積分學(xué)和微分學(xué)是一枚硬幣的兩面。然而，積分似乎比微分更復(fù)雜，因?yàn)樗婕暗揭霐?shù)學(xué)符號和抽象概念。然而，這些概念本身是非常直觀的，并且允許將復(fù)雜的概念轉(zhuǎn)換為簡單的代數(shù)操作。這篇文章試圖提供積分微積分的一個直觀的觀點(diǎn)，并詳細(xì)說明積分的用途。

經(jīng)典的積分其實(shí)并不是計(jì)算曲線下的面積。在中學(xué)，我們都學(xué)會了如何計(jì)算各種規(guī)則和不規(guī)則多邊形的面積。我們還學(xué)習(xí)了求圓和橢圓面積的公式。但是如何計(jì)算其他曲線的面積呢?如何求曲線函數(shù)下的面積，比如下面這個?

你會發(fā)現(xiàn)，到目前為止你所學(xué)到的方法都無法做到這一點(diǎn)。這就是強(qiáng)大的積分學(xué)發(fā)揮作用的地方。然而，事實(shí)證明，計(jì)算這個區(qū)域并不像看起來那么困難，而且這個過程是基于更熟悉的方法。

那么，我們?nèi)绾吻竺娣e呢?如果我們把這個區(qū)域劃分成更標(biāo)準(zhǔn)的形狀——比如矩形。我們知道如何求一個矩形的面積——它就是長x寬。我們把這個區(qū)域分成等寬的矩形，正好在曲線下面。這看起來像

這是我們對4個矩形的估計(jì)。我們可以計(jì)算每個矩形的面積，因?yàn)槲覀冎缹挾?端點(diǎn)a和端點(diǎn)b之間的距離除以4)和高度(在右端點(diǎn)處的函數(shù)值)?，F(xiàn)在，這顯然不是一個很好的估計(jì)-看看所有的空間。但是如果我們用10個矩形而不是4個，會發(fā)生什么呢?接著1000個矩形，100000個矩形，如果我們讓每個矩形的寬度都趨近于0而矩形的數(shù)量也越來越趨近于無窮，會發(fā)生什么呢?

然后我們就得到了確切的面積。這很直觀:隨著矩形的寬度變得越來越小，單個矩形與曲線的擬合效果也越來越好;它們的面積和收斂于曲線和x軸之間的真實(shí)面積。這里有一個很好的動畫來說明這一點(diǎn):

通過對其進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，可以使這一觀點(diǎn)更加嚴(yán)謹(jǐn):

這個公式一開始看起來很嚇人，但我們所做的只是把它寫成數(shù)學(xué)符號。讓我們從里到外看一遍，在求和里面，我們只是通過將函數(shù)在右端點(diǎn)的值乘以矩形的寬度來計(jì)算矩形的面積，就像前面描述的那樣。這個寬度是由端點(diǎn)的差除以分割的次數(shù)給出的(這確保了每個寬度都是相等的)。當(dāng)矩形的數(shù)量趨于無窮時，可以通過對所有矩形的面積求和來計(jì)算實(shí)際的積分。

然而，這只描述了一種積分。結(jié)果是，您不需要確保矩形具有相同的寬度，也不需要它們具有與右端點(diǎn)相等的高度。這個公式的更一般的表示如下(這是你更可能看到的)，使用標(biāo)準(zhǔn)的微積分符號:

這就是所謂的黎曼和，以復(fù)變分析的創(chuàng)始人之一，Bernhard Riemann命名?，F(xiàn)在，這看起來更可怕，但我們只是增加了一些細(xì)節(jié)。這個公式很簡單地說明了，你可以計(jì)算出一個函數(shù)和x軸之間的面積用矩形的和表示。每個矩形的面積由任意寬度Δx給出，高度由x函數(shù)的值給出，其中x是根據(jù)一些標(biāo)準(zhǔn)（左端點(diǎn)、中點(diǎn)、最大值等）選擇的。

上面的方程看起來很復(fù)雜，但它所做的只是用數(shù)學(xué)來量化前面所述的內(nèi)容。隨著矩形的寬度變得無窮小(越來越接近0)，我們對面積的近似使用矩形變得越來越精確。通過寬度不必一致，矩形的高度可以通過不同的標(biāo)準(zhǔn)來確定，然而，最后的積分總是相同的。

積分的符號∫只是一個拉長的S（代表和），我們正在計(jì)算函數(shù)f（x）在2個點(diǎn)之間的積分：a和b。dx只是表示每個分區(qū)寬度的一個無窮小值（這相當(dāng)于積分中的Δx，因?yàn)棣趨向于0）

在兩點(diǎn)之間計(jì)算的積分稱為定積分。定積分可以讓我們實(shí)際計(jì)算出一個函數(shù)和x軸（或者y軸，甚至是另一個函數(shù)之間的面積，但這要稍微復(fù)雜一些）。

這個積分是如何計(jì)算的？幸運(yùn)的是，你不必經(jīng)歷一個漫長的過程來求很多很多矩形。微積分基本定理的第一部分指出：

F(x)是f(x)不定積分的標(biāo)準(zhǔn)符號。這意味著F(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x)也就是F ' (x) = f(x)不定積分就是給定一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定原始函數(shù)的過程:如果f ' (x) = 2x，我們求導(dǎo)的原始函數(shù)是什么?結(jié)果是一個不定積分返回一個函數(shù);定積分返回一個值。這是積分的第二個目的:它是導(dǎo)數(shù)的逆函數(shù)。這在微積分基本定理的第二部分中得到了數(shù)學(xué)上的證明，

上面的積分是不定積分，因?yàn)樗鼪]有端點(diǎn)。這個積分要做的就是求一個函數(shù)的不定積分。為了求值，你必須熟悉微積分和導(dǎo)數(shù)的規(guī)則。有各種各樣的規(guī)則可以用來解決這個問題，它們源于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

以下是一些基本的規(guī)則。如果你對這個圖表感到困惑，或者不明白這些規(guī)則從何而來，我建議你進(jìn)一步閱讀導(dǎo)數(shù)(它和積分一樣直觀)。

為了求出函數(shù)和x軸之間的面積，首先對函數(shù)求不定積分，然后在兩個端點(diǎn)取值(記住，不定積分仍然是一個函數(shù))最后，用基本定理從第二個結(jié)果中減去第一個結(jié)果。

到目前為止，這些都是非常抽象和技術(shù)性的，所以讓我們在一個例子中實(shí)際應(yīng)用這些概念。我們要求函數(shù)f(x) = 3x^2,x在端點(diǎn)0到6之間的面積。第一步是求這個函數(shù)的不定積分。我們得到F(x) = x^3如果你想再次驗(yàn)證，只要對F(x)求導(dǎo)如果它等于原始函數(shù)f(x) 。

積分與微分學(xué)密切相關(guān)，所有其他分支(微分方程、向量微積分、多元微積分等)都源于這兩個創(chuàng)始思想。本文的目標(biāo)是介紹積分的概念，讓數(shù)學(xué)從直覺出發(fā)。積分使我們能夠更好地理解我們的世界，更精確地描述現(xiàn)象。