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翻譯: lisa (遇見數(shù)學(xué)翻譯小組核心成員) 圓周率 Pi()為圓周長與其直徑的比值，通常近似為 3.14159。在美劇《疑犯追蹤》第 2 季 11 集就提到了這個(gè)最著名的數(shù)學(xué)常數(shù)，該集里主角芬奇先生是一名代課老師，他在黑板上寫了 3.1415926535。然后他問學(xué)生們：“這意味著什么？” 我在腦海中立馬冒出了這個(gè)問題的答案，心想：“如果我有一個(gè)直徑為 1 的自行車輪胎，那么這個(gè)自行車輪胎旋轉(zhuǎn)一周行駛的距離就是 ?！?然而，在電視劇中，沒有學(xué)生如此回答。 見如此場景，芬奇先生自己給出了答案，他說：“ 是圓的周長與直徑之比，3.141592635 僅僅只是這個(gè)比值的前幾位，它本身是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后有無限個(gè)數(shù)位，并且永不重復(fù)；你的出生日期，儲物柜的密碼，你的社會保險(xiǎn)號碼等等都在這個(gè)數(shù)字串的某一處。如果你把這些小數(shù)轉(zhuǎn)換成字母，這些字母可以組成任何一個(gè)存在的單詞，這些字母可以是嬰兒發(fā)出的第一個(gè)音節(jié)，可以是你心上人的名字，可以是你這一生中的所有故事的描寫，可以是我們說過的或者做過的每一件事情。世界上所有無限的可能性都存在于這個(gè)簡單的圓里?，F(xiàn)在你將如何處理這些信息；它有什么好處？這取決于你…”  這樣極具戲劇的一幕，雖并不準(zhǔn)確(馬上就會談到)，也讓我稱贊不已。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中有很多人都努力要成為(或者有)像芬奇所飾演優(yōu)秀且有趣的教師。這樣的教師不僅能引導(dǎo)學(xué)生們討論課本以外的知識，而且還能讓其全神貫注在課堂之中。 不過話說過來，芬奇先生所說還非100%正確的，因?yàn)閿?shù)學(xué)家還沒有證明 為正規(guī)數(shù)。換句話說，數(shù)學(xué)家們尚未知 是否包含從 0 到 9 的所有有限的數(shù)字排列。
沒有人知道如果數(shù)學(xué)家繼續(xù)研究下去會發(fā)現(xiàn)什么。比如，當(dāng)我們觀察 的前 10 億位時(shí)，我們看到數(shù)字 7 出現(xiàn)了將近 1 億次。這使得 成為一個(gè)很好的隨機(jī)數(shù)生成器。但是，在某些點(diǎn)之后， 可能不包含 7，可能是一個(gè)只有兩個(gè)或三個(gè)數(shù)字的不循環(huán)重復(fù)的數(shù)字，例如會出現(xiàn) 010203112233000111222333 這樣詭異的序列。 這里要提到一個(gè)著名的示例，在 的前 761 位之后，有一個(gè)著名的數(shù)學(xué)巧合，即連續(xù)出現(xiàn) 6 個(gè) 9，這被稱之為費(fèi)曼點(diǎn)(“Feynman point”).  但人們相信 的小數(shù)位會以一種隨機(jī)的順序永遠(yuǎn)持續(xù)下去，這就變得有趣了，它無限不循環(huán)，但同時(shí)它又是一個(gè)確定的數(shù)值。這并不矛盾， 因?yàn)槭菆A的周長和直徑的比值，所以它是一個(gè)有確定值的數(shù)學(xué)常數(shù)。當(dāng)然，通常的計(jì)算中，我們只需要 的近似值就夠了。 在 1768 年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·海因里?！だ什C明了 的值是無理數(shù)，所以它不能寫成分?jǐn)?shù)的那樣形式。在那之前 22/7 就經(jīng)常被用來當(dāng)作 的近似值，雖然它實(shí)際上并不等于 。我們都知道無理數(shù)不能寫成兩個(gè)數(shù)字的比值（即分?jǐn)?shù)，像 a/b 的形式），因?yàn)闊o理數(shù)是無限的，且不循環(huán)的小數(shù)。 再后來 1882 年，德國數(shù)學(xué)家費(fèi)迪南德·馮·林德曼證明了 是一個(gè)超越數(shù)，即不是任意整系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式的根。 