)論，如果x取相同的值，則有

左邊是一階導(dǎo)數(shù)，右邊是二階導(dǎo)數(shù).

我們強(qiáng)調(diào)，對(duì)于抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題首先考慮的是定義法，考慮導(dǎo)數(shù)定義的標(biāo)準(zhǔn)形式，則有

當(dāng)x→0時(shí)，θ(x)x→0，ξ→0，由于二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，因此對(duì)上式兩端取極限，有

例3：設(shè)當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，

證明：對(duì)任意x∈[0,2]，有|f’(x)|≤2.

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【理論依據(jù)與題型分析】

這個(gè)習(xí)題中有函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)，因此可考慮使用泰勒公式來(lái)驗(yàn)證；另外結(jié)論驗(yàn)證的是導(dǎo)函數(shù)有界，所以考慮的泰勒公式應(yīng)該為動(dòng)點(diǎn)展開的泰勒公式.

【解題步驟分析】由動(dòng)點(diǎn)展開的泰勒公式，將函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)展開為一階泰勒公式，則有

依據(jù)一般思路，將端點(diǎn)值代入，則有

用第二式減去第一式，有

由已知條件與絕對(duì)值不等式，有

由最值的計(jì)算方法，對(duì)于閉區(qū)間[0,2]上的連續(xù)函數(shù)

有唯一駐點(diǎn)1，由g(0)=g(2)=4，g(1)=2，可知2≤g(x)≤4，所以可得結(jié)論成立. 

例4：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x),f’’(x)在(a,+∞)有界，證明f’(x)在(a,+∞)內(nèi)有界.

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【理論依據(jù)與題型分析】

同樣這個(gè)習(xí)題中有函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)，因此可考慮使用泰勒公式來(lái)驗(yàn)證；另外結(jié)論驗(yàn)證的是導(dǎo)函數(shù)有界，所以考慮的泰勒公式應(yīng)該動(dòng)點(diǎn)展開的泰勒公式.

【解題步驟分析】由動(dòng)點(diǎn)展開的泰勒公式，將函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)展開為一階泰勒公式，則有

由于只要建立起導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，另外由于該題中不具有明確的兩個(gè)端點(diǎn)，所以我采取前面描述的取t與x相差一個(gè)常數(shù)，消去變量自變量符號(hào)的方法，其中最簡(jiǎn)單的取法是t-x=1，于是取t=x+1，從而有

由于f(x),f’’(x)在(a,+∞)有界，所以結(jié)論成立.