現(xiàn)在人們可以肯定地說 是超越數(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家金田康正（Yasumasa Kanada）發(fā)現(xiàn)圓周率的前萬億個(gè)數(shù)字在統(tǒng)計(jì)學(xué)上是隨機(jī)的。如果你查看下表，你會發(fā)現(xiàn)每個(gè)數(shù)字發(fā)生的事件是獨(dú)立的，發(fā)生的概率約是十分之一。  許多年之后的 2019 年，谷歌女工程師 Emma Haruko Iwao 利用云計(jì)算資源，花了 121 天計(jì)算出 的 34.1 萬億位。你可以在你腦海中想象這樣畫面：如果要用普通字體打印 小數(shù)點(diǎn)后的 10 億位，它的長度將從美國紐約延伸到堪薩斯州！ 然而，34.1 萬億位這么巨大的數(shù)字仍然不足以去在數(shù)學(xué)上證明 是正則數(shù)成立。超級計(jì)算機(jī)仍在嘗試挑戰(zhàn)計(jì)算更精確的 。你查看下面的圖表就會看到自公元前 250 年以來，歷史時(shí)間軸圖上探索圓周率的已知位數(shù)。  再回到文章提到這部美劇中芬奇先生，我們明白他所說的也非錯(cuò)誤。你可以很輕松地在 中找到自己的生日。如果你登陸這個(gè)網(wǎng)址 mypiday.com 輸入你的生日，上面就會顯示它在 中的位置。 如果 是一個(gè)正規(guī)數(shù)，那可以說我們的整個(gè)命運(yùn)是用 編碼，將來發(fā)生的一切畫面（圖片是二進(jìn)制文件）都將在 里揭示，甚至這篇文章也在 里某個(gè)位置默默存在。從這一點(diǎn)來說芬奇先生其實(shí)是正確的。接下來我們用一種有趣并且充滿藝術(shù)性的方式來展示 的隨機(jī)性。 盡管在科學(xué)家們眼中那些單調(diào)乏味的散點(diǎn)圖并不枯燥，但是數(shù)據(jù)藝術(shù)家們利用色彩對其進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化之后，它們就變得容易被大眾欣賞接受。Martin Krzywinski 就是這樣一個(gè)藝術(shù)家，他探索 的藝術(shù)之美，他給 中的每個(gè)數(shù)字賦予一種不同的顏色。比如，他讓橙色表示 3，紅色表示 1，黃色表示 4 等等。然后他做了一張美麗的海報(bào)(第 2 副)。這樣如果你仔細(xì)看，就觀察看不到任何特別模式的圖案。  除了有這么多引人入勝的事實(shí)之外，圓周率也是迄今為止數(shù)學(xué)史上研究最多的數(shù)字。幾個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家一直在努力計(jì)算更精確圓周率值。人類到底應(yīng)該停下來研究 的其他性質(zhì)，還是應(yīng)該繼續(xù)探究一個(gè) 的更精確的值？還是假定 =3.14 就足夠了？要知道用 40 位的 來計(jì)算銀河系的周長，而誤差還不到一個(gè)質(zhì)子的直徑。 有成百上千的數(shù)學(xué)家多年來一直在試圖找出圓周率的更多數(shù)字。這就像試圖到達(dá)月球，然后目標(biāo)就是到達(dá)下一個(gè)火星，以此類推……但為什么？為什么數(shù)學(xué)家要費(fèi)心計(jì)算更多的位數(shù)呢？為什么 34.1 萬億位的 還不夠？是因?yàn)閳A周率蘊(yùn)藏在每一個(gè)圓之中嗎？ 我們給出看著晦澀難懂但其實(shí)是合乎邏輯的理由，因?yàn)? 是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的來源。盡管現(xiàn)實(shí)的原因可能是各國可以借此向他國炫耀自己的科技水平，因?yàn)橛?jì)算萬億位數(shù)的 需要一臺非常強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)。比如在《星際迷航：Wolf in the Fold》劇集中，斯波克就施計(jì)讓邪惡的計(jì)算機(jī)“給出 的最后一個(gè)數(shù)字”，以此來永遠(yuǎn)阻塞它下一步企圖。 另一方面，我們?nèi)祟惪偸侨L試攀登更高的山，潛入更幽深海溝……或者嘗試著去記住 小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字，比如呂超，他準(zhǔn)確無誤地背住了 小數(shù)點(diǎn)后的前 67890 位。人們一直都在挑戰(zhàn)做著這些嘗試是因?yàn)橄胍私馑畹倪@個(gè)世界。 在 1962 年 9 月 12 號，約翰肯尼迪（John F. Kennedy）發(fā)表了一篇關(guān)于太空計(jì)劃的演講。
回溯過去， 貫穿著整個(gè)人類歷史。這就是為什么我們可以說，只要有人類存在，總會有人想知道它的下一位是什么。而且我確定，在這個(gè)世界的某個(gè)地方里一定有數(shù)學(xué)家或者科學(xué)家正在利用 去探索我們宇宙中的奧秘，因?yàn)? 仍然是自然界的神秘常數(shù)。 探究 之路數(shù)學(xué)有著久遠(yuǎn)的歷史，與人類文明一樣古老。 被人類研究了近4000年。早在公元前 1700 年，當(dāng)世界上最后一頭猛犸象倒下之際，人們就已估算至前兩位（“3”和“1”）。 來自古希臘的阿基米德便是最早計(jì)算圓周率的智者之一。當(dāng)時(shí)他可能是設(shè)計(jì)制造車輪的過程中接觸到這個(gè)神秘的常數(shù)。但是他究竟是怎么估計(jì)出 的約值呢？他先是把所有的多邊形都看作是圓，據(jù)他所說，如果持續(xù)增加多邊形的邊數(shù)，就會得到一個(gè)接近完美的圓。換句話說，五邊形比正方形更圓，而六邊形比五邊形更圓，等等……就這樣，傳奇數(shù)學(xué)家阿基米德在兩千多年前就把圓定義為一個(gè)邊數(shù)極大的正多邊形。  他所采用這樣透過正多邊形的幾何算法是有用的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)人們很難精確地測量曲面。首先，他做了已知周長的正方形的外接圓，然后在這個(gè)外接圓的外面畫第二個(gè)正方形，滿足外接圓是第二個(gè)正方形的內(nèi)切圓并求出該正方形的周長。這樣他就得到了圓的周長應(yīng)該是介于兩個(gè)正方形的周長之間。然而利用這種方法計(jì)算出來的兩個(gè)正方形的周長差值比較大。因此他又把正方形換成五邊形來重新計(jì)算圓周的上下界，他得到了一個(gè)較小的圓周的界限。之后，他不斷地增加圓內(nèi)切和外接多邊形的邊數(shù)。  邊數(shù)每增加一，對 的估值就更精確一些。他一直計(jì)算到 96 條邊的正多邊形， [英文: Enneacontahexagon] 此時(shí)圓的周長位于 (3.1408 and 3.1429 之間)。因此，他計(jì)算 到小數(shù)點(diǎn)后的精確兩位。阿基米德的手動(dòng)計(jì)算方法當(dāng)然還可以再改進(jìn)，這樣也讓他窮盡一生都沒有達(dá)成。 而我國南北朝劉宋時(shí)代杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之利用割圓術(shù)計(jì)算 12288 形的邊長，得到 ，其小數(shù)點(diǎn)后的前六位數(shù)都是正確值。這樣的結(jié)果在之后的八百年內(nèi)，都是準(zhǔn)確度最高的 估計(jì)值。 數(shù)學(xué)家們需要去找到更有效的公式和更新的數(shù)學(xué)方法。微積分的發(fā)明使得 的計(jì)算有了一次大的飛躍。之后，數(shù)學(xué)家開始用無窮級數(shù)的方式來計(jì)算 。無窮級數(shù)是有序的無窮個(gè)數(shù)字和的表達(dá)式，而且收斂的無窮級數(shù)會得到一個(gè)特定的值。 當(dāng)今世界人類有很多方法去計(jì)算 ，最早的格雷果里-萊布尼茨公式如下圖所示。這樣利用無窮級數(shù)去表示反正切函數(shù) arctanx，把無窮多個(gè)小數(shù)加到一起計(jì)算出了 。  當(dāng) x=1 代入方程即能求得 /4 的值。人們所展開的項(xiàng)越多，結(jié)果越趨近于 。不過該級數(shù)收斂速度實(shí)在太慢，為了精確得到 小數(shù)點(diǎn)后 10 位，我們要把大約 50 億項(xiàng)加起來才好。 探究 道路上再往后發(fā)展，另一位偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler）登場。在他 28 歲(1735年)的時(shí)候?yàn)榻鉀Q當(dāng)時(shí)難倒歐洲所有數(shù)學(xué)家的一個(gè)難題，為圓周率找到了下面這個(gè)更妙不可言的數(shù)學(xué)表示等式，并且由他開始使用希臘字母“”表示圓周率。之后這個(gè)符號被歐洲數(shù)學(xué)家所接受，并應(yīng)用開來。  上面其實(shí)就是巴塞爾問題的準(zhǔn)確結(jié)果，這樣其實(shí)計(jì)算得也是無窮級數(shù)和。不過，真正奇妙的是所有平方數(shù)倒數(shù)之和居然與 搭上了關(guān)系。 除此之外，歐拉還在另一個(gè)漂亮的方程中用到 ，即歐拉恒等式。 計(jì)算 的方法再改進(jìn)，感謝印度數(shù)學(xué)家斯里尼瓦瑟·拉馬努金給出了下面新的計(jì)算 級數(shù)方程，其收斂速度更快。話說他在印度獨(dú)立工作時(shí)就提出了許多新穎的計(jì)算 的數(shù)列，而當(dāng)他遠(yuǎn)渡重洋去往劍橋所攜帶的一個(gè)筆記本里就有整整 400 頁都是關(guān)于 的內(nèi)容。 科技的進(jìn)步，隨著機(jī)械計(jì)算機(jī)誕生之后，數(shù)學(xué)家們就迫不及待利用這樣新式工具應(yīng)用萊布尼茲公式、歐拉公式和拉馬努金的無窮級數(shù)來計(jì)算出 的千百萬位小數(shù)。要知道之前手算 是非常困難，并且容易出錯(cuò)。比如，數(shù)學(xué)家威廉·向克斯宣傳計(jì)算出 的 前 707 位，但遺憾的是，從 527 位之后他就犯了一個(gè)錯(cuò)誤，再往后的枯燥的計(jì)算顯得毫無意義。 無處不在的
在宇宙中無處不在，也時(shí)刻存在于我們的生命中。它真的就是被編碼進(jìn)了宇宙一樣，被用于處理行星軌道，電磁波，河流，極光，DNA 結(jié)構(gòu)，吉薩大金字塔等等…… 如果一個(gè)科學(xué)家想要去描述宇宙的結(jié)構(gòu)或者想要理清行星之間的關(guān)系，他絕對要用到 。因?yàn)槿魏紊婕暗綀A或者球體的事情都與 有關(guān)。圓形存在于宇宙世界中任何一個(gè)角落，可以是小小的肥皂泡，可以是皎潔夜空中的圓月。這就解釋了為什么數(shù)學(xué)在科學(xué)的所有領(lǐng)域中都是重要的，而 能夠幫助我們?nèi)ダ斫馊f事背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。
河流的蜿蜒度與地球上的河流有著直接聯(lián)系，但如何測量呢？我們用兩種不同的方法去丈量一條河的長度，假定我們知道這條河的起點(diǎn)和終點(diǎn)。首先，我們需要河流的實(shí)際長度才能知道這條河有多彎，換句話說，你從河流的起點(diǎn)游到它的終點(diǎn)的這段距離就是這條河的長度“”；其次，我們需要知道河流起點(diǎn)直接到達(dá)終點(diǎn)的直線長度“”，這樣我們就得到了河流蜿蜒度的公式，它等于 ，從這個(gè)公式可以知道河流的彎曲程度。 最重要的是從這個(gè)公式里我們看出河流彎曲系數(shù)沒有上限值，一條河也可以非常彎。然而，地球科學(xué)家 Hans-Henrik St?lum 計(jì)算出了世界各地的所有河流蜿蜒度的平均值是 ，也就是你如果對所有河流的彎曲系數(shù)求個(gè)平均值，會得到 。
關(guān)于蜿蜒度還有一個(gè)有趣的事實(shí)，河流可以在某些地形作用下會變得非常彎曲，但再往后又突然變直，這樣在某些范圍內(nèi)它的彎曲系數(shù)值會很大，但是總體求平均之后又能等于 均值。根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)，數(shù)學(xué)家們計(jì)算出的河流彎曲系數(shù)最大值約為 3.5，最小值約為 2.7。隨著流水對河面的沖刷與侵蝕，河流愈來愈曲，最后導(dǎo)致河流自然截彎取直，抄近路重新變成直線，原來彎曲的河道被廢棄，形成湖泊，因這種湖泊的形狀恰似牛軛，故稱之為牛軛湖(河跡湖)。這使得河流蜿蜒度系數(shù)會在 上下浮動(dòng)。 與太空宇宙的運(yùn)轉(zhuǎn)背后有著內(nèi)在的數(shù)學(xué)秩序，比如，要了解太陽系，就離不開 。我們知道，地球以太陽這顆恒星為中心旋轉(zhuǎn)，萬物賴以生存的陽光由它而來。要研究光，我們首先得知道恒星太陽的表面積有多大，根據(jù)球的表面積公式 ，而計(jì)算行星的大小也有助于科學(xué)家猜測它是否適合人類居住。
另外一個(gè)能夠很好地說明 和宇宙之間的關(guān)系的例子就是兩個(gè)電荷之間發(fā)生的靜電作用力，電子向各個(gè)方向施加力，形成電場。電子在電場中也相互作用。為了計(jì)算這種相互作用的大小，我們需要計(jì)算電場的表面積，這就又要用到了 。 和地心引力自然也有關(guān)系，你可以看看愛因斯坦的場方程，里面也顯露出了 的身影。 上面的方程計(jì)算了宇宙物體如何利用它們的引力彎曲時(shí)空，如恒星和星系。愛因斯坦說，就像一個(gè)放在床單上的球，任何形式的動(dòng)能和能力也可以它周圍的時(shí)空彎曲。換句話說，公式是：Gravity = 8 x x Energy & Momentum。 所以 是宇宙和其中所有物體的重力、能量和動(dòng)量的一部分，這就區(qū)別于其他任何一個(gè)無理數(shù)。另外，如果你把重力加速度開平方，也會得到一個(gè)接近 的值。
在大自然中尋找 的身影借助無窮級數(shù)并不是尋找 的唯一方法，在我們?nèi)粘５囊恍┖芸帷⒂腥さ膶?shí)驗(yàn)也能得到 的近似值，其中一個(gè)叫做蒙特卡羅方法。 蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的數(shù)值計(jì)算方法。它用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計(jì)算問題的方法。 假定我們現(xiàn)在有一張網(wǎng)格型坐標(biāo)紙，建立有原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，利用介于 0 和 1 之間的數(shù)對標(biāo)出坐標(biāo)平面上第一象限的點(diǎn)，在這過程中，你會發(fā)現(xiàn)一些點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于 1，一些點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于 1，而這些點(diǎn)之間就是四分之一的圓周，它的面積幾乎就是 /4，下圖是一個(gè)有 1000 個(gè)點(diǎn)的例子。 布豐投針18 世紀(jì)法國法國博物學(xué)家、數(shù)學(xué)家喬治·路易斯·勒克萊爾嘗試計(jì)算一個(gè)實(shí)驗(yàn)中某個(gè)事件的概率值。具體是這樣的，他準(zhǔn)備了一張印有多條橫線的格紙，隨機(jī)地向畫有平行直線的紙上將針投擲若干次（針的長度小于兩條橫線之間的距離），然后計(jì)算針與線相交的概率。之后他用許多針做了多次重復(fù)的試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果顯著，這個(gè)概率值接近 值。 這里設(shè)針的長度是 l，平行線之間的距離為 ，當(dāng)拋 支針，其中有 支針與線相交，則有如下的公式： 在勒克萊爾之后，意大利數(shù)學(xué)家拉茲瑞尼為了驗(yàn)證,作了幾乎 3500 次的投針試驗(yàn)，他非常準(zhǔn)確地得到了圓周率i的前六位小數(shù) 3.1415929。
圓周率日人類對圓周率的研究已經(jīng)有近 4000 年的歷史了。1988 年，物理學(xué)家賴瑞·蕭在舊金山探險(xiǎn)家科學(xué)博物館舉辦了首次圓周率日派對慶?；顒?dòng)。另外，這天子也是愛因斯坦的生日，愛因斯坦還曾在這一天發(fā)表過他的廣義相對論。 簡言之，數(shù)學(xué)其實(shí)一門銘刻在全人類大腦里的語言，而 只是其中的一個(gè)符號。正如約翰·肯尼迪知曉月球離我們不是無限遙遠(yuǎn)，雖不容易，但人類只要努力就是能到夠到達(dá)。我相信，總有一天偉大的數(shù)學(xué)家們會揭示 越來越的秘密，與 共舞。 |
